第27講 解三角形應(yīng)用舉例（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習考點歸納 （學(xué)生版+教師版）

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第27講 解三角形應(yīng)用舉例（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向．(3)南偏西等其他方向角類似．區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平夾角．(2)方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．題型歸納題型1    解三角形的實際應(yīng)用【例1-1】（2020春?鼓樓區(qū)校級期末）海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則，兩點的距離為　　A． B．80 C．160 D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，中利用正弦定理求出的值，中利用等角對等邊求出的值，再在中由余弦定理求出的值．【解答】解：如圖所示：中，，，，，由正弦定理，得，解得，中，，，，，，中，由余弦定理，得，，即，兩點間的距離為，故選：．【例1-2】（2020春?威寧縣期末）小華想測出操場上旗桿的高度，在操場上選取了一條基線，請從測得的數(shù)據(jù)①，②處的仰角，③處的仰角，④，⑤中選取合適的，計算出旗桿的高度為　　A． B． C． D．【分析】首先利用仰角和俯角的應(yīng)用求出和的長，進一步利用余弦定理的應(yīng)用求出的長【解答】解：選①②③⑤，如圖所示：則，，設(shè)，則，．在中，利用余弦定理：，整理得：，即故選：．【例1-3】（2019秋?黃山期末）新安江某段南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點在的正北方向，游船正好抵達處時，　　A． B． C． D．【分析】依題意可作出圖形，利用圖中的直角三角形可求得，從而可得答案．【解答】解：依題意，作圖如下，設(shè)由到航行的時間為，則，，在直角三角形中，，所以，所以，所以，故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春?湖北期末）為了測量河對岸兩地、之間的距離，先在河這岸選擇一條基線，測得米，再測得，，，，據(jù)此計算、兩地之間的距離是　　A． B． C． D．【分析】先在直角三角中，求出，然后在三角形中，利用正弦定理求出，最后利用三角形中，利用余弦定理求出的值．【解答】解：由已知，在三角形中，米，，，．又在三角形中，米，，，，由正弦定理得，即，．所以在中，，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?德州期末）如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點，從點測得點的仰角，點的仰角，，從點測得．已知山高，則山高（單位：為　　A．750 B． C．850 D．【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求出，再利用直角三角形求出的值．【解答】解：在中，，，所以；在中，，，從而，由正弦定理得，，因此；在中，，，由，得．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2020春?萍鄉(xiāng)期末）俗語云：天王蓋地虎，寶塔鎮(zhèn)河妖．萍鄉(xiāng)塔多，皆因舊時萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪鎮(zhèn)邪．坐落在萍城小西門汪公潭境內(nèi)的寶塔嶺上就有這么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后該塔曾因久失修倒塌，在清道光年間重建．某興趣小組為了測量塔的高度，如圖所示，在地面上一點處測得塔頂的仰角為，在塔底處測得處的俯角為．已知山嶺高為36米，則塔高為　　A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形，利用三角形的邊角關(guān)系，即可求出塔高的值．【解答】解：如圖所示，在中，，，所以；在中，，所以，所以，即塔高為米．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-4】（2020?全國Ⅱ卷模擬）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一平面上．一人在公路上向東行走，在點處測得樓頂?shù)难鼋菫?/span>，行走80米到點處，測得仰角為，再行走80米到點處，測得仰角為．則　　    ．【分析】畫出示意圖，知道邊長和角度，然后利用，即可求出結(jié)論．【解答】解：如圖；面，，；由題可得：；；；；；故答案為：．【名師指導(dǎo)】1.測量距離問題的2個策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．2.高度也是兩點之間的距離，其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識求出該高度．3.測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解． 題型2   正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【例2-1】（2020春?墊江縣校級期末）如圖，在平面四邊形中，的面積為，，，，，則　　   ，　　．【分析】直接利用余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：連接，如圖所示：在中，由于，，，利用余弦定理：，解得，所以，所以．由于，所以．已知的面積為，所以，解得．進一步利用勾股定理的應(yīng)用：，解得．故答案為：，【例2-2】（2020春?天河區(qū)期末）如圖，在四邊形中，，且，，．（1）求的面積；（2）若，求的長．【分析】（1）利用已知條件求出角的正弦函數(shù)值，然后求的面積；（2）利用余弦定理求出，通過的值利用余弦定理求解的長．【解答】解：（1），，可求：．．． （2），，，在中，由余弦定理知，，在中，，可得：，整理可得，解得：． 【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019秋?珠海期末）如圖，在中，，，是邊上一點，，，則的長為　　A． B． C．8 D．【分析】先根據(jù)余弦定理求出度數(shù)，最后根據(jù)正弦定理可得答案．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，因為是三角形內(nèi)角，，在中，，，，由正弦定理得：．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020?漳州模擬）如圖，在中，是邊上的點，且，，，則的值為　　A． B． C． D．【分析】設(shè)，則由題意可得：，，利用余弦定理表示出，把三邊長代入求出的值，進而確定出的值，由，，以及的值，利用正弦定理求出的值即可．【解答】解：設(shè)，則由題意可得：，，在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得，，即，解得：，故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2020春?泰州期末）如圖，在中，角的平分線交于，且．若，，則　　    ．【分析】不妨令，易知，，然后在中，利用正弦定理，求出，的值，最后在中，利用正弦定理，可求出的值．【解答】解：在中，角的平分線交于，且．設(shè)，則，，，即，整理得，所以：，結(jié)合得，即，顯然是銳角，所以，．再由得：，，解得．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練2-4】（2020?青島模擬）如圖，在平面四邊形中，，，．（1）若，求四邊形的面積；（2）若，求．【分析】（1）由已知結(jié)合勾股定理可求，然后結(jié)合余弦定理可求，再由三角形的面積公式可求；（2）由已知結(jié)合正弦定理可求，然后結(jié)合同角平方關(guān)系可求，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦公式可求．【解答】解：（1）連接，在 中，由勾股定理可得，，故，中，由余弦定理可得，，因為為三角形的內(nèi)角，故，所以，，故求四邊形的面積，（2）在中，由正弦定理可得，所以，因為，所以，，中，，故，所以．【名師指導(dǎo)】與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果． 題型3    解三角形與三角函數(shù)的綜合問題【例3-1】（2020春?溫州期中）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）已知，，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）設(shè)的三邊，，所對的角分別為，，，若，，求的面積的最大值．【分析】把已知函數(shù)解析式利用輔助角公式化簡．（Ⅰ）由函數(shù)是偶函數(shù)，得，進一步得到，恒成立，得到，再由的范圍求得值；（Ⅱ）由求解角，由已知結(jié)合余弦定理及基本不等式求得的最大值，則的面積的最大值可求．【解答】解：．（Ⅰ）由函數(shù)是偶函數(shù)，得，即，，（舍或，恒成立．即，，，或；（Ⅱ）由，得，即，，，得，即．由余弦定理可得：，（當且僅當時取等號），即．的面積．即的面積的最大值為．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?遂寧模擬）已知向量，向量，，函數(shù)，直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸．（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，銳角滿足，求的值．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的對稱性周期性，求解函數(shù)的解析式．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．（2）利用函數(shù)的解析式結(jié)合正弦定理余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1），直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，，，，，，，．由，得，．單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）由，得，即，因為為銳角，所以，所以，即，又，所以由正弦定理得．①由余弦定理，得，即．②由①②解得．   【名師指導(dǎo)】解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟