?2022屆江蘇省泰州中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．已知集合，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式化簡(jiǎn)集合A，再進(jìn)行交集運(yùn)算即可.
【詳解】集合，，
因此.
故選：A.
2．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（???????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求出即可得到其坐標(biāo)，即可判斷；
【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，所以，
所以，
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第二象限.
故選：B.
3．已知直線，，則“”是“”的（???????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而判斷可得出結(jié)論.
【詳解】若，則，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，直線的方程可化為，兩直線重合，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，直線的方程可化為，
此時(shí)，兩直線平行，合乎題意.
因此，“”是“”的充分必要條件.
故選：C.
4．曾侯乙編鐘現(xiàn)存于湖北省博物館，是世界上目前已知的最大、最重、音樂性能最完好的青銅禮樂器，全套編鐘可以演奏任何調(diào)性的音樂并做旋宮轉(zhuǎn)調(diào)．其初始四音為宮、徵、商、羽．我國(guó)古代定音采用律管進(jìn)行“三分損益法”．將一支律管所發(fā)的音定為一個(gè)基音，然后將律管長(zhǎng)度減短三分之一（即“損一”）或增長(zhǎng)三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宮音為基音，宮音“損一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“損一”得羽音，則羽音律管長(zhǎng)度與宮音律管長(zhǎng)度之比是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)出宮音的律管長(zhǎng)度，表示出羽音的律管長(zhǎng)度，作比即可.
【詳解】設(shè)以宮音為基音的律管長(zhǎng)度為，則徵音的律管長(zhǎng)度為，
商音的律管長(zhǎng)度為，羽音的律管長(zhǎng)度為，
所以，羽音律管長(zhǎng)度與宮音律管長(zhǎng)度之比是.
故選：C.
5．已知下表中是關(guān)于變量，的5組觀測(cè)數(shù)據(jù)，甲同學(xué)根據(jù)表中數(shù)據(jù)通過(guò)模型得到回歸方程，則（???????）

1
2
3
4
5







A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，然后求出，而由可得，再將的值代入可求出的值
【詳解】令，則，，
∵，∴，
∴，解得，
∴，
故選：B.
6．一個(gè)封閉的圓柱形容器，內(nèi)部裝有高度為三分之一的水（圖一），將容器歪倒放在水平放置的的桌面上，設(shè)水面截底面得到的弦所對(duì)的圓心角為，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)水平放置前后的水的體積相等列方程化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】設(shè)圓柱體底面半徑為，高為，則水的體積為
水平放置后，水的體積為
所以，解得
故選：D
7．將雙曲線繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，會(huì)得到我們熟悉的函數(shù)圖象，例如將雙曲線的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，能得到反比例函數(shù)的圖象(其漸近線分別為x軸和y軸)；同樣的，如圖所示，常見的“對(duì)勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到．設(shè)，n＝1，則此“對(duì)勾函數(shù)”所對(duì)應(yīng)的雙曲線的離心率為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由兩條漸近線的夾角可得雙曲線漸近線的斜率，然后由公式可得.
【詳解】易知對(duì)勾函數(shù)的漸近線為與軸，其夾角為，故旋轉(zhuǎn)之前雙曲線的一條漸近線斜率為，即，所以雙曲線離心率.
故選：C
8．已知，函數(shù)的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出的值，利用零點(diǎn)存在定理得出，然后比較、、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，則函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，
，則，則，
因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知，
由可得，.
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，.
因?yàn)椋?，，?
故選：A.
二、多選題
9．下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．的展開式中含的系數(shù)是
B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
C．若實(shí)數(shù)，則的最大值為
D．若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】AB
【分析】利用二項(xiàng)式定理可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，的展開式通項(xiàng)為，
令，可得，所以，展開式中含的系數(shù)是，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由已知可得，
由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，作出直線與曲線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò).
故選：AB.
10．已知方程，則（???????）
A．存在實(shí)數(shù)θ，該方程對(duì)應(yīng)的圖形是圓，且圓的面積為
B．存在實(shí)數(shù)θ，該方程對(duì)應(yīng)的圖形是平行于x軸的兩條直線
C．存在實(shí)數(shù)θ，該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且雙曲線的離心率為
D．存在實(shí)數(shù)θ，該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且橢圓的離心率為
【答案】CD
【分析】根據(jù)二元二次方程表示各種曲線時(shí)的結(jié)構(gòu)特征，取值計(jì)算可得.
【詳解】
當(dāng)，時(shí)，該方程表示圓，此時(shí)圓的面積為，故A不正確；
要使該方程表示平行于x軸的兩條直線，需滿足，顯然無(wú)實(shí)數(shù)解，故B不正確；
當(dāng)時(shí)，方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且離心率為，故C正確；
當(dāng)時(shí)，方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且橢圓的離心率為，故D正確.
故選：CD
11．已知函數(shù)f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，則以下結(jié)論正確的是（???????）
A．f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)
C．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】ACD
【分析】根據(jù)對(duì)稱性，周期性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷選項(xiàng)ABC，結(jié)合單調(diào)性和周期性對(duì)函數(shù)和的圖象交點(diǎn)情況討論可判斷D.
【詳解】，
，
，故A正確；
，故B不正確；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，單調(diào)遞減，同理，單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以C正確；
易知為偶函數(shù)，綜上可知：的周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
令，因?yàn)?，，故函?shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
又，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
又，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn).
因?yàn)?，由周期性和單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn).
綜上所述，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
故選：ACD
12．已知三棱柱為正三棱柱，且A，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．四面體外接球的表面積為20π
B．若直線PB與底面ABC所成角為θ，則sinθ的取值范圍為
C．若，則異面直線AP與所成的角為
D．若過(guò)BC且與AP垂直的截面α與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐P－BCE的體積的最小值
【答案】ABD
【分析】可求得底面外接圓的半徑，再構(gòu)造直角三角形求得外接球的半徑，從而判斷A；
取的中點(diǎn)，連接，，，，由正三棱柱的性質(zhì)可求得，，從而判斷B；
將正三棱柱補(bǔ)成如圖所示的直四棱柱，從而判斷C；
由知，要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，從而判斷D．
【詳解】四面體外接球即為正三棱柱外接球，
因?yàn)橥饨訄A的半徑，且，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，設(shè)正三棱柱的高為h＝，
則由得，故其表面積為，故A正確；
取的中點(diǎn)，連接，，，，由正三棱柱的性質(zhì)可知平面平面，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，最小為∠，，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，最大為，sin，
所以，，故B正確；
將正三棱柱補(bǔ)成如圖所示的直四棱柱，則(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成的角，，，
∵，∴，∴，
所以，即，故C錯(cuò)；
因，故要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè)的中點(diǎn)為，作出截面如圖所示，
∵，∴AP⊥EF，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，
∴點(diǎn)到底面距離的最大值為，
∴三棱錐的體積的最小值為，故D正確；
故選：ABD．

【點(diǎn)睛】本題為立體幾何的綜合題，研究空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，需要良好的空間想象能力和作圖能力.C選項(xiàng)的關(guān)鍵在于把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，從而構(gòu)造出要求的異面直線夾角；D選項(xiàng)的關(guān)鍵是把三棱錐看成是三棱錐的一部分，利用割補(bǔ)思想求解.
三、填空題
13．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則_________.
【答案】
【分析】利用同角的基本關(guān)系式，可得，代入所求，結(jié)合輔助角公式，即可求解．
【詳解】因?yàn)?，，所以?br /> 所以，故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，輔助角公式，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題
14．已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和滿足，則______.
【答案】
【分析】利用題干中的遞推關(guān)系找出an與n的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】由題知，，則.
兩式做差得.
整理得.
所以{ }是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.
.
故答案為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相關(guān)問題時(shí)，一定要抓住題干中給出的遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系將抽象的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，從而運(yùn)用我們所學(xué)的等差、等比數(shù)列的知識(shí)取解決問題.
15．在中，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，且動(dòng)點(diǎn)的速度是動(dòng)點(diǎn)的倍．若二者同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)．另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則該過(guò)程中的最大值是________________________．
【答案】
【分析】先求出且建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)點(diǎn)，求出，即得解.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以且
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)點(diǎn)，則，
從而可得，
所以．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為．
故答案為：72
16．對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為______.
【答案】
【分析】根據(jù)不等式恒成立，構(gòu)造，有，利用二階導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再討論、時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在上的最小值及對(duì)應(yīng)m、n的關(guān)系式，將與所得關(guān)系式轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切的問題，求的最小值即可.
【詳解】令，則，即，
∴單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，而當(dāng)時(shí)，，故不滿足；
當(dāng)時(shí)，若得，即，
∴時(shí)，，即遞減；當(dāng)時(shí)，，即遞增；若令，即，
則：①當(dāng)，即，恒成立；
∴情況下最小，即直線與曲線相切，而，
∴時(shí)，，有，，則；
當(dāng)，即，，得，
∴情況下最小，即直線與曲線相切，而，
∴時(shí)，，有，，則；
∴綜上：，即的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)、分類討論的方法判斷單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定目標(biāo)代數(shù)式中參數(shù)的關(guān)系，由所得條件中代數(shù)式的幾何含義求最小值
四、解答題
17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，∠B＝45°．
(1)求邊BC的長(zhǎng)以及三角形ABC的面積；
(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求tan∠DAC的值．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解，結(jié)合面積公式求得面積；
（2）在中，由正弦定理可以求出，再利用與互補(bǔ)可以求出，得出是鈍角，從而可得為銳角，即可求出和的值，利用展開代入數(shù)值即可求解，從而求解tan∠DAC的值．
(1)
在中，因?yàn)椋?，?br /> 由余弦定理，
得
所以解得：或（舍）
所以，

(2)
在中，由正弦定理，
得.
所以
在中，因?yàn)椋?br /> 所以為鈍角.
而，
所以為銳角
故
因?yàn)椋?br /> 所以，
，


由題可知∠DAC為銳角，
所以．
18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小.
【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，即有.
【分析】（1）由,可證數(shù)列為等差數(shù)列，然后求出其通項(xiàng)公式，設(shè)的公比為，然后根據(jù)，，列出關(guān)于和的方程組求解；
（2）由，用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解，然后比較與的大小.
【詳解】（1）由，得，
即，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得.
因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，滿足，，，所以設(shè)公比為，可得，所以，
當(dāng)時(shí)，，可得.
當(dāng)時(shí)，，得，不滿足，舍去，所以.
（2），
，，
此時(shí).
易知：當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，即有.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．
19．新疆棉以絨長(zhǎng)?品質(zhì)好?產(chǎn)量高著稱于世.現(xiàn)有兩類以新疆長(zhǎng)絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價(jià)為120元/件，總量中有30%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有50%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客.B類服裝為全棉服飾，成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有40%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客.這兩類服裝剩余部分將會(huì)在換季促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售給顧客，并能全部售完.
(1)通過(guò)計(jì)算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價(jià)成本）；
(2)某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場(chǎng)A，B兩類服裝均以會(huì)員價(jià)銷售.假設(shè)每位來(lái)店購(gòu)買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購(gòu)買，每位顧客限購(gòu)1件，且購(gòu)買了服裝的顧客中購(gòu)買A類服裝的概率為.已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，Y為當(dāng)天銷售這兩類服裝帶來(lái)的總收益.求當(dāng)時(shí)，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.
【答案】(1)B類服裝單件收益的期望更高
(2)n可取的最大值為3，（元）
【分析】（1）結(jié)合期望公式由單件總盈利減去成本即可計(jì)算；
（2）由題知B類服裝的銷售件數(shù)符合二項(xiàng)分布，求出對(duì)應(yīng)，，……，的值，可確定的最大值；先列出這5件衣服總收益關(guān)于X的關(guān)系式，得，結(jié)合化簡(jiǎn)即可求解.
(1)
設(shè)A類服裝?B類服裝的單件收益分別為X1元，X2元，則
，
，
，故B類服裝單件收益的期望更高；
(2)
由題意可知，，
，，
，，
.
因?yàn)?，?br /> 所以當(dāng)時(shí)，n可取的最大值為3.
（元），
因?yàn)椋?br /> 所以（元）.
20．某商品的包裝紙如圖1，其中菱形的邊長(zhǎng)為，且，，，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)、、、匯聚為一點(diǎn)，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹．

(1)證明底面；
(2)設(shè)點(diǎn)為上的點(diǎn)，且二面角的正切值為，試求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定可證得結(jié)論；
（2）連接，取的中點(diǎn)，連接，證明出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，利用已知條件求出，然后利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.
(1)
證明：由菱形的邊長(zhǎng)為，，，
所以，，即有，同理可得，
在翻折的過(guò)程中，垂直關(guān)系保持不變可得，，
，底面.
(2)
解：連接，取的中點(diǎn)，連接，
由已知，，故為等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，則，
因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

平面，、平面，則，，
故二面角的平面角為，
由題意可得，可得，
易知點(diǎn)、、、、，
設(shè)點(diǎn)，其中，，，
所以，，整理可得，
解得或（舍），故點(diǎn)，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，.
因此，與平面所成角的正弦值為.
21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線x＝－4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作兩條相異直線和，其中與拋物線C：交于A、B兩點(diǎn)，與C交于M、N點(diǎn)，記、和直線OP的斜率分別為、和．
(1)當(dāng)P在x軸上，且A為PB中點(diǎn)時(shí)，求|k1|；
(2)當(dāng)AM為△PBN的中位線時(shí)，請(qǐng)問是否存在常數(shù)μ，使得？若存在，求出μ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】(1)設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程，解方程即可；
(2)設(shè)點(diǎn)A、B、M、N、P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理列出方程，解方程即可.
(1)
由條件知P（-4，0）且，設(shè)，所以
消去x可得，所以
又因?yàn)锳為PB中點(diǎn)，所以．所以
所以，所以，所以；
(2)
設(shè)，
所以，
所以．．
因?yàn)锳M為△PBN的中位線，所以A為PB的中點(diǎn)，M是PN的中點(diǎn)，
所以，即，即
又，所以
所以，所以①．．．
同理，②
由①②可知：是滿足方程的兩個(gè)根．
所以．
所以
所以．．．．．
，所以，所以
所以存在常數(shù)使得成立．
22．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為，當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn))構(gòu)成曲線M．證明：任意過(guò)原點(diǎn)的直線y＝kx，與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解極值；
（2）先通過(guò)求導(dǎo)求出函數(shù)的極值表達(dá)式，再將任意過(guò)原點(diǎn)的直線y＝kx，與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的問題，最后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可證明.
(1)
當(dāng)時(shí)，
則．
當(dāng)時(shí)，，f(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)．f(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，f(x)的極大值為，無(wú)極小值；
(2)

令，得，且由韋達(dá)定理得方程必一正根一負(fù)根，
所以存在，使得，即
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)
所以f(x)在（0）上單調(diào)遞增，在（+∞）上單調(diào)遞減，
∴f(x)的極大值為
則曲線M的方程為，
故只要證明對(duì)任意，方程均只有唯一解即可．
設(shè)，則
①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以h(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵，
所以存在滿足時(shí)，使得
又因?yàn)閔(x)單調(diào)遞增，所以為唯一解；
②當(dāng)且，即時(shí)，
恒成立，所以成h(x）在上單調(diào)遞增，
∵
存在使得
又∵h(yuǎn)(x)單調(diào)遞增，所以為唯一解；
③當(dāng)時(shí)，有兩解，且，不妨設(shè)因?yàn)?，所以，列表如下?br /> x
（0，x1）
x1
（x1，x2）
x2

h'(x)

0

0

h(x)
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增

由表可知．當(dāng)時(shí)．h(x)的極大值為
∵，所以
∴
∴存在，使得
又因?yàn)閔(x)單調(diào)遞增，所以為唯一解，
綜上，原命題得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將圖像有一個(gè)公共點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題來(lái)解決；另外，對(duì)于對(duì)于方程的根無(wú)法解出的情況，可以設(shè)出方程的根，利用根產(chǎn)生的等式進(jìn)行計(jì)算.

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