一輪分層練案(二十二)　兩角和與差的正弦、余弦、正切              公式及二倍角公式 A級——基礎(chǔ)達標1．若2sin x＋cos ＝1，則cos 2x＝(　　)A．－    B．－C．    D．－【答案】C　因為2sin x＋cos ＝1，所以3sin x＝1，所以sin x＝，所以cos 2x＝1－2sin2x＝.2．tan18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝(　　)A．    B．C．    D．【答案】D　∵tan 30°＝tan (18°＋12°)＝＝，∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝.3．若α，β都是銳角，且sin α＝，sin (α－β)＝，則sin β＝(　　)A．    B．C．    D．【答案】B　因為sin α＝，α為銳角，所以cos α＝.因為α，β均為銳角，所以0＜α＜，0＜β＜，所以－＜－β＜0，所以－＜α－β＜，又因為sin (α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，所以cos (α－β)＝，所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝＝.4．已知tan ＝－2，則＝(　　)A．2    B．C．－2    D．－【答案】D　由題意得tan ＝＝－2，所以＝＝＝＝－.5．計算的值為(　　)A．－2    B．2C．－1    D．1【答案】D　＝＝＝＝＝＝1，故選D.6．(多選)下列各式中，值為的是(　　)A．cos2－sin2    B．C．2sin195°cos 195°     D. 【答案】BC　選項A，cos2－sin2＝cos＝cos ＝，錯誤；選項B，＝·＝tan45°＝，正確；選項C，2sin 195°cos 195°＝2sin (180°＋15°)cos (180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，正確；選項D, ＝ ＝，錯誤．故選B、C.7．(多選)下列四個選項中，化簡正確的是(　　)A．cos (－15°)＝B．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝C．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝D．[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝【答案】BCD　對于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A錯誤；對于B，原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，B正確；對于C，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos (76°－16°)＝cos 60°＝，C正確；對于D，原式＝·sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos (60°－10°)]＝2sin (50°＋10°)＝2×＝，D正確．8．(多選)下列四個命題中是真命題的是(　　)A．?x∈R，sin2＋cos2＝B．?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin yC．?x∈[0，π], ＝sin xD．sin x＝cos y?x＋y＝【答案】BC　因為sin2＋cos2＝1≠，所以A為假命題；當x＝y＝0時，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B為真命題；因為 ＝ ＝|sinx|＝sin x，x∈[0，π]，所以C為真命題；當x＝，y＝2π時，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D為假命題．故選B、C. 9.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一道著名的“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”其意思為：“今有水池1丈見方(即CD＝10尺)，蘆葦生長在水的中央，長處水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接(如圖所示)，問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？”現(xiàn)假設(shè)θ＝∠BAC，則tan ＝__________．解析：設(shè)BC＝x，則AC＝x＋1，又∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，tan θ＝＝，∴tan＝(負根舍去)，tan ＝5.【答案】510．已知tan α＝2.(1)求tan 的值；(2)求的值．解：(1)tan ＝＝＝.(2)＝＝＝＝＝1.B級——綜合應(yīng)用11．已知x，y∈，sin (x＋y)＝2sin (x－y)，則x－y的最大值為(　　)A．    B．C．    D．【答案】B　由sin (x＋y)＝2sin (x－y)得sin x cos y＋cos x sin y＝2sin x cos y－2cos x sin y，則tan x＝3tan y，所以tan (x－y)＝＝＝≤，當且僅當tan y＝時等號成立，由于f(x)＝tan x單調(diào)遞增，x，y∈，則x－y的最大值為.12．函數(shù)f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln (x＋1)|的零點個數(shù)為(　　)A．1    B．2C．3    D．4【答案】B　因為f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln (x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln (x＋1)|＝sin 2x－|ln (x＋1)|，所以函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為函數(shù)y＝sin 2x與y＝|ln (x＋1)|圖象的交點的個數(shù)，作出函數(shù)y＝sin 2x與y＝|ln (x＋1)|圖象如圖，由圖知，兩函數(shù)圖象有2個交點，所以函數(shù)f(x)有2個零點．13．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin －cos (0＜ω＜6)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則滿足條件的ω的值為(　　)A．    B．C．    D．【答案】BC　因為f(x)＝sin ＝sin ，由ωx＋＝kπ＋，k∈Z，因為0<ω<6，所以x＝＋，k∈Z，由題意可得＋＝1，k∈Z，得ω＝kπ＋，k∈Z，因為0<ω<6，所以ω＝或ω＝，故選B、C.14．設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sin αcos β－cos αsin β＝1，則sin (2α－β)＋sin (α－2β)的取值范圍為________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin (α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，∴即≤α≤π，∴sin (2α－β)＋sin (α－2β)＝sin ＋sin (α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin .∵≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin ≤1，即sin (2α－β)＋sin (α－2β)的取值范圍為[－1，1].【答案】[－1，1]15．已知α，β為銳角，tan α＝，cos (α＋β)＝－.(1)求cos 2α的值；(2)求tan (α－β)的值．解：(1)因為tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.又因為sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π).又因為cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，所以sin (α＋β)＝ ＝，因此tan(α＋β)＝－2.因為tan α＝，所以tan 2α＝＝－.因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－.C級——遷移創(chuàng)新16．在鈍角三角形ABC中，已知C為鈍角，A，B都是銳角，試探究P＝sin (A＋B)，Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按從小到大的順序排列起來．(1)當A＝30°，B＝30°時，求P，Q，R的值，并比較它們的大??；(2)當A＝30°，B＝45°時，求P，Q，R的值，并比較它們的大?。?/span>(3)由(1)，(2)你能得到什么結(jié)論，并證明你的結(jié)論；(4)若將鈍角三角形改為銳角三角形，P，Q，R的大小又如何？(5)已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，y＝tan ＋，若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化？證明你的結(jié)論．解：(1)當A＝30°，B＝30°時，P＝sin (30°＋30°)＝sin 60°＝，Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝，∴P<Q<R.(2)當A＝30°，B＝45°時，P＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝，Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝，R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝，∵P－Q＝－＝<0，∴P<Q，∵Q－R＝－＝<0，∴Q<R，∴P<Q<R.(3)由(1)，(2)猜想P<Q<R.證明如下：∵C為鈍角，∴0<A＋B<，∴A<－B，B<－A，∴cos A>cos ＝sin B，cos B>cos ＝sin A，∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B>sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R>Q.∵P－Q＝sin (A＋B)－sin A－sin B＝sin A cos B＋cos A sin B－sin A－sin B＝sin A(cos B－1)＋sin B(cos A－1)<0，∴P<Q.綜上可得P<Q<R.(4)由(3)知P<Q.∵P－R＝sin (A＋B)－cos A－cos B＝sin A cos B＋cos A sin B－cos A－cos B＝(sin A－1)cos B＋(sin B－1)cos A<0，∴P<R.∵△ABC為銳角三角形，∴0<A<，0<B<，A＋B>，∴－B<A<，－A<B<，∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B<cos A＋cos B－sin －sin ＝cos A＋cos B－cos B－cos A＝0，∴R<Q，綜上，P<R<Q.(5)任意交換兩個角的位置，y的值不變．證明如下：∵A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，A＋B＋C＝π，∴＝－.y＝tan ＋＝tan ＋＝tan ＋＝tan ＋tan ＋tan ，因此任意交換兩個角的位置，y的值不變． 

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