專題03半角模型一、半角模型與正方形1.通過(guò)類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）思路梳理把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即點(diǎn)F、D、G共線，易證△AFG≌　  　，故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為　      　．（2）類比引申如圖2，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上，∠EAF＝45°．連接EF，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．    2．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，連接DG．（1）∠EDG＝　   　°；（2）如圖2，若正方形邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接BF．①求線段AG的長(zhǎng)；②求△BEF的面積；（3）當(dāng)DE＝DG時(shí)，若令CE＝a，則BE2＝　   　（用含a的式子表示）．3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，△ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（　?。?/span>A．2 B．3 C．4 D．5二．半角模型之矩形4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上．若DF＝2，∠EAF＝45°，則BE＝　              　．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)E，F分別在BC，CD上，若BE，∠EAF＝45°，則AF＝　             　．6．如圖,矩形ABCD，AB＝3，AD＝6．點(diǎn)M、N分別在邊CD、BC上，AN，∠MAN＝45°，直接寫出AM的長(zhǎng)度．  7．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝m，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝2．（1）若m＝8，點(diǎn)F在邊DC上，且∠EAF＝45°（如圖2），求DF的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)F在邊DC上，且∠EAF＝45°，求m的取值范圍．    三．半角模型之三角形8．如圖，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，以C為頂點(diǎn)的45°的角在△ABC形內(nèi)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊交AB于點(diǎn)E、F，求證：EF2＝AE2+BF2．9．已知：如圖，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，點(diǎn)D、E是BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，△ADC與△ADF關(guān)于直線AD對(duì)稱．求證：（1）∠FAE＝∠BAE；（2）CD2+BE2＝DE2． 四．半角模型之菱形10．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF＝60°（1）寫出BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)∠EAF繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠EAF的兩邊與菱形的兩邊相交，但不垂直時(shí)，上述的結(jié)論是否成立，如成立，請(qǐng)證明之，若不成立，寫出BE、DF、AB三者之間的關(guān)系，證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)∠EAF繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠EAF的兩邊與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交，但不垂直，請(qǐng)直接寫出BE、DF、AB三者之間的關(guān)系．11．（1）如圖將∠EAF繞著四邊形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交CB的延長(zhǎng)線于E，交DC的延長(zhǎng)線于F，連接EF．若AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，∠EAF∠BAD，請(qǐng)直接寫出EF與DF、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長(zhǎng)．①EF的長(zhǎng)為：　 　；②數(shù)量關(guān)系：　 　．12．如圖在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，則∠CEF的大小為　    　．五．半角模型之綜合13．【問(wèn)題背景】如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結(jié)論：　         　．【探索延伸】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．【結(jié)論應(yīng)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏東60°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏西20°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正南方向以30海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿南偏東40°的方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF＝70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．直接寫出結(jié)果．14．“半角型”問(wèn)題探究：（1）正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且∠EAF＝45°，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．拓展提高（2）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AE＝CF＝1，O為EF的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點(diǎn)P在O、F之間（與O、F不重合），且∠GPE＝45°，設(shè)AG＝m，求m的取值范圍．       15．如圖，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF＝（4040）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)． 

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