計算力專訓三十、二次函數(shù)實際應用：面積最值 牛刀小試1．（2021·北京大峪中學月考）學校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為16米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應為多少米？花圃的面積是多少？【答案】（1）S=-2x2+16x(0<x<)，（2）AB=4米，花圃的面積最大．【解析】【分析】（1）因為AB=x米，所以BC為（16-2x）米，由長方形的面積列式即可；（2）將（1）中的二次函數(shù)進行配方即可化為頂點式．y=a（x-h）2+k，因為a=-2＜0拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，即當x=h時，取得最大值．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB的長為x米，∴CD=AB=x（米），∵矩形除AD邊外的三邊總長為16米，∴BC=16-2x（米），∴S=x（16-2x）=-2x2+16x．由0＜x＜16-2x可得0＜x＜．自變量x的取值范圍是0＜x＜．（2）∵S=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，且x=4在0＜x＜的范圍內(nèi)，∴當x=4時，S取最大值．即AB邊的長為4米時，花圃的面積最大．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用中求最值的問題．當a＞0時函數(shù)有最小值；當a＜0時函數(shù)有最大值．求最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．2．（2019·山東諸城·三模）某景區(qū)內(nèi)有一塊矩形油菜花田地（數(shù)據(jù)如圖示，單位：m.）現(xiàn)在其中修建一條觀花道（圖中陰影部分）供游人賞花.設改造后剩余油菜花地所占面積為ym2.（1）求y與x的函數(shù)表達式；（2）若改造后觀花道的面積為13m2，求x的值；（3）若要求 0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面積的最大值.【答案】（1）y= x2-14x+48(0<x<6)；（2）1；（3）改造后剩余油菜花地所占面積的最大值為41.25m2．【解析】【分析】(1)、利用三角形的面積計算公式得出y與x的函數(shù)關系式；(2)、將y=35代入函數(shù)解析式求出x的值；(3)、利用配方法將函數(shù)配成頂點式，然后根據(jù)函數(shù)的增減性得出最值．【詳解】解：(1)y＝（8－x）（6－x）＝x2－14x＋48．(2)由題意，得  x2－14x＋48＝6×8－13， 解得：x1＝1，x2＝13（舍去）． 所以x＝1．(3)y＝x2－14x＋48＝（x－7）2－1．因為a＝1＞0，所以函數(shù)圖像開口向上，當x＜7時，y隨x的增大而減?。?/span>所以當x＝0.5時，y最大．最大值為41.25．答：改造后油菜花地所占面積的最大值為41.25 m2．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的實際應用問題，屬于中等難度題型．根據(jù)題意列出函數(shù)解析式是解決這個問題的關鍵．3．（2021·杭州市保俶塔實驗學校月考）如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻長15m）的矩形菜園ABCD．設垂直于墻的一邊AD長為x（單位∶m）．（1）求菜園的面積y（單位：m2）與x的函數(shù)表達式；（2）求出自變量x的取值范圍．【答案】（1）y=x（30-2x）；（2）≤x＜15【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的面積=長×寬，計算即可．（2）根據(jù)墻的長度可得不等式組，解之即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x，AB=30-2x，
∴y=x（30-2x）；（2）∵墻長15m，
則0＜30-2x≤15，
∴≤x＜15．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，一元一次不等式組，矩形的面積公式、解題的關鍵是掌握矩形面積的算法，列出表達式，屬于中考?？碱}型．4．（2021·樂清市英華學校月考）如圖，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長方形空地上修建一個長方形花圃．已知AB=20m，BC=30m，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為米，花圃的面積為（）．（1）求關于的函數(shù)關系式；（2）如果通道所占面積是184，求出此時通道的寬的值；（3）已知某園林公司修建通道每平方米的造價為40元，花圃每平方米的造價是60元，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求修建的通道的寬度不少于2米且不超過花圃寬的，則通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價最低，最低總造價為多少元？【答案】（1）；（2）2；（3）通道寬為4米時，修建通道和花圃的總造價最低為29280元．【解析】【分析】（1）根據(jù)所給出的圖形和矩形的面積公式進行計算即可；
（2）根據(jù)整個的面積減去通道的面積等于花圃的面積列出方程，求出x的值，即可得出答案．（3）設修建通道和花圃的總造價為P元，根據(jù)花圃和通道每平方米的造價可得，化簡得，再根據(jù)通道寬不少于2米且不超過花圃寬的列出不等式求出x的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解．【詳解】(1) 由圖可知,花圃的面積為： (2)由題意可列方程： ，解之得：，（不合題意，舍去），∴道路的寬為2米 (3) 設修建通道和花圃的總造價為P元，得∵∴∵80＞0， ∴當時，P隨x的增大而減小，∴當，P最小=29280所以通道寬為2米時，修建通道和花圃的總造價最低為29280元．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，重點是要找等量關系列方程，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程間的關系為解題關鍵．5．（2021·東莞市石碣中學月考）公園原有一塊矩形的空地，其長和寬分別為120米，80米，后來公園管理處從這塊空地中間劃出一塊小矩形，建造一個矩形小花園，并使小花園四周的寬度都相等（四周寬度最多不超過30米）．（1）當矩形小花園的面積為3200平方米時，求小花園四周的寬度．（2）若建造小花園每平方米需資金100元，為了建造此小花園，管理處最少要準備多少資金？此時小花園四周的寬度是多少？【答案】（1）20m；（2）為了建造此小花園，管理處最少要準備120000元，此時小花園四周的寬度是30m．【解析】【分析】（1）設小花園四周的寬度為xm，由于小花園四周小路的寬度相等，可列方程求解；（2）設投入資金為y元，然后根據(jù)（1）可得小花園的寬度與投入資金的函數(shù)關系式，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：（1）設小花園四周的寬度為xm，由于小花園四周小路的寬度相等，則根據(jù)題意，可得（120﹣2x）（80﹣2x）＝3200，即x2﹣100x+1600＝0，解之得x＝20或x＝80．由于四周寬度最多不超過30米，故舍去x＝80．∴x＝20m．答：小花園四周寬度為20m．（2）設投入資金為y元，根據(jù)題意得：，則對稱軸為直線x=50，∵四周寬度最多不超過30米，∴y隨x的增大而減小，∴當矩形四周的寬度最大的時，小花園面積最小，從而投入的建造資金最少，即當x=30時，此時最少資金為100（120﹣2x）（80﹣2x）＝100×（120﹣2×30）×（80﹣2×30）＝120000（元）．答：為了建造此小花園，管理處最少要準備120000元，此時小花園四周的寬度是30m．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，熟練掌握二次函數(shù)的應用是解題的關鍵．熟能生巧6．（2021·廣東荔灣·期末）學校準備建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用周長為30米的籬笆圍成．已知墻長為18米，設花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃的面積為y平方米．（1）求出y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y＝﹣2x2+30x；6≤x＜15；（2）當x＝7.5時，y的最大值是112.5．【解析】【分析】（1）利用矩形的面積公式，列出面積y關于x的函數(shù)解析式，即可求解；（2）根據(jù)自變量的取值范圍和函數(shù)的對稱性確定函數(shù)的最大值即可．【詳解】解：（1）由題意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，即y與x的函數(shù)關系式是y＝﹣2x2+30x；∵墻的長度為18，∴0＜30﹣2x≤18，解得，6≤x＜15，即x的取值范圍是6≤x＜15；（2）由（1）知，y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，而6≤x＜15，∴當x＝7.5時，y取得最大值，此時y＝112.5，即當x＝7.5時，y的最大值是112.5．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，關鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)關系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．7．（2021·福建省惠安荷山中學月考）如圖1，用籬笆靠墻圍成矩形花圍ABCD，墻可利用的最大長度為15米，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍成，籬笆總長為24米．(1)若圍成的花圃面積為40米2時，求BC的長；(2)如圖2若計劃在花圃中間用一道隔成兩個小矩形，且圍成的花圃面積為50米2，請你判斷能否成功圍成花圃，如果能，求BC的長？如果不能，請說明理由．【答案】(1) BC的長為4米；(2) 不能圍成，理由見解析.【解析】【分析】(1）由于籬笆總長為24m，設平行于墻的BC邊長為x m，由此得到，接著根據(jù)題意列出方程，解方程即可求出BC的長；
（2）不能圍成花圃；設BC的長為y米，則AB的長為米,，此方程的判別式△=（-24）2-4×150＜0，由此得到方程無實數(shù)解，所以不能圍成花圃；【詳解】(1)設BC的長度為x米，則AB的長度為米，根據(jù)題意得：x?=40，整理得：x2﹣24x+80=0，解得：x1=4，x2=20．∵20＞15，∴x2=20舍去．答：BC的長為4米．(2)不能圍成，理由如下：設BC的長為y米，則AB的長為米，根據(jù)題意得：y? =50，整理得：y2﹣24y+150=0．∵△=（﹣24）2﹣4×1×150=﹣24＜0，∴該方程無實數(shù)根，∴不能圍成面積為50米2的花圃．【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程的應用，同時也利用了矩形的性質(zhì)，解題關鍵是解題時首先要正確了解題意，然后根據(jù)題意列出方程即可解決問題．8．（2021·湖北利川·初三學業(yè)考試）如圖，在美化校園的活動中，數(shù)學興趣小組用16m長的籬笆，一邊靠墻圍成一個矩形花園ABCD，墻長為6m，設ABm．（1）若花園的面積為14，求的值；（2）花園的面積能否為40？為什么？（3）若要求花園的面積大于24，求的取值范圍．【答案】（1）2；（2）花園的面積不能為40，理由詳見解析；（3）4<≤6．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式列出方程求解即可；（2）根據(jù)矩形的面積計算公式列出連長與面積的二次函數(shù)關系式，計算出最大值，與40比較即可；（3）先確定矩形面積等于24時，x的取值，再確定花園的面積大于24時的取值范圍．【詳解】（1）由題意列方程：， 解得14，2，由于14>6不合題意，所以=2． （2）設花園的面積為，依題意有：，即， 的最大值=32， ∴花園的面積不能為40．（3）由（2）知，當=24時，有，解得12，4， ∵花園的面積大于24，∴4<<12， 又∵墻長為6m，∴0<≤6， ∴的取值范圍是4<≤6．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確題意列出相應的關系式，找出所求問題需要的條件．9．（2021·溫州市第二十三中學初三月考）如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻(圖中的陰影陰影部分就是墻，墻的最大可利用長度為9米)，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．（1）求S與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；（2）當x為多少時，圍成的花圃面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）；（2）當x=5時，圍成面積最大，最大面積45【解析】【分析】（1）根據(jù)題意表示出長和寬，計算即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)最大值的計算方法計算即可；【詳解】（1）∵花圃的寬AB為x米，籬笆長為24米，∴，，∵墻的最大可利用長度為9米，∴，∴；（2）由（1）可知，，當x=5時，最大面積45．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，準確計算是解題的關鍵．10．（2021·蘭溪市實驗中學月考）某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻長足夠長），中間用一道墻隔開（如圖1所示）．已知計劃中的材料可建墻體總長米，設兩間飼養(yǎng)室合計長（米），總占地面積為（米2）．       圖（1）                        圖（2）                      圖（3）       （1）求關于的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍．（2）現(xiàn)需要設計這兩間飼養(yǎng)室各開一扇門（如圖2所示），每扇門寬米，門不采用計劃中的材料．①求總占地面積最大為多少米2？②如圖3所示，離墻米外飼養(yǎng)室一側(cè)準備修一條平行于墻的小路，若擬建的飼養(yǎng)室面積盡量大，飼養(yǎng)室的門口與小路的間隔為多少米？【答案】（1），；（2）①當米時，有最大值，最大值為米2，②飼養(yǎng)室的門口與小路的間隔為米．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出函數(shù)解析式，求出自變量取值范圍即可；（2）①畫二次函數(shù)解析式為頂點式，即可求解；②由題意可知，解得，再根據(jù)①的結論求解即可；【詳解】（1）由題意可知．，自變量的取值范圍為．（2）①由題意可知當米時，有最大值，最大值為．②由題意可知，解得，由①可知米時，飼養(yǎng)室面積最大，且滿足，當時，，飼養(yǎng)室的門口與小路的間隔為米．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，準確計算是解題的關鍵．庖丁解牛11．（2021·無錫市大橋?qū)嶒瀸W校初三月考）結合湖州創(chuàng)建文明城市要求，某小區(qū)業(yè)主委員會覺定把一塊長80m，寬60m的矩形空地建成花園小廣場，設計方案如圖所示，陰影區(qū)域為綠化區(qū)(四塊綠化區(qū)為全等的直角三角形)，空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口寬度一樣，其寬度不小于36m，不大于44m，預計活動區(qū)造價60元/m2，綠化區(qū)造價50元/m2，設綠化區(qū)域較長直角邊為xm.(1)用含x的代數(shù)式表示出口的寬度.(2)求工程造價y與x的函數(shù)表達式，并直接寫出x的取值范圍.(3)如果業(yè)主委員會投資28.4萬元，能否完成全部工程？若能，請寫出x為整數(shù)的方案有多少種；若不能，請說明理由.(4)業(yè)主委員會決定在(3)設計的方案中，按最省錢的一種方案，先對四個綠化區(qū)域進行綠化，在完成了工作量的后，施工方進行了技術改進，每天的綠化面積是原計劃的兩倍，結果提前4天完成四個區(qū)域的綠化任務.問：原計劃每天綠化多少平方米？【答案】(1)80-2x；(2)y=-20x2+200x+288000，（18≤x≤22）；(3)能，有3種；(4)【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形可得結論；（2）根據(jù)面積×造價可得綠化區(qū)和活動區(qū)的費用，相加可得y與x的關系式，根據(jù)所有長度都是非負數(shù)列不等式組可得x的取值范圍；（3）業(yè)主委員會投資28.4萬元，列不等式，結合二次函數(shù)的增減性可得結論；（4）先計算設計的方案中，最省錢的一種方案為x=20時，計算綠化面積，根據(jù)題意列分式方程可得結論，注意方程要檢驗．【詳解】(1)由題意得BC=EF=80-2x(2) AB=CD=x-10= -20x2+200x+288000，（18≤x≤22）(3)令y=-20x2+200x+288000≤284000∵18≤x≤22∴20≤x≤22∵x為整數(shù)∴能否完成全部工程，x為整數(shù)的方案有3種(4)設原計劃每天綠化a平方米∵y=-20x2+200x+288000∴對稱軸x=50∴x=20時最省錢，解得a=∴原計劃每天綠化平方米【點睛】本題是有關幾何圖形的應用問題，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函數(shù)的應用，此題關鍵是求得短邊的長度，再利用矩形的面積求得各部分面積，進一步列不等式（組）解決問題． 

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