2022屆江蘇省淮安市淮陰中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知，再求集合交集即可得答案.【詳解】解：解不等式得，所以故選：B2．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè)，則，所以且，所以，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限.故選：A3．已知平面向量，滿足，且，，則（       ）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，求得，再利用數(shù)量積求模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，且，，故可得，解得；又.故選：B.4．已知，則（       ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件求得，再將目標(biāo)齊次式利用同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化，即可代值求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，故可得，則，又.故選：D.5．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，且，則“為遞增數(shù)列”是“”的（       ）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、等比數(shù)列的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，以及充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，則.在上遞減.結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：是遞增數(shù)列是遞減數(shù)列，所以“為遞增數(shù)列”是“”的充要條件.故選：A6．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（       ）A．0 B．1 C．2 D．2021【答案】B【分析】利用奇偶性求出函數(shù)的周期，結(jié)合周期和給定的解析式求解答案.【詳解】因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，所以的周期為4；.故選：B.7．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，由已知可得對(duì)任意的恒成立，解得對(duì)任意的恒成立，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意的，，對(duì)任意的，不等式恒成立，即，即對(duì)任意的恒成立，且為正數(shù)，則，可得，所以，，可得.故選：A.二、多選題8．如圖正方體棱長(zhǎng)為a，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（       ）A．平面平面 B．平面C．與成60°角 D．三棱錐的體積為【答案】CD【分析】根據(jù)正方體的幾何特點(diǎn)，結(jié)合線面平行的證明、線面垂直的證明，棱錐體積的計(jì)算公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：連接，如下所示：因?yàn)?/span>是正方體，故可得////，又面面，故平面//平面，故A正確；對(duì)B：連接，如下所示：先證，因?yàn)?/span>是正方體，故，又面面，故，又面，故面，又面，故；再證，因?yàn)?/span>是正方體，故，又面面，故，又面，故面，又面，故；又面，故面，故B正確；對(duì)C：與B同理可證面，又面，故，則直線的夾角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，又面，故，故D錯(cuò)誤.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考察立體幾何中線面垂直、面面平行的證明，以及棱錐體積的計(jì)算，異面直線夾角的計(jì)算，屬綜合中檔題；其中解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用證明所需的定理和性質(zhì).9．已知、表示不同的平面，、表示不同的直線，則下列命題中正確的有（       ）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，且，則【答案】AB【分析】利用面面垂直的判定可判斷A選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)已知條件判斷線面、線線位置關(guān)系，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則，因?yàn)?/span>，則或，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，且，則、平行、相交或異面，D錯(cuò).故選：AB.10．已知，則下列不等式正確的是（       ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用作差法可判斷BD選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則，，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則，由基本不等式可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則，，，，所以，，D對(duì).故選：BCD.11．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（       ）A．的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)的最小值為【答案】AD【分析】分別研究，的最小正周期即可判斷A選項(xiàng)；時(shí)，，再分段研究即可判斷B選項(xiàng)；取特殊值，判斷C選項(xiàng)；研究函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的值域判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由于函數(shù)的最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由題知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，故函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的值域?yàn)?/span>，進(jìn)而函數(shù)的值域?yàn)?/span>，即最小值為，故D選項(xiàng)正確.故選：AD12．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正根，且，則下列說(shuō)法正確的有（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，研究其函數(shù)圖像得，可判斷A；再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法得判斷B；進(jìn)而得判斷C；根據(jù)等價(jià)得判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不等的正根，且，故令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)有極小值，因?yàn)?/span>趨近于，趨近于，趨近于，趨近于，所以方程有兩個(gè)不等的正根等價(jià)于，且故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，所以，所以，顯然滿足.故D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根的問(wèn)題，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二個(gè)選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性證明.三、填空題13．設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，若，，，成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得的公比，由此求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于成等差數(shù)列，所以，即，解得，所以故答案為：14．已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：求導(dǎo)得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，即，因?yàn)?/span>a，b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為故答案為：15．如圖所示，等邊△ABC中，已知，點(diǎn)M在線段BC上，且滿足，N為線段AB的中點(diǎn)，CN與AM相交于點(diǎn)P，則__________.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算出.【詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，，.故答案為：四、雙空題16．在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛（Alberobello），這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?/span>Trullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)Trullo的屋項(xiàng)，得到圓錐SO（其中S為頂點(diǎn)，O為底面圓心），母線SA長(zhǎng)為6米，C是母線SA的靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，若燈光帶的最小長(zhǎng)度為米.（1）圓錐的底面半徑為__________米；（2）棱長(zhǎng)為a米的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則a的最大值為__________米.【答案】     ；     【分析】根據(jù)題意，作出圖形可計(jì)算其側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角為，進(jìn)而得圓錐的底面半徑為米；四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，進(jìn)而根據(jù)軸截面中的幾何關(guān)系求該圓錐的內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)正四面體的棱長(zhǎng)與其外接球的半徑關(guān)系得.【詳解】解：根據(jù)題意得，在圖1中，圓錐中，母線長(zhǎng)，側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，，設(shè)圓錐的底面半徑為，由題，四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球心為，球的半徑為，則軸截面上球與圓錐側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)為，如圖2所示，由于，故，∴，由內(nèi)切圓的性質(zhì)得為的角平分線，∴ ，，∴，，∴，即，∵棱長(zhǎng)為的正四面體中，其外接球的半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系為，∴故答案為：；五、解答題17．已知滿足，且在上單調(diào)遞增.(1)求的解析式；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知是的一條對(duì)稱軸，再根據(jù)已知條件得，，再待定系數(shù)得，故；（2）由題知，由于，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式求解即可.【詳解】(1)解：因?yàn)?/span>滿足所以是的一條對(duì)稱軸，因?yàn)?/span>且在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以所以(2)解：由（1）知，即因?yàn)?/span>所以所以.18．已知等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，.(1)求p的值及通項(xiàng)公式；(2)若          ，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在①；②；③三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中并對(duì)其求解，如果多寫按第一個(gè)計(jì)分.【答案】(1)，；(2)選①時(shí)，；選②時(shí)，，其中；選③時(shí)，.【分析】（1）根據(jù)條件先表示出，結(jié)合公差可求，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；（2）根據(jù)選擇的條件求出，結(jié)合數(shù)列的求和方法進(jìn)行求解.【詳解】(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，所以解得，所以，解得；由可得.(2)選①：，.選②：；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；所以，其中.選③：，所以兩式相減可得，所以.19．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求角B的大?。?/span>(2)若，點(diǎn)D滿足且，求邊b的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合恒等變換可求角B的大小；（2）利用余弦定理建立方程組，聯(lián)立方程組可得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)可得，即所以因?yàn)?/span>，所以即因?yàn)?/span>可得所以即.(2)由，可知在一條直線上且，在中，由余弦定理得①②在中，由余弦定理可得即③②×2+③得即④聯(lián)立①④可得，解得或（舍），所以，.20．如圖，直三棱柱中，，、、分別是、、的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，證明出平面，可得出，由此可得出；（2）分析可知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：連接，因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，則且，，且為的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，，，平面，平面，，故.(2)解：平面，平面，，則，，則，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.21．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在所有相鄰兩項(xiàng)與（，2，…）之間插入k個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求，結(jié)合條件得出，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）先求前項(xiàng)中插入了多少項(xiàng)，結(jié)合分組求和法和錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解.【詳解】(1)由，，得；再由可得，即隔項(xiàng)成等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上.(2)因?yàn)樵谙噜弮身?xiàng)與（，2，…）之間插入k個(gè)，所以中的第項(xiàng)在中，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為：，令得，即數(shù)列中的第9項(xiàng)就是數(shù)列中的第45項(xiàng)，所以中的第46項(xiàng)至第50項(xiàng)為；所以設(shè)①則②由①-②得，所以.22．已知函數(shù).(1)若存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)；(2)2個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在不同情況下討論其極值即可；（2）對(duì)的取值分區(qū)間討論，利用導(dǎo)數(shù)研究不同區(qū)間下函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)利用零點(diǎn)存在定理，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1)因?yàn)?/span>，故可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，故，是上的單調(diào)增函數(shù)，不存在極值，舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得極大值，滿足題意.綜上所述，.(2)有兩個(gè)零點(diǎn)，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的，使得，且當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，又，，因?yàn)?/span>，故，故，故，又，故在和上各有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故，在上無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，故，在單調(diào)遞減，又，故，無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，故，在無(wú)零點(diǎn).綜上所述，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的正確分類，對(duì)自變量取值區(qū)間的合理劃分，以及對(duì)函數(shù)單調(diào)性的準(zhǔn)確討論，屬綜合困難題. 

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