1.2.2　等差數(shù)列的前n項和第1課時　等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)及初步應(yīng)用1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1=1，am=99，d=2，則其前m項和Sm等于(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500【答案】D【解析】由am=a1+(m-1)d，得99=1+(m-1)×2，解得m=50，所以S50=50×1+×2=2 500.2.在等差數(shù)列{an}中，若a2+a8=8，則該數(shù)列的前9項和S9等于(　　)A.18 B.27 C.36 D.45【答案】C【解析】S9=(a1+a9)=(a2+a8)=36.3.在-20與40之間插入8個數(shù)，使這10個數(shù)成等差數(shù)列，則這10個數(shù)的和為(　　)A.200 B.100 C.90 D.70【答案】B【解析】S10==100.4.記等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S2=4，S4=20，則該數(shù)列的公差d等于(　　)A.2 B.3 C.6 D.7【答案】B【解析】(方法一)由解得d=3.(方法二)由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d，所以20-4=4+4d，解得d=3.5.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=an-1+(n≥2，n∈N+)，則數(shù)列{an}的前9項和等于(　　)A.27 B. C.45 D.-9【答案】A【解析】由已知數(shù)列{an}是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列，∴S9=9×1+=9+18=27.6.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3=3，S6=24，則a9=　　　　. 【答案】15【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S3=3a1+d=3a1+3d=3，即a1+d=1，S6=6a1+d=6a1+15d=24，即2a1+5d=8.由解得故a9=a1+8d=-1+8×2=15.7.(2020天津期末)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若Sn=n2(n∈N+)，則a9=　　　　，an=　　　　. 【答案】17　2n-1【解析】Sn=n2，∴a9=S9-S8=92-82=17，當(dāng)n=1時，a1=1，a2=S2-S1=22-1=3，∴等差數(shù)列{an}的公差d=3-1=2，∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.8.(2021廣西桂林二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3+a4+a5+a6+a7=150，則S9=　　　　. 【答案】270【解析】因為等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=150，a5=30，則S9==9a5=270.9.在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a6=10，S5=5，求a8;(2)已知a2+a4=，求S5.解(1)(方法一)∵a6=10，S5=5，∴解得∴a8=a6+2d=16.(方法二)∵S6=S5+a6=15，∴15=，即3(a1+10)=15.∴a1=-5，d==3.∴a8=a6+2d=16.(2)(方法一)∵a2+a4=a1+d+a1+3d=，∴a1+2d=.∴S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5×=24.(方法二)∵a2+a4=a1+a5，∴a1+a5=，∴S5==24.10.在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為(　　)A.765 B.665 C.763 D.663【答案】B【解析】設(shè){an}是由被7除余2的自然數(shù)由小到大排成的數(shù)列.∵a1=2，d=7，2+(n-1)×7<100，∴n<15，∴n=14，S14=14×2+×14×13×7=665.11.在等差數(shù)列{an}中，+2a3a8=9，且an<0，則S10等于(　　)A.-9 B.-11 C.-13 D.-15【答案】D【解析】由+2a3a8=9，得(a3+a8)2=9，∵an<0，∴a3+a8=-3，∴S10===-15.12.在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，則數(shù)列{an+bn}的前100項的和為(　　)A.10 000 B.8 000C.9 000 D.11 000【答案】A【解析】由已知得{an+bn}為等差數(shù)列，故其前100項的和為S100==50×(25+75+100)=10 000.13.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7=a4，則下列等式一定成立的是(　　)A.a1+a3=0 B.a3+a5=0C.S3=S4 D.S4=S5【答案】BC【解析】由S7==7a4=a4，解得a4=0，所以a3+a5=2a4=0，S3=S4.14.(多選題)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=10，S5=S2，則(　　)A.S3=S4 B.a6=10C.Sn的最大值為30 D.an的最大值為15【答案】ACD【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公差是d，∵a2=10，S5=S2，∴解得d=-5，a1=15.則an=20-5n，Sn=，故a4=0，S3=S4，A正確;a6=-10，B錯誤;當(dāng)n=3或4時，Sn取得最大值30，C正確;由于d<0，故當(dāng)n=1時，an取最大值15，D正確.15.在等差數(shù)列{an}中，an=2n+3，n∈N+，前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c為常數(shù))，則a-b+c=　　　　. 【答案】-3【解析】因為an=2n+3，所以a1=5，Sn==n2+4n，與Sn=an2+bn+c比較，得a=1，b=4，c=0，所以a-b+c=-3.16.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若=a1+a200，且A，B，C三點共線(該直線不過原點O)，則S200=　　　　. 【答案】100【解析】因為A，B，C三點共線(該直線不過原點O)，所以a1+a200=1，所以S200==100.17.若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且+…+=n2+3n(n∈N+)，則an=　　　　　　，+…+=　　　　　　　　. 【答案】4(n+1)2　2n2+6n【解析】令n=1，得=4，∴a1=16.當(dāng)n≥2時，+…+=(n-1)2+3(n-1).與已知式相減，得=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2.∴an=4(n+1)2.又∵n=1時，a1=16滿足式子an=4(n+1)2，∴an=4(n+1)2(n∈N+).∴=4n+4，∴+…+=2n2+6n.18.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足:a3a4=117，a2+a5=22.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn=，求非零常數(shù)c.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>0.∵a3+a4=a2+a5=22，又a3a4=117，∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的兩個根.又公差d>0，∴a3<a4，∴a3=9，a4=13.∴∴an=4n-3，n∈N+.(2)由(1)知，Sn=n×1+×4=2n2-n，∴bn=.∴b1=，b2=，b3=.∵{bn}是等差數(shù)列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，∴c=-(c=0舍去).經(jīng)檢驗，c=-符合題意，∴c=-.19.已知數(shù)列{an}的所有項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且Sn=an-(n∈N+).(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.(1)證明當(dāng)n=1時，a1=S1=a1-，解得a1=3或a1=-1(舍去).當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=+2an-3)-+2an-1-3).所以4an=+2an-2an-1，即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.因為an+an-1>0，所以an-an-1=2(n≥2).所以數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1，n∈N+.20.在數(shù)列{an}中，a1=1，Sn為{an}的前n項和.關(guān)于x的方程x2-an+1cos x+an+1=0有唯一的解.(1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式Sn;(2)若不等式2Sn+9≥(-1)nkan對任意的n∈N+恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.解(1)設(shè)f(x)=x2-an+1cos x+an+1，f(-x)=(-x)2-an+1cos(-x)+an+1=f(x)，則f(x)為偶函數(shù)，由關(guān)于x的方程x2-an+1cos x+an+1=0有唯一的解，知x=0是該方程的唯一解，則有an+1-an=1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則an=1+n-1=n，Sn=.(2)由Sn=，2Sn+9≥(-1)nkan，可得n2+n+9≥(-1)nkn，則有n++1≥(-1)nk(n∈N+)，令cn=n++1，則cn-cn-1=1+，易得，當(dāng)n≤3時，cn<cn-1，當(dāng)n≥4時，cn>cn-1，所以有c1>c2=7.5>c3=7<c4=7.25<c5<…，當(dāng)n為偶數(shù)時，n++1≥k，從而得k≤7.25;當(dāng)n為奇數(shù)時，n++1≥-k，從而得k≥-7.綜上可得k的取值范圍為[-7，7.25].

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2.2 等差數(shù)列的前n項和

版本： 北師大版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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