專題08 相似經(jīng)典-2022年決勝中考數(shù)學(xué)考前搶分沖刺（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題08 相似經(jīng)典 (原卷版）一．選擇題1．如圖，等邊△ABC的邊長為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD，線段PQ在邊BA上運(yùn)動，PQ，有下列結(jié)論：①CP與QD可能相等；②△AQD與△BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為；④四邊形PCDQ周長的最小值為3．其中，正確結(jié)論的序號為（　　）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③2．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF，過點(diǎn)F作AD的平行線交BA的延長線于點(diǎn)H，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EG、EF．下列結(jié)論：①△ECF的面積為；②△AEG的周長為8；③EG2＝DG2+BE2；其中正確的是（　?。?/span>A．①②③ B．①③ C．①② D．②③3．如圖，在矩形ABCD中，BCAB，E為BC中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連CF，下列結(jié)論：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③BC2＝2DO?DF；④．正確的有（　　）個．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題4．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是　　．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，則DF的長為　　．三．解答題（共15小題）6．如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)E，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，G是AD延長線上一點(diǎn)，連接BG，交AC于點(diǎn)H，且∠DBG∠BAD．（1）求證：BG是⊙O的切線；（2）若CH＝3，tan∠DBG，求⊙O的直徑．7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連接OC，弦AD分別交OC，BC于點(diǎn)E，F，其中點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長．8．在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF．（1）當(dāng)∠CAB＝45°時．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時，請直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是　　．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是　　；②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題．（2）當(dāng)∠CAB＝30°時，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 9．閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點(diǎn)O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點(diǎn)O，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由．（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對角線AC于點(diǎn)M．①若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面積．10．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長；（3）若AE﹣DE＝2EC，記∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別過OB，OC的中點(diǎn)D，E作AE，AD的平行線，相交于點(diǎn)F，已知OB＝8．（1）求證：四邊形AEFD為菱形．（2）求四邊形AEFD的面積．（3）若點(diǎn)P在x軸正半軸上（異于點(diǎn)D），點(diǎn)Q在y軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A，P，Q，G為頂點(diǎn)的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．12．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值是　　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　　．（2）類比探究如圖2，當(dāng)α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)α＝90°時，若點(diǎn)E，F分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時的值．13．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的邊長．14．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB＝90°，求證：．【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH＝GH．【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC＝180°，且，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA＝∠AEB，延長FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG＝CG．15．如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點(diǎn)（與B、C不重合），連接AE，G是BC延長線上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）請直接寫出EC為何值時，△CEF的面積最大．16．如圖，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），點(diǎn)E是線段CB延長線上的一個動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交射線DC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若k＝1，則AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系是　　；（2）如圖2，若k≠1，試判斷AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，連接BD交AF于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)CF＝1時，求EG的長．17．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE＝DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到BE＝DG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論BE＝DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG．小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，DE2+BG2的值是定值，請求出這個定值．18．我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)．它們的比值為．（1）在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為　　cm；（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．19．問題背景如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應(yīng)用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接寫出AD的長．20．圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB、PC，∠1＝∠2，將∠CPB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)得∠EPD，射線PE交線段BC于點(diǎn)E，射線PD交線段AB于點(diǎn)D．（1）求證：△PDB∽△PEC．（2）圖2，若BP＝PC，且BC＝8，tan∠ABP，求四邊形DPEB周長的最小值．（3）圖3，若△ABC為等邊三角形，AB＝7，2，求PE與△ABC的一邊平行時AD的長．

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