專題09  巧解三角函數(shù)  (原卷版） 必會模型一：雙直角三角形。（高為些類模型的常見輔助線。）AD為中介，把AB，AC相聯(lián)系。 圖1：     圖2：必會模型二：三直角三角形.(RT△+斜邊上的高) (1)    多組相等比例線段sinA=sin∠1 ===sinB=sin∠2===cosA=cos∠1 ===cosB=cos∠2 ===tanA=tan∠1 ===tanB=tan∠2 ===(2)    可得射影定理.(快速求線段長.)AC2＝AD?ABBC2＝BD?ABCD2＝AD?BD 三、必會核心技巧： 作垂線，構(gòu)Rt△ .中考真題精選一．填空題1．如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行．在B點(diǎn)測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船還需航行　    　海里就開始有觸礁的危險(xiǎn)．2．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，B，C均為格點(diǎn)．（Ⅰ）sin∠ABC的值為　              　；（Ⅱ）點(diǎn)D，F分別為AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DF的對稱點(diǎn)為E，且DE∥AC，連接DE，EF分別交BC于點(diǎn)H，G，當(dāng)S△ADF＝15S△EHG時(shí)，請利用無刻度直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)D，F，并簡要說明點(diǎn)D，F的位置是如何找到的（不要求證明）　              　．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，連BD，過C點(diǎn)作BD的垂線與過A點(diǎn)作AC的垂線交于點(diǎn)E．當(dāng)tan∠ABD，cos∠E，則的值是　               　．4．如圖，四邊形ABCD中，BD與AC相交于E點(diǎn)，AE＝CE，BC＝AC＝DC，則tan∠ABD?tan∠ADB＝　              　．5．關(guān)于x的方程2x2﹣5xsinA+2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中∠A是銳角△ABC的一個(gè)內(nèi)角；關(guān)于y的方程y2﹣10y+m2﹣4m+29＝0的兩個(gè)根恰好是△ABC的兩邊長，則△ABC的周長是　                　．6．如圖，工程師為了測量小島A到公路BD的距離，先在點(diǎn)B處測∠ABD＝37°，再沿BD方向前進(jìn)100米到達(dá)點(diǎn)C，測得∠ACD＝45°，則小島A到公路BD的距離約為　    　米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）7．如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠BAC的值為　              　．8．如圖，某高為60米的大樓AB旁邊的山坡上有一個(gè)“5G”基站DE，從大樓頂端A測得基站頂端E的俯角為45°，山坡坡長CD＝10米，坡度i＝1：，大樓底端B到山坡底端C的距離BC＝30米，則該基站的高度DE＝　                　米．9．如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知乙樓的高CD＝20m，則甲樓的高AB的高度是　             　m．（結(jié)果保留根號）10．△ABC中，AC＝2，點(diǎn)D為直線AB上一點(diǎn)，且AB＝3BD，直線CD與直線BC所夾銳角的正切值為，并且CD⊥AC，則BC的長為　                　．11．如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC，CD．測得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°，則電線桿AB的高度為　                　．12．一艘輪船在小島A的北偏東60°方向距小島60海里的B處，沿正西方向航行3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，則該船行駛的速度為　                　海里/小時(shí)．13．如圖，一樓房AB后有一假山，其斜面坡度為i＝1：（斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），山坡坡面上點(diǎn)E處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC＝25米，與亭子距離CE＝20米，小麗從樓房頂測得E點(diǎn)的俯角為45°，則樓房AB的高為　                　米．二．解答題14．脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點(diǎn)測得屋頂A的仰角為35°，此時(shí)地面上C點(diǎn)、屋檐上E點(diǎn)、屋頂上A點(diǎn)三點(diǎn)恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，又測得屋檐E點(diǎn)的仰角為60°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于點(diǎn)G（點(diǎn)C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7）（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；（2）求房屋的高AB（結(jié)果精確到1m）．15．某數(shù)學(xué)興趣小組去測量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為20米的發(fā)射塔AB，如圖所示．在山腳平地上的D處測得塔底B的仰角為30°，向小山前進(jìn)80米到達(dá)點(diǎn)E處，測得塔頂A的仰角為60°，求小山BC的高度．16．筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”．如圖，半徑為3m的筒車⊙O按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)圈，筒車與水面分別交于點(diǎn)A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2.2m，筒車上均勻分布著若干個(gè)盛水筒．若以某個(gè)盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間．（1）經(jīng)過多長時(shí)間，盛水筒P首次到達(dá)最高點(diǎn)？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？（3）若接水槽MN所在直線是⊙O的切線，且與直線AB交于點(diǎn)M，MO＝8m．求盛水筒P從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過多長時(shí)間恰好在直線MN上．（參考數(shù)據(jù)：cos43°＝sin47°，sin16°＝cos74°，sin22°＝cos68°）17．小婷在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“中國﹣南亞博覽會”的豎直標(biāo)語牌CD．她在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°，測得隧道底端B處的俯角為30°（B，C，D在同一條直線上），AB＝10m，隧道高6.5m（即BC＝6.5m），求標(biāo)語牌CD的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，1.73）18．重慶市某校數(shù)學(xué)興趣小組在水庫某段CD的附近借助無人機(jī)進(jìn)行實(shí)物測量的社會實(shí)踐活動．如圖所示，興趣小組在水庫正面左岸的C處測得水庫右岸D處某標(biāo)志物DE頂端的仰角為α．在C處一架無人飛機(jī)以北偏西90°﹣β方向飛行100米到達(dá)點(diǎn)A處，無人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行30米至B處，測得正前方水庫右岸D處的俯角為30°．線段AM的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上．（1）求無人機(jī)的飛行高度AM；（2）求標(biāo)志物DE的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（已知數(shù)據(jù)：sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ＝2，1.732）19．深圳是沿海城市，每年都會受到幾次臺風(fēng)侵襲，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)景，有極強(qiáng)的破壞力．某次，據(jù)氣象觀察，距深圳正南200千米的A處有一臺風(fēng)中心，中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心30千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度沿北偏東43°方向向B移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市受到風(fēng)力達(dá)到或超過六級，則稱受臺風(fēng)影響．（1）此次臺風(fēng)會不會影響深圳？為什么？（2）若受到影響，那么受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？（3）若受到影響，那么此次臺風(fēng)影響深圳共持續(xù)多長時(shí)間？（結(jié)果可帶根號表示）（sin43°，cos42°，tan42°）20．如圖，一枚運(yùn)載火箭從距雷達(dá)站C處5km的地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A，B時(shí)，在雷達(dá)站C處測得點(diǎn)A，B的仰角分別為34°，45°，其中點(diǎn)O，A，B在同一條直線上．求AC和AB的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）21．如圖，某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測高”后，選定測量小河對岸一幢建筑物BC的高度，他們先在斜坡上的D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．且D離地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A處測得建筑物頂端B的仰角是60°，點(diǎn)E，A，C在同一水平線上，求建筑物BC的高．（結(jié)果用含有根號的式子表示）    

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