第24講   兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（講） 思維導(dǎo)圖 知識梳理1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．T(α＋β)：tan(α＋β)＝.T(α－β)：tan(α－β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin 2α＝2sinαcosα．C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan 2α＝. 題型歸納題型1    公式的直接應(yīng)用【例1-1】（2020春?六盤水期末）已知sin（π﹣α），則cos2α＝（　　）A． B． C． D．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求sinα的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求解．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2．故選：D．【例1-2】（（2020春?金牛區(qū)校級期末）計(jì)算cos18°?cos42°﹣cos72°?sin42°＝（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和余弦的和角公式的運(yùn)用求出結(jié)果．【解答】解：cos18°?cos42°﹣cos72°?sin42°＝cos18°?cos42°﹣sin18°?sin42°．故選：A．【例1-3】（（2020春?上饒期末）若，則tanα＝（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】由兩角和的正弦公式展開整理可得cosα＝2sinα，兩邊平方，由基本關(guān)系式sin2α+cos2α＝1可得7sin2α﹣4sinα+4＝0，解出sinα，進(jìn)而求出cosα，再求出結(jié)果．【解答】解：由，化簡可得3sinα﹣2sinα﹣2cosα，即2sinαcosα，所以cosα＝2sinα，兩邊平方可得3cos2α＝4sin2α﹣4sinα+7，整理可得3（1﹣sin2α）＝4sin2α﹣4sinα+7，即7sin2α﹣4sinα+4＝0，解得sinα，所以cosα＝2，所以cosα，所以tanα．故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春?河池期末）已知tanα，tan（α+β），則tanβ＝（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根據(jù)已知利用兩角差的正切函數(shù)公式即可計(jì)算求解．【解答】解：∵tanα，tan（α+β），∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（（2020春?南陽期末）sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（　?。?/span>A．0 B． C． D．1【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式，進(jìn)行化簡所給的式子，可得結(jié)果．【解答】解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos（15°+45°），故選：B．【跟蹤訓(xùn)練1-3】（（2020春?寧波期末）sin2（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解答】解：sin2．故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1-4】（（2020春?南充期末）若cosα，則cos2α＝（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求解．【解答】解：∵cosα，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1．故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1-5】（2020春?黃浦區(qū)期末）若tan2α，則tan（α）+tan（α）＝　　．【分析】展開兩角和與差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案．【解答】解：∵tan2α，∴tan（）+tan（）．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練1-6】（2020春?平谷區(qū)期末）2cos215°﹣1等于　   　．【分析】由題意利用二倍角的余弦公式，求得結(jié)果．【解答】解：2cos215°﹣1＝cos30°，故答案為：．【名師指導(dǎo)】應(yīng)用三角公式化簡求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”．(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用． 題型2    三角函數(shù)公式的逆用與變形用【例2-1】（2020?重慶模擬）（1+tan19°）?（1+tan26°）＝　  　．【分析】先把所求展開，再根據(jù)兩角和的正切即可求解結(jié)論．【解答】解：因?yàn)椋?/span>1+tan19°）?（1+tan26°）＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°＝1+tan（19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26°＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26°＝2；故答案為：2．【例2-2】（2020春?開江縣校級月考）已知，則（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知，∴cos[（x）]+cos（x）＝cos（x）cossin（x）sincos（x）cos（x）sin（x）cos[（x）]cos（x），故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?張家口二模）（　　）A． B． C． D．【分析】切化弦，易得原式為cos210°，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解答】解：cos210°＝﹣cos30°．故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋?武漢期末）化簡的結(jié)果是（　?。?/span>A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2【分析】利用誘導(dǎo)公式變形，化為兩數(shù)和的平方，開方得答案．【解答】解： ＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2．故選：A．【名師指導(dǎo)】兩角和、差及倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式．(2)和差角公式變形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，tan α±tan β＝tan(α±β)·(1?tan α·tan β)．(3)倍角公式變形：降冪公式． 題型3    角的變換與名的變換【例3-1】（2020春?寧波期末）設(shè)α，β∈（0，π），，則cosα＝　  　，tan（α+β）＝　    　．【分析】利用余弦的倍角公式以及兩角和差的正切公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：cosα＝2cos21＝2×（）2﹣1，則α∈（0，），則sinα，tanα，∵cosβ，∴sinβ，則tanβ，則tan（α+β），故答案為：，【例3-2】（2020春?城關(guān)區(qū)校級期末）若tanα＝3，則cos2α+3sin2α＝　．【分析】先利用余弦的二倍角公式將其化簡，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將分母的1用sin2α+cos2α代替，然后將分式的上下同除cosα后，可將原式轉(zhuǎn)化為只含tanα的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：cos2α+3sin2α＝cos2α﹣sin2α+3sin2α，兩邊同除cosα，原式．故答案為：．【例3-3】（2020春?梧州期末）已知cos（θ），則cos2θ＝　   　．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，求得結(jié)果．【解答】解：∵已知cos（θ）sinθ，∴sinθ， 則cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2，故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?寧波期末）已知sin2θ，則tanθ（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡所求結(jié)合已知即可計(jì)算求解．【解答】解：sin2θ，則tanθ．故選：D．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春?廣州期末）已知cos（α），則（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】由角的轉(zhuǎn)化可得α（α），進(jìn)而可得sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α）．【解答】解：因?yàn)?/span>α（α），所以sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α），故選：A．【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020春?濰坊期末）已知，則sin2θ＝（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值．【解答】解：由，則sin2θ＝cos（2θ）＝21＝21，故選：D．【名師指導(dǎo)】1．三角公式求值中變角的解題思路(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．2．常見的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．3.三角函數(shù)名的變換技巧明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦． 

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