3.3.2　等比數(shù)列的前n項和第1課時　等比數(shù)列前n項和的推導(dǎo)及初步應(yīng)用1.等比數(shù)列{an}中，a1=2，a2=1，則S100等于(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A.4-2100 B.4+2100C.4-2-98 D.4-2-100【答案】C【解析】公比q=.S100==4(1-2-100)=4-2-98.故選C.2.在等比數(shù)列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，則n的值為(　　)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】顯然公比q≠1，由Sn=，得93=，解得q=2.由an=a1qn-1，得48=3×2n-1，解得n=5.故選B.3.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2+a5=0，則等于(　　)A.11 B.5 C.-8 D.-11【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公比是q，由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0，∵a1≠0，q≠0，∴q=-2，則=-11.4.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1等于(　　)A. B.- C. D.-【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S3=a2+10a1，得a1+a2+a3=a2+10a1，即a3=9a1，q2=9，又a5=a1q4=9，所以a1=.5.設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則a1等于(　　)A.-2 B.-1 C. D.【答案】B【解析】由S2=3a2+2，S4=3a4+2，得a3+a4=3a4-3a2，即q+q2=3q2-3，解得q=-1(舍去)或q=，將q=代入S2=3a2+2中得a1+a1=3×a1+2，解得a1=-1，故選B.6.已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0，a2=-，則{an}的前10項和等于(　　)A.-6(1-3-10) B.(1-3-10)C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)【答案】C【解析】由3an+1+an=0，得=-，故數(shù)列{an}是公比q=-的等比數(shù)列.又a2=-，可得a1=4.所以S10==3(1-3-10).故選C.7.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，S6=4S3，則a4=　　　　. 【答案】3【解析】∵S6=4S3，∴q≠1，∴，∴q3=3，∴a4=a1·q3=1×3=3.8.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.設(shè)S3=6，S4=a1-3，則公比q=　　　，S4=　　　. 【答案】-　5【解析】由S3=6，S4=a1-3，得解得q=-，a1=8，則S4=a1-3=8-3=5.9.已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列{an}的通項公式為an=2-n，n∈N+.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，即Sn=a1++…+， ①+…+. ②①-②得=a1++…+=1-+…+-=1-1--.所以Sn=，n∈N+.10.在等比數(shù)列{an}中，對任意n∈N+，a1+a2+…+an=2n-1，則+…+等于(　　)A.(2n-1)2 B.C.4n-1 D.【答案】D【解析】∵a1+a2+…+an=2n-1，∴a1=21-1=1.∵a1+a2=1+a2=22-1=3，∴a2=2，∴{an}的公比為2.∴{}的公比為4，首項為=1.∴+…+.11.一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程之和是(結(jié)果保留到個位)(　　)A.300米 B.299米 C.199米 D.166米【答案】A【解析】小球10次著地共經(jīng)過的路程為100+100+50+…+100×100×=100+100×=300-=299≈300(米).12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，稱Tn=為數(shù)列a1，a2，a3，…，an的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，a3，a4，a5的理想數(shù)為2 014，則數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為(　　)A.1 673 B.1 675C. D.【答案】D【解析】因為數(shù)列a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為2 014，所以=2 014，即S1+S2+S3+S4+S5=5×2 014，所以數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為=.13.(多選題)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>1，n∈N+，則(　　)A.{an}一定是遞增數(shù)列B.{an}可能是遞增數(shù)列也可能是遞減數(shù)列C.a3，a7，a11仍是等比數(shù)列D.?n∈N+，Sn≠0【答案】BCD【解析】當(dāng)a1<0時，若q>1，{an}為遞減數(shù)列，A錯誤;已知q>1，當(dāng)a1<0時，{an}為遞減數(shù)列，當(dāng)a1>0時，{an}為遞增數(shù)列，B正確;數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則a3，a7，a11仍是等比數(shù)列，C正確;等比數(shù)列{an}中，q>1，則Sn=，必有Sn≠0，D正確.14.(多選題)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，且滿足a6=8a3，則下列說法正確的是 (　　)A.q=2B.=9C.S3，S6，S9成等比數(shù)列D.Sn=2an+a1【答案】AB【解析】若a6=8a3，則有q3==8，可解得q=2，A正確;由q=2，則=9，B正確;由q=2，則S3==7a1，S6==63a1，S9==511a1，S3，S6，S9不是等比數(shù)列，C錯誤;由q=2，則Sn==(2n-1)a1，an=a1×qn-1=2n-1a1，Sn=2an+a1不成立，D錯誤，故選AB.15.已知數(shù)列{an}中的項可以構(gòu)成數(shù)列a1，a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…，此數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，那么an=　　　　　. 【答案】2n-1(n∈N+)【解析】an-an-1=a1qn-1=2n-1(n≥2)，即各式相加得an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2，an=a1+2n-2=2n-1(n≥2).當(dāng)n=1時，a1=1，符合an=2n-1，∴an=2n-1(n∈N+).16.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點n，(n∈N+)均在直線y=x+上.若bn=，則數(shù)列{bn}的前n項和Tn=　　　　. 【答案】【解析】依題意得=n+，即Sn=n2+n.當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n-.當(dāng)n=1時，a1=S1=，符合an=2n-，所以an=2n-(n∈N+)，則bn==32n=9n，由=9，可知{bn}為公比為9的等比數(shù)列，b1=9，故Tn=.17.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，n∈N+.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，∴a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2)，兩式相減得3n-1an=(n≥2)，∴an=(n≥2).驗證當(dāng)n=1時，a1=也滿足上式，故an=(n∈N+).(2)∵bn==n·3n，∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n， ①①×3，得3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1， ②由①-②，得-2Sn=3+32+33+…+3n-n·3n+1，即-2Sn=-n·3n+1，∴Sn=·3n+1+(n∈N+).18.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=t，點(Sn，an+1)在直線y=3x+1上.(1)當(dāng)實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列?(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn=log4an+1，cn=an+bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn.解(1)因為點(Sn，an+1)在直線y=3x+1上，所以an+1=3Sn+1，當(dāng)n≥2時，an=3Sn-1+1.于是an+1-an=3(Sn-Sn-1)，an+1-an=3an，an+1=4an.又當(dāng)n=1時，a2=3S1+1，a2=3a1+1=3t+1，所以當(dāng)t=1時，a2=4a1，此時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)由(1)，可得an=4n-1，an+1=4n，所以bn=log4an+1=n，cn=4n-1+n，那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n)=.

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

3.2 等比數(shù)列的前n項和

版本： 北師大版 (2019)

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