專訓三十二、二次函數與幾何綜合：線段最值-2021-2022學年九年級數學上冊計算力提升訓練（人教版）-試卷下載-教習網

計算力專訓三十二、二次函數與幾何綜合：線段最值牛刀小試1．（2021·河南一模）已知拋物線與軸交于點和點，與直線交于點和點，為拋物線的頂點，直線是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的解析式及點的坐標．（2）點為直線上方拋物線上一點，設為點到直線的距離，當有最大值時，求點的坐標．【答案】（1），點的坐標為；（2）點的坐標為；【解析】【分析】（1）先由直線解析式求出B點坐標，再把A，B坐標代入拋物線解析式中，求出a,c的值，從而求出拋物線解析式，再把拋物線解析式化成頂點式，求出頂點坐標即可；（2）過點作軸，交于點，連接，，設點的坐標為，則，寫出△PCB面積的表達式，求出△PCB面積最大值所對應的m，從而求出P點坐標；【詳解】解：（1）∵直線，令y=0，解得x=3，∴，將點，代入拋物線中，得，解得∴拋物線的解析式為，∵，∴點的坐標為；（2）過點作軸，交于點，連接，，如解圖所示，由題意，可知有最大值時，有最大值，設點的坐標為，則，∴，∴，∵，，∴當時，有最大值，且最大值為，此時有最大值，∴點的坐標為；【點睛】本題是對二次函數的綜合考查，熟練掌握二次函數解析式和圖像性質是解決本題的關鍵，屬于中考壓軸題，難度較大.2．（2019·福建石獅·初三一模）已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1，且m≠0．（1）求拋物線的頂點坐標；（2）試說明拋物線與直線有兩個交點；（3）已知點T（t，0），且-1≤t≤1，過點T作x軸的垂線，與拋物線交于點P，與直線交于點Q，當0＜m≤3時，求線段PQ長的最大值．【答案】（1）（-1，-1）；（2）見解析；（3）PQ的最大值為6.【解析】【分析】（1）化為頂點式即可求頂點坐標;（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知拋物線與直線有兩個交點; （3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1）．故分兩種情況進行討論：①如圖1，當-1≤t≤0時；②如圖2，當0＜t≤1時，求出對應的最大值即可．【詳解】解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴拋物線的頂點坐標為（-1，-1）．（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，∵m≠0，∴x1=0，x2=-1．∴拋物線與直線有兩個交點．（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1）．①如圖1，當-1≤t≤0時，PQ==．∵m＞0，當時，PQ有最大值，且最大值為．∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值為．②如圖2，當0＜t≤1時，PQ==．∵m＞0，∴當t=1時，PQ有最大值，且最大值為2m．∵0＜m≤3，∴0＜2m≤6，即PQ的最大值為6．綜上所述，PQ的最大值為6．【點睛】此題主要考查二次函數的應用，（1）（2）題相對簡單，（3）題要分情況進行討論方右解答，因此做此類題型，在進行分類討論時，盡量通過大致圖象數型結合進行解答．3．（2021·江蘇灌南·初三一模）如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），點的坐標為，與軸交于點，作直線．動點在軸上運動，過點作軸，交拋物線于點，交直線于點，設點的橫坐標為．（1）直接寫出拋物線的解析式__________和直線的解析式_________；（2）當點在線段上運動時，直接寫出線段長度的最大值_________；【答案】（1）y=?x2+2x+3，y=?x+3；（2）；【解析】【分析】(1)由A、C兩點的坐標利用待定系數法可求得拋物線解析式，則可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得直線BC的解析式；
(2)用m可分別表示出N、M的坐標，則可表示出MN的長，再利用二次函數的最值可求得MN的最大值；
【詳解】解：(1)∵拋物線過A、C兩點，
∴代入拋物線解析式可得，解得，
∴拋物線解析式為y=?x2+2x+3，
令y=0可得，?x2+2x+3=0，解x1=?1，x2=3，
∵B點在A點右側，
∴B點坐標為(3,0)，
設直線BC解析式為y=kx+b，
把B、C坐標代入可得，解得，
∴直線BC解析式為y=?x+3,故答案為y=?x2+2x+3，y=?x+3；
(2)∵PM⊥x軸，點P的橫坐標為m，
∴M(m,?m2+2m+3)，N(m,?m+3)，
∵P在線段OB上運動，
∴M點在N點上方，
∴MN=?m2+2m+3?(?m+3)=?m2+3m=?(m? )2+ ，
∴∴當m=時，MN有最大值，MN的最大值為，故答案為；【點睛】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的最值、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的性質及分類討論思想等知識點．在(2)中用m表示出MN的長是解題的關鍵，本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．4．（2019·湖南漣源·初三學業(yè)考試）如圖，拋物線與軸交于兩點和，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，過點作軸的垂線，與直線相交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點在直線下方的拋物線上運動時，線段的長度是否存在最大值？存在的話，求出其最大值和此時點的坐標；【答案】（1）；（2）存在，DE取最大值2， D（2，﹣1）；【解析】【分析】(1)利用待定系數法求解可得；
(2)設點D坐標為(m，)，則E點的坐標為(m，)，求得DE關于m的函數關系式，根據二次函數的性質即可求解；【詳解】(1)把點A(1，0)、B(4，0)代入，得：，解得，∴拋物線的解析式是；(2)存在．對于二次函數，令，則，∴點C的坐標為(0，2)，設直線BC的解析式為y＝kx+t，把點B(4，0)，C(0，2)代入y＝kx+t，得：，解得，∴；設點D的坐標為，則點E的坐標為，∴，∴當m＝2時，DE取最大值2，此時，∴點D的坐標為(2，﹣1)；【點睛】本題是二次函數的綜合問題，考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的性質等知識點，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．5．（2019·四川南充·初三一模）如圖1，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖2，點為第二象限拋物線上一動點，軸與交于，求的最大值.【答案】（1）；（2）的最大值是【解析】【分析】（1）由已知先求出點C坐標，進而求得點B坐標，將點A、B坐標分別代入拋物線的解析式中，得到關于a、b的二元一次方程組，解之即可解答；（2）先利用待定系數法求得直線BC的表達式，設出點F、點E的坐標，建立EF的函數表達式，利用二次函數的性質求出EF的最大值，即可得出結論．【詳解】解：（1）拋物線與軸交于，，，，點，將代入拋物線，得：，解得，拋物線解析式為；（2）直線的解析式為（k≠0），將B(﹣3,0)、C(0,3)代入，得：，解得：，∴直線BC的解析式為，設，則，，當時，的最大值是，【點睛】本題屬于二次函數的綜合題型，涉及有利用待定系數法求函數解析式、直角坐標系中點的坐標與線段長度的關系、利用二次函數的性質求最值等知識，解答的關鍵是認真審題，結合圖象獲取相關聯的信息，借助數形結合法、待定系數法、分類討論法等解題方法進行推理、探究、發(fā)現和計算．熟能生巧6．（2021·廈門市第十中學月考）如圖，一次函數的圖象交y軸于點A，交x軸于點B點，拋物線過A、B兩點．（1）求A，B兩點的坐標；并求這個拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x＝t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？【答案】(1) A（0，2），B(4，0)，；(2)當t=2時，MN有最大值4；【解析】【分析】(1)首先求得A、B的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；(2)本問要點是求得線段MN的表達式，這個表達式是關于t的二次函數，利用二次函數的極值求線段MN的最大值；【詳解】解：(1)∵的圖象交y軸于點A，交x軸于點B點，∴A、B點的坐標為：A（0，2），B(4，0)，將x=0，y=2代入得c=2，將x=4，y=0,代入得b=，∴拋物線解析式為：；(2)如答圖1所示，設MN交x軸于點E，則E(t，0)，則M(t，)，又N點在拋物線上，且xN=t，∴，∴，∴當t=2時，MN有最大值4．【點睛】本題主要考查的是二次函數綜合，經常作為壓軸題出現，正確的掌握二次函數的性質是解題的關鍵．7．（2021·昆山市城北中學初三月考）拋物線與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于C（0，2）（1）分別求直線AC及拋物線的解析式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；【答案】（1），；（2）；【解析】【分析】（1）已知拋物線上三個點的坐標，用待定系數法即可求得拋物線解析式；首先設直線AC的解析式為：（k≠0，k、b是常數），同樣利用待定系數法將A、C兩點坐標代入即可求解；（2）已知P是線段AC上的一個動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于E點，可設P點的橫坐標為x()，分別表示出P、E兩點坐標，縱坐標作差，用含x的式子表示PE的長度，即可求出PE的最大值；【詳解】解：（1）將點A（-3，0），B（1，0），C（0，2）代入，化解得：，拋物線的解析式為：，設直線AC的解析式為：（k≠0，k、b是常數），將點A（-3，0），C（0，2）代入，化解得：，直線AC的解析式為：；（2）如圖1所示，P是線段AC上的一個動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于E點，設P點的橫坐標為x()，則P(x，)，E(x，) ，E點在P點的上方，PE=，=，=，=，當時，；【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法解一次函數、二次函數、平行四邊形的應用以及分類討論等知識，分類討論時所有的位置都應考慮是本題的易錯點．8．（2021·浙江長興·初三開學考試）已知：如圖，拋物線y＝ax2+4x+c經過原點O（0，0）和點A （3，3），P為拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為B（m，0），并與直線OA交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線OA上方時，求線段PC的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）．【解析】【分析】（1）把A與O坐標代入拋物線解析式求出a與c的值，即可求出解析式；（2）根據題意表示出P與C的縱坐標，進而表示出線段PC的長，確定出最大值即可．【詳解】解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，則拋物線解析式為y＝﹣x2+4x；（2）設直線OA解析式為y＝kx，把A（3，3）代入得：k＝1，即直線OA解析式為y＝x，∵PB⊥x軸，∴P，C，B三點橫坐標相等，∵B（m，0），∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），∵P在直線OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），當m＝時，PC取得最大值，最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，準確求出解析式是本題的關鍵．9．（2021·浙江寧波·初三月考）如圖，二次函數的圖象交x軸于點，，交y軸于點C．點是x軸上的一動點，軸，交直線于點M，交拋物線于點N．（1）求這個二次函數的表達式；（2）①若點P僅在線段上運動，如圖1．求線段的最大值；【答案】（1）；（2）①，【解析】【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）①由點得，從而得，整理，化為頂點式即可得到結論；【詳解】解：（1）把代入中，得解得∴．（2）設直線的表達式為，把代入．得，解這個方程組，得∴． ∵點是x軸上的一動點，且軸．∴． ∴． ∵，∴此函數有最大值．又∵點P在線段上運動，且∴當時，有最大值．【點睛】本題考查了二次函數綜合題，解（1）的關鍵是待定系數法；解（2）的關鍵是利用線段的和差得出二次函數，又利用了二次函數的性質．10．（2021·廣東初三其他）如圖，拋物線與軸交于兩點，于軸交于點，連接，已知．（1）求拋物線的解析式；（2）點是線段上一動點，過點P作軸，交拋物線于點D，求的長的最大值；【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）把A，B兩點坐標代入求出a，c的值即可得出結論；（2）求出直線BC的解析式為，設設，則，從而得到，進而得到結論；【詳解】解：（1）把，分別代入，得解得 ∴拋物線的解析式為．（2）由（1）知，拋物線的解析式為，當時，，∴．設直線BC的解析式為，把，分別代入，得解得∴直線BC的解析式為．∵點在線段BC上，點D在拋物線上，軸，∴設，則，∴． ∴當，即時，PD的長的值最大，PD的長的最大值為．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法、二次函數的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、方程思想以及分類討論思想等知識，熟練掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．庖丁解牛11．（2021·浙江溫州·初三月考）如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（ - 2，0）、（0， - 4），點B在x軸上，已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x= 2，點P為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于點F．（1）求該二次函數的解析式；（2）若設點P的橫坐標為m，用含m的代數式表示線段PF的長．（3）求△PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標．
【答案】（1）（2）PF=（3）9；．【解析】【分析】（1）根據題意及待定系數法可直接列出方程求解即可；（2）先求直線BC的解析式，則點F的坐標即可求得，然后根據兩點距離可求解；（3）由（2）及鉛垂法來表示出三角形的面積，然后根據二次函數的性質求解最大面積．【詳解】解：（1）設二次函數的解析式為，由題意得：點A、C的坐標分別為，對稱軸為直線，解得：，二次函數解析式為；（2）由（1）及題意可得：，令y=0時，，解得，設直線BC的解析式為，，解得，，，；（3）由（2）得：，由鉛垂法得水平寬表示為B點的橫坐標與C點的橫坐標之差，即，，，當時，取最大值，即，．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合運用，關鍵是根據待定系數法求出解析式，然后利用兩點距離求出線段的長，主要還是要根據鉛垂法求出三角形的面積．

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