押第22題圓的相關(guān)證明與計(jì)算-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（廣東專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?押第22題圓的相關(guān)證明與計(jì)算

中考對圓的相關(guān)證明知識(shí)的考查要求較高，均是以8分~10分題的簡答形式進(jìn)行考查，一般難度較高，要求考生熟練掌握與圓有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，三角形相似，直角三角形等知識(shí)．縱觀近3年的高考試題，主要考查以下兩個(gè)方面：一是考查圓的切線與角度、平行四邊形等證明．二是考查線段長度，面積，弧長等計(jì)算．

1．（2021廣東）如題22圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直徑，CO平分∠BCD．
（1）求證：直線CD與⊙O相切；
（2）如題22﹣2圖，記（1）中的切點(diǎn)為E，P為優(yōu)弧上一點(diǎn)，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．

【解答】
（1）證明：過點(diǎn)O作OE⊥CD交于點(diǎn)E
∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴∠OBC=90°即OB⊥BC
∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD
∴OB=OE
∵AB是⊙O的直徑
∴OE是⊙O的半徑
∴直線CD與⊙O相切
（2）連接OD、OE
∵由（1）得，直線CD、AD、BC與⊙O相切
∴由切線長定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，
∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO
∴∠AOD=∠EOD，CD=3
∵=
∴∠APE=∠AOE=∠AOD
∵AD∥BC
∴∠ADE+∠BCE=180°
∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°
∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO
∴△ODE∽△CDO
∴即
∴OD=
∵在Rt△AOD中，AO=
∴tan∠AOD==
∴tan∠APE=
2．（2021深圳）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.連接BC并延長，交AD的延長線于點(diǎn)E
（1）求證：AE=AB
（2）若AB=10，BC=6，求CD的長
【解答】
解：（1）證：連接OC
∵CD與相切于C點(diǎn)
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴
∵OC=OB
∴
∴
∴AE=AB
（2）連接AC
∵AB為的直徑
∴
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵,
∴△EDC∽△ECA
∴
∴
3．（2019廣東）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．
（1）求證：ED＝EC；
（2）求證：AF是⊙O的切線；
（3）如圖2，若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BC?BE＝25，求BG的長．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；

（2）如圖1，連接OA，

∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF為⊙O的切線；

（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BC?BE，
∴BC?BE＝25，
∴AB＝5，
如圖2，連接AG，

∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵點(diǎn)G為內(nèi)心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
4．（2019廣州）如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝8，連接BC．
（1）尺規(guī)作圖：作弦CD，使CD＝BC（點(diǎn)D不與B重合），連接AD；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖中，求四邊形ABCD的周長．

【分析】（1）以C為圓心，CB為半徑畫弧，交⊙O于D，線段CD即為所求．
（2）連接BD，OC交于點(diǎn)E，設(shè)OE＝x，構(gòu)建方程求出x即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，線段CD即為所求．

（2）連接BD，OC交于點(diǎn)E，設(shè)OE＝x．
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴OC⊥BD于E．
∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得x＝，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE＝，
∴四邊形ABCD的周長＝6+6+10+＝．
5．（2019深圳）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，以線段為直徑作圓，圓心為，直線交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：直線是的切線；
（2）點(diǎn)為軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接；
①當(dāng)時(shí)，求所有點(diǎn)的坐標(biāo)　　（直接寫出）；
②求的最大值．

【分析】（1）連接，證明即可，可通過半徑相等得到，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得，，得證；
（2）①分兩種情況：位于線段上，位于的延長線上；過作的垂線，構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形性質(zhì)可求得點(diǎn)坐標(biāo)；
②應(yīng)用相似三角形性質(zhì)和三角函數(shù)值表示出，令，應(yīng)用二次函數(shù)最值可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）證明：如圖1，連接，為圓的直徑，
，

即：
軸

點(diǎn)在上
直線為的切線．
（2）①如圖2，當(dāng)位于上時(shí)，過作于，

，，
，即
設(shè)，則，

，解得：

即，
如圖3，當(dāng)位于的延長線上時(shí)，過作于，

設(shè)，則，

解得：

即
故答案為：，，．
②如圖4，為直徑

，

令
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)
．

6．（2018廣東）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，連接AC，OD交于點(diǎn)E．
（1）證明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切；
（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長．

【分析】（1）連接OC，證△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB為直徑知BC⊥AC，從而得OD∥BC；
（2）根據(jù)tan∠ABC=2可設(shè)BC=a、則AC=2a、AD=AB==，證OE為中位線知OE=a、AE=CE=AC=a，進(jìn)一步求得DE==2a，再△AOD中利用勾股定理逆定理證∠OAD=90°即可得；
（3）先證△AFD∽△BAD得DF?BD=AD2①，再證△AED∽△OAD得OD?DE=AD2②，由①②得DF?BD=OD?DE，即=，結(jié)合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，據(jù)此可得=，結(jié)合（2）可得相關(guān)線段的長，代入計(jì)算可得．
【解答】解：（1）連接OC，

在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC==2，
∴設(shè)BC=a、則AC=2a，
∴AD=AB==，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，
在△AED中，DE==2a，
在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
則DA與⊙O相切；

（3）連接AF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴=，即DF?BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴=，即OD?DE=AD2②，
由①②可得DF?BD=OD?DE，即=，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，
∴=，即=，
解得：EF=．

1．（2021汕頭市金平區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D．DE⊥AC，垂足為E．CF∥AB交AD延長線于點(diǎn)F．連接BF交⊙O于點(diǎn)G，連接DG．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）求證：四邊形ABFC為菱形；
（3）若OA＝5，DG＝2，求線段GF的長．

【分析】（1）連接OD，證明∠ODB＝∠ACB，則OD∥AC，而DE⊥AC，故DE⊥OD，即可求解；
（2）證明四邊形ABFC為平行四邊形，而AB＝AC，即可求解；
（3）證明四邊形ABFC為菱形，得到DA＝DG＝2，AF＝2AD＝．證明△FGD∽△FAB，則，即可求解．
【解答】（1）證明：連接OD，∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠ODB＝∠ACB．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE為⊙O的切線；

（2）證明：由（1）得，OD∥AC．
又∵OA＝OB，
∴DB＝DC．
∵CF∥AB，
∴∠BAD＝∠CFD，∠ABD＝∠FCD．
∴△ABD≌△FCD（AAS）．
∴AB＝CF．
∴四邊形ABFC為平行四邊形．
∵AB＝AC，
∴平行四邊形ABFC為菱形；

（3）解：∵AB為⊙O的直徑，OA＝5，
∴AB＝10．
∵四邊形ABFC為菱形，
∴∠ABD＝∠FBD，AF＝2AD．
∴DA＝DG＝2．
∴AF＝2AD＝．
∵四邊形ABGD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABG+∠ADG＝180°．
∵∠GDF+∠ADG＝180°，
∴∠GDF＝∠ABG．
∵∠GFD＝∠BFA，
∴△FGD∽△FAB．
∴．
∴．
2．（2021佛山市大瀝鎮(zhèn)一模）如圖，已知△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∠CBD＝∠A．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若E為中點(diǎn)，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的長．

【分析】（1）由圓周角定理和已知條件證出∠CBD+∠ABD＝90°．得出∠ABC＝90°，即可得出結(jié)論．
（2）連接AE．由圓周角定理得出∠BAD＝∠BED，由三角函數(shù)定義求出直徑AB＝20．證出AE＝BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE＝45°，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∴∠A+∠ABD＝90°．
又∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴BC為⊙O的切線．
（2）解：連接AE．如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°．
∵∠BAD＝∠BED，
∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．
∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，
∵BD＝12，
∴AB＝20．
∵E為的中點(diǎn)，
∴AE＝BE．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠BAE＝45°．
∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝．
3．（2021惠州市一模）如圖，是的外接圓，點(diǎn)在邊上，的平分線交于點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作的平行線與的延長線相交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）求證：；
（3）當(dāng)，時(shí)，求線段的長．

【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
（3）先求出，再判斷出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，連接，
是的直徑，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半徑，
是的切線；

（2），
，
，
，
，，
，
，

（3）是的直徑，
，
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．

4．（2021佛山市禪城區(qū)一模）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B．延長BO與⊙O交于點(diǎn)B，延長BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長線交于點(diǎn)E，
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若OC：BC＝2：3，求sinE的值．

【分析】（1）連接OA，由SSS證明△PBO≌△PAO，得出∠PBO＝∠PAO＝90°即可；
（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到＝，證出OC是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出AD＝2OC，由已知設(shè)OC＝2t，則BC＝3t，AD＝4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
【解答】（1）證明：連接OA，如圖1所示：
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，
∴BC＝CA，PB＝PA，
在△PBO和△PAO中，，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB為⊙O的切線；
（2）解：連接AD，如圖2所示：
∵BD是直徑，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴＝，
∵BC＝AC，OB＝OD，
∴OC是△ABD的中位線，
∴AD＝2OC，
∵OC：BC＝2：3，
設(shè)OC＝2t，則BC＝3t，AD＝4t．
∵∠OBC+∠PBC＝90°，∠BOC+∠OBC＝90°，
∴∠BOC＝∠PBC，
∵∠OCB＝∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴，即，
∴PC＝t，OP＝t．
∴＝＝，
設(shè)EA＝8m，EP＝13m，則PA＝5m．
∵PA＝PB，
∴PB＝5m，
∴sinE＝＝．

（限時(shí)：50分鐘）
1．（2021?銅仁市）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，CE⊥AB于點(diǎn)E，D是直徑AB延長線上一點(diǎn)，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝8，，求CD的長．

【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACO，等量代換得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)BC＝k，AC＝2k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanAtan∠BCE，
設(shè)BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝8，
∴CD＝4．

2．（2021?溫州）如圖，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E，G是上一點(diǎn)，∠ADC＝∠G．
（1）求證：∠1＝∠2．
（2）點(diǎn)C關(guān)于DG的對稱點(diǎn)為F，連結(jié)CF．當(dāng)點(diǎn)F落在直徑AB上時(shí)，CF＝10，tan∠1=，求⊙O的半徑．

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和AB為⊙O的直徑，即可證明∠1＝∠2；
（2）連接DF，根據(jù)垂徑定理可得FD＝FC＝10，再根據(jù)對稱性可得DC＝DF，進(jìn)而可得DE的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出⊙O的半徑．
【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，
∴，
∵AB為⊙O的直徑，
∴，
∴∠1＝∠2；
（2）如圖，連接DF，

∵，AB是⊙O的直徑，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵點(diǎn)C，F(xiàn)關(guān)于DG對稱，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1，
∴EB＝DE?tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2，
∴AE，
∴AB＝AE+EB，
∴⊙O的半徑為．
3．（2021?衢州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，其中點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的長．

【分析】（1）利用垂徑定理以及圓周角定理解決問題即可．
（2）證明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解決問題．
【解析】（1）證明：∵AE＝DE，OC是半徑，
∴，
∴∠CAD＝∠CBA．

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE＝3.6，
∵OCAB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．

4．（2021?湖州）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連結(jié)BD，BC平分∠ABD．
（1）求證：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求的長．

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)和圓周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圓周角定理可得，由弧長公式可求解．
【解析】（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴，
∵AD是⊙O的直徑，AD＝6，
∴的長π×6π．
5．（2021?遵義）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∠CAB的平分線AD交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的長度．

【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出∠ADO＝∠DAE，從而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠ODE＝90°，由切線的判定定理得出答案；
（2）先由直徑所對的圓周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，進(jìn)而得出AF和BA的值，然后證明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)得比例式，從而求得BD2的值，求算術(shù)平方根即可得出BD的值．
【解析】（1）連接OD，如圖：

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF?BA＝2×6＝12．
∴BD＝2．
6．（2019?陜西）如圖，⊙O的半徑OA＝6，過點(diǎn)A作⊙O的切線AP，且AP＝8，連接PO并延長，與⊙O交于點(diǎn)B、D，過點(diǎn)B作BC∥OA，并與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC、CD．
（1）求證：DC∥AP；
（2）求AC的長．

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠BCD＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵AP是⊙O的切線，
∴∠OAP＝90°，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∵OA∥CB，
∴∠AOP＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠APO，
∴DC∥AP；
（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，
∴延長AO交DC于點(diǎn)E，
則AE⊥DC，OEBC，CECD，
在Rt△AOP中，OP10，
由（1）知，△AOP∽△CBD，
∴，
即，
∴BC，DC，
∴OE，CE，
在Rt△AEC中，AC．

7．（2021?聊城）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．
（1）試證明DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，AC＝6，求此時(shí)DE的長．

【分析】（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)題意求得AD，根據(jù)勾股定理求得BD，然后證得△CDE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得DE．
【解析】（1）證明：連接OD、BD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D為AC中點(diǎn)，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）由（1）知BD是AC的中線，
∴AD＝CD3，
∵O的半徑為5，
∴AB＝6，
∴BD，
∵AB＝AC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即，
∴DE＝3．

8．（2021?上海）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點(diǎn)D．
（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；
（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大??；
（3）當(dāng)AD＝2，CD＝3時(shí)，求邊BC的長．

【分析】（1）連接OA．利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．
（2）分三種情形：①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可．
（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長線于E．則，推出，設(shè)OB＝OA＝4a，OH＝3a，根據(jù)BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，構(gòu)建方程求出a即可解決問題．
【解析】（1）證明：連接OA．
A
∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如圖2中，延長AO交BC于H．

①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．
綜上所述，∠C的值為67.5°或72°．

（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長線于E．

則，
∴，設(shè)OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2，
∴BH，
∴BC＝2BH．
9．（2021?金華）如圖，的半徑OA＝2，OC⊥AB于點(diǎn)C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的長．
（2）求的長．

【分析】（1）根據(jù)題意和垂徑定理，可以求得AC的長，然后即可得到AB的長；
（2）根據(jù)∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．
【解析】（1）∵的半徑OA＝2，OC⊥AB于點(diǎn)C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA?sin60°＝2，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的長是：．
10．（2021?齊齊哈爾）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若直徑AB＝6，求AD的長．

【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件得到∠BOD180°＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到結(jié)論；
（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：連接OD，
∵，
∴∠BOD180°＝60°，
∵，
∴∠EAD＝∠DABBOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BDAB＝3，
∴AD3．

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