第23講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納（學(xué)生版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第23講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期頻率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ 2．用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示： ωx＋φ0π2πx－－－y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0 五點(diǎn)法作圖的步驟用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，精髄是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象，其中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為.3．由函數(shù)y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法題型歸納題型1 “五點(diǎn)法”作圖及圖象變換【例1-1】（2020春?興寧區(qū)校級月考）（1）利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖．列表：作圖：（2）并說明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎么變換得到的．（3）求函數(shù)圖象的對稱軸方程．【分析】（1）按照“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線，畫圖即可；（2）經(jīng)過平移變換和伸縮變換即可得到函數(shù)的圖象．（3）由，，即可解得函數(shù)的對稱軸方程．【解答】解：（1）先列表，后描點(diǎn)并畫圖00100（2）把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位，再把所得圖象的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，即的圖象；（3）由，可得，，所以函數(shù)的對稱軸方程是，．【例1-2】（2020春?安徽期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，可得函數(shù)的圖象的圖象，故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春?云南期末）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的一個可能取值是　　A．2 B． C． D．【分析】由題意根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對稱，可得，，則的一個可能取值為，故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?廣州期末）已知函數(shù)，，將的圖象經(jīng)過下列哪種變換可以與的圖象重合　　A．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 B．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 C．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍 D．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到的圖象．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2019秋?道里區(qū)校級期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期并用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在區(qū)間，上的圖象；（Ⅱ）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時，函數(shù)的最小值及此時的值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用五點(diǎn)法作圖，畫出函數(shù)在，上的圖象．（Ⅱ）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，即可得解．【解答】解：（Ⅰ），函數(shù)的最小正周期，在，上，，，列表如下：函數(shù)在區(qū)間，上的圖象是： 0 1 2 0 0 1作圖如下：．（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，由于時，，，故當(dāng)時，即時，函數(shù)取得最小值為．【名師指導(dǎo)】(1)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象可用“五點(diǎn)法”作簡圖得到，可通過變量代換z＝ωx＋φ計算五點(diǎn)坐標(biāo)．(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的變換：向左平移(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度．(3)平移前后兩個三角函數(shù)的名稱如果不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)時應(yīng)先變成正值．　題型2 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式【例2-1】（2020?新鄉(xiāng)二模）如圖，，是函數(shù)，，的圖象與軸的兩個相鄰交點(diǎn)，是函數(shù)的圖象的一個最高點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則函數(shù)的解析式是　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)最高點(diǎn)求出的值，然后再結(jié)合是等腰直角三角形，求出，也就是周期，從而求出的值，最后利用“對應(yīng)思想”求出的值．【解答】解：由題意可得，因為是等腰直角三角形，所以，所以，則，故．將代入的解析式得，解得，因為，所以，則．故選：．【例2-2】（2020春?大連期末）已知函數(shù)（其中，，，均為常數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則的值為　　A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的部分圖象知，，解得，可求周期，利用周期公式可求，分類討論，當(dāng)時，由，可得，，結(jié)合，此時取不到符合題意的值；當(dāng)時，由，解得，；結(jié)合，可得時，，即可得解．【解答】解：由函數(shù)的部分圖象知，，解得；又，解得；所以；（1）當(dāng)時，函數(shù)的解析式為，又，，，；解得，；又，此時取不到符合題意的值；（2）當(dāng)時，函數(shù)的解析式為，又，，，；解得，；又，可得時，，綜上，的值為．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?新余期末）已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則　　A． B．1 C． D．【分析】由函數(shù)的部分圖象求得、、和的值，即可寫出，進(jìn)而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解答】解：由函數(shù)的部分圖象知，，，解得，；又，可得，，解得，，，可得，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（（2020?深圳一模）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為　　A． B． C． D．【分析】直接利用函數(shù)的圖象的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用圖象的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象：，，所以．當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，故，解得，，當(dāng)時，．故，所以把的圖象向右平移個單位得到，故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-3】（（2020春?日照期末）已知函數(shù)，的圖象如圖所示，則　　，　　．【分析】由三角函數(shù)的圖象先求出周期，進(jìn)而求出的值為3，將，代入，注意在處函數(shù)單調(diào)遞增，所以，再由的取值范圍可得的值，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出的值．【解答】解：由函數(shù)的圖象可得，可得，可得，因為，由圖可知，，，可得，所以，所以，所以答案分別為：3，0．【名師指導(dǎo)】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步驟(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，B＝.(2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間還是在下降區(qū)間)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入；②五點(diǎn)法：確定φ值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”(即圖象上升時與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝2π.　題型3 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題【例3-1】（2020春?瀘州期末）關(guān)于函數(shù)，給出下列命題：（1）函數(shù)在，上是增函數(shù)；（2）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對稱；（3）為得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度．其中正確命題的個數(shù)是　　A．0 B．1 C．2 D．3【分析】（1），由，時，可得，由的單調(diào)性即可判斷；（2），由可得，，即可判斷；（3），根據(jù)函數(shù)的圖象平行移動規(guī)則即可判斷．【解答】解：對于（1），，時，，在，上不是增函數(shù)，故錯；對于（2），由可得，，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對稱，故正確；對于（3），函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度可得，故正確；故選：．【例3-2】（2019秋?武漢期末）下面是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心距離水面1米，已知水輪自點(diǎn)開始以1分鐘旋轉(zhuǎn)4圈的速度順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)距水面的高度（米）（在水平面下為負(fù)數(shù)）與時間（秒）滿足函數(shù)關(guān)系式，則函數(shù)關(guān)系式為　　．【分析】由題意求出、、和的值，即可寫出函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：由題意知水輪的半徑為2，水輪圓心距離水面1，所以；又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，所以轉(zhuǎn)一圈需要15秒，所以，解得；由順時針旋轉(zhuǎn)時，，解得，又，所以；所以函數(shù)關(guān)系式為．故答案為：．【例3-3】（2020?全國Ⅰ卷模擬）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時，取到最大值4，若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為　　A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由題知，由得出對稱中心及對稱軸，得出，再得出解析式，再由變換得出，再分別畫出與圖象，即可得出結(jié)論．【解答】解：，所以，即，又，所以為對稱軸；且，則為的一個對稱中心，由于，所以與為同一個周期里相鄰的對稱軸和對稱中心，則，，又，且，解得，故，由圖象變換得，在處的切線斜率為，又在處的切線斜率不存在，即切線方程為，所以右側(cè)圖象較緩，如圖所示：同時時，，所以的零點(diǎn)有7個，故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?赤峰期末）點(diǎn)，是函數(shù)，的圖象的一個對稱中心，且點(diǎn)到該圖象的對稱軸的距離的最小值為，則（）A．的最小正周期是 B．的值為2 C．的初相為 D．在，上單調(diào)遞增【分析】點(diǎn)，是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，根據(jù)函數(shù)對稱性可得，，又點(diǎn)到該圖象的對稱軸的距離的最小值，即，利用周期公式可求的值，可求函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為點(diǎn)，是函數(shù)，的圖象的一個對稱中心，根據(jù)函數(shù)對稱性可得，，，又點(diǎn)到該圖象的對稱軸的距離的最小值為，即，所以，可得，所以，把已知點(diǎn)，代入可得，可得，，可得，，由已知，可得，所以，：函數(shù)的最小正周期為，故錯誤；的值為3，故錯誤；：函數(shù)的初相為：，故錯誤；：令，，，可得，，，可得在，上單調(diào)遞增，故正確．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020?合肥模擬）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是　　A．函數(shù)的最小正周期為 B．直線為函數(shù)的一條對稱軸 C．點(diǎn)為函數(shù)的一個對稱中心 D．函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象【分析】由題意利用由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，，的部分圖象，可得，，，最小正周期為，故正確．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，，故函數(shù)．令，求得，為最小值，故直線為函數(shù)的一條對稱軸，故正確．令，求得，故點(diǎn)為函數(shù)的一個對稱中心，故正確．把函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，故不正確，故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020?黃山二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間和上均單增，則實數(shù)的范圍是　　．【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得實數(shù)的范圍．【解答】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則在區(qū)間和上均單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，，在上，，，，，且，，求得，故答案為：，．【跟蹤訓(xùn)練3-4】（2019秋?武漢期末）某游樂場中半徑為30米的摩天輪逆時針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每5分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面5米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時刻開始計時，那么你與底面的距離高度（米隨時間（秒變化的關(guān)系式為　　A． B． C． D．【分析】設(shè)，由題意可得，，，為最低點(diǎn)，代入可得．【解答】解：設(shè)，由題意可得，，，為最低點(diǎn)，代入可得，，，時，，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-5】（2020?新建區(qū)校級模擬）水車是一種利用水流動力進(jìn)行灌溉的工具，是人類一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個水車的示意圖，已知水車逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈的時間是80秒，半徑為3米，水車中心（即圓心）距水面1.5米若．以水面為軸，圓心到水面的垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，水車的一個水斗從出水面點(diǎn)處開始計時，經(jīng)過秒后轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，則點(diǎn)到水面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系式為　　A． B． C． D．【分析】由題意，過向軸作垂線，垂足為，則，可得，由題意可求水車的角速度，可得，可得，在中，求得，即可得解．【解答】解：由題意，如圖，過向軸作垂線，垂足為，則，，，可得，水車的角速度，由題意可得，，可得，在中，，點(diǎn)到水面的距離．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-6】（2020春?浙江期末）已知函數(shù)，，時，有唯一解，則滿足條件的的個數(shù)是　　A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由的范圍求出的范圍，再由有唯一解可得的取值范圍，又，分別討論的值，求出是否在，有唯一解，判斷出的個數(shù)．【解答】解：根據(jù)，時，所以，或，，因為有唯一解，所以，解得，當(dāng)，，則或，，解得，或，，因為，，所以可得或不唯一，舍去；當(dāng)時，，則或，，解得，或，，因為，，所以可得唯一，當(dāng)時，，則或，，解得，或，，因為，，所以可得無解；當(dāng)時，，則或，，解得，或，，因為，，所以可得無解；當(dāng)時，，則或，，解得或，，因為，，所以可得無解；當(dāng)時，，則或，，解得或，，因為，，所以可得無解；當(dāng)時，，則因為，，所以可得無數(shù)多個解；當(dāng)時，，則或，，解得，或，，因為，，所以可得；當(dāng)時，，則或，，解得或，，因為，，所以可得；當(dāng)時，，則或，，解得或，，因為，，所以可得；當(dāng)時，，則或，，解得或，，因為，，所以可得；當(dāng)時，，則或，，解得或，，因為，，所以可得；當(dāng)時，，則或，，解得，或，，因為，，所以可得或；不唯一，舍綜上所述的值由6個，1，2，3，4，5．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-7】（2020春?未央?yún)^(qū)校級期末）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍　　A．， B．， C．， D．，【分析】令，可得；設(shè)，由兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域可得的范圍，再由二次函數(shù)的最值求法，可得所求的取值范圍．【解答】解：函數(shù)在，上有零點(diǎn)，可得，即，，；設(shè)，，，可得，即有，當(dāng)時，取得最大值1；時，取得最小值，可得，即有，所以實數(shù)的取值范圍是，．故選：．【名師指導(dǎo)】1.解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的關(guān)鍵是首先正確的將已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解析式和圖象，然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)，進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界函數(shù)等概念．2.三角函數(shù)的實際應(yīng)用體現(xiàn)兩個方面(1)已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題．(2)把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．3.巧用圖象解決三角函數(shù)相關(guān)的方程或不等式問題解決與三角函數(shù)相關(guān)的方程或不等式問題，最基本的方法就是作出對應(yīng)函數(shù)的圖象，然后結(jié)合函數(shù)圖象的特征確定方程的解或不等式的解集．故準(zhǔn)確作出對應(yīng)函數(shù)在指定區(qū)間上的圖象是解決問題的關(guān)鍵．　

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