第10講   對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)思維導(dǎo)圖 知識(shí)梳理1．對(duì)數(shù)概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)運(yùn)算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)    2．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即恒有loga1＝0當(dāng)x>1時(shí)，恒有y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，恒有y<0當(dāng)x>1時(shí)，恒有y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù) 核心素養(yǎng)分析冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本講的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究這些函數(shù)的性質(zhì)；理解這些函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律；運(yùn)用這些函數(shù)建立模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)這些函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。 題型歸納題型1    對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值【例1-1】（2020?棗莊模擬）已知，若，，則　　A． B．2 C． D．4【分析】對(duì)兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，同理，代入，即可求出的值．【解答】解：對(duì)兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得，即，同理有：，代入，得，因?yàn)?/span>，所以，所以，，故選：．【例1-2】（2019秋?巢湖市期末）計(jì)算：　　A．1 B．4 C．5 D．7【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：原式．故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?興寧區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：　　．【分析】進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可．【解答】解：原式．故答案為：0．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020?溫州模擬）著實(shí)數(shù)，滿足，則　 　，　　．【分析】由，可得，．即可得出．【解答】解：由，，．．故答案為：2，2．【名師指導(dǎo)】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并．(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．　   題型2    對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2-1】（2020春?吉林期末）函數(shù)的圖象是　　A． B． C． D．【分析】本題研究一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象x軸下方的部分翻折到x軸上部而得到，故首先要研究清楚函數(shù)的圖象，由圖象特征選出正確選項(xiàng)【解答】解：由于函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象左移一個(gè)單位而得到，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是，故函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是，即函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)是，考察四個(gè)選項(xiàng)中的圖象只有選項(xiàng)符合題意故選：．【例2-2】（2020?九江三模）如圖所示，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)，，的圖象上，則　　．【分析】設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于軸得到，再結(jié)合平行于軸得到，可得，，再結(jié)合邊長(zhǎng)相等即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)，，，，，，，，則，，又，，即，，為正方形，；可得，解得．故答案為：2．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?懷柔區(qū)一模）函數(shù)的圖象是　　A． B． C． D．【分析】要想判斷函數(shù)的圖象，我們可以先將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，觀察到函數(shù)的解析式中，含有絕對(duì)值符號(hào)，故可化為分段函數(shù)的形式，再根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行分析，找出符合函數(shù)性質(zhì)的圖象．【解答】解：則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>，即函數(shù)圖象只出現(xiàn)在軸右側(cè)；值域?yàn)椋?/span>即函數(shù)圖象只出現(xiàn)在軸上方；在區(qū)間上遞減的曲線，在區(qū)間上遞增的曲線．分析、、、四個(gè)答案，只有滿足要求故選：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019?衡水二模）如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，作軸的平行線與函數(shù)圖象交于，兩點(diǎn)，若軸，則四邊形的面積為　        　．【分析】設(shè)出、的坐標(biāo)，求出、的斜率相等利用三點(diǎn)共線得出、的坐標(biāo)之間的關(guān)系．再根據(jù)平行軸，、縱坐標(biāo)相等，推出橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合之前得出、的坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求出的坐標(biāo)，從而解出、、的坐標(biāo)，最后利用梯形的面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、由題設(shè)知，，．則點(diǎn)、縱坐標(biāo)分別為、．因?yàn)?/span>、在過(guò)點(diǎn)的直線上，所以，點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，，，．由于平行于軸知，即得，．代入得．由于知，．考慮解得．于是點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，，，，，，．梯形的面積為．故答案為：．【名師指導(dǎo)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． 題型3    對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【例3-1】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知，．設(shè)，，，則　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)，可得，然后由和，得到，再確定，，的大小關(guān)系．【解答】解：，；，，，；，，，，綜上，．故選：．【例3-2】（2019?陸良縣一模）已知函數(shù)，則使得的的取值范圍是　　A． B． C． D．【分析】判斷函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)，且在時(shí)單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為，求出解集即可．【解答】解：函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，且在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，等價(jià)為，即，兩邊平方得，即，解得；使得的的取值范圍是，．故選：．【例3-3】（2019秋?靜寧縣校級(jí)月考）已知函數(shù)．（1）若的定義域?yàn)?/span>，求的取值范圍；（2）若，求單調(diào)區(qū)間；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使在上為增函數(shù)？若存在，求出的范圍？若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）恒成立，△（2）求出轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題（3）根據(jù)符合函數(shù)單調(diào)性求解．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，恒成立，△，即的取值范圍（2），．，或設(shè)，對(duì)稱軸，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)根據(jù)符合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律可判斷：在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（3）函數(shù)．設(shè)，可知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)在上為增函數(shù)且，且，不可能成立．不存在實(shí)數(shù)，使在上為增函數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?昆明一模）已知，，，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的特殊函數(shù)值及單調(diào)性即可比較大?。?/span>【解答】解：，，，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春?安徽期末）已知，，，則　　A． B． C． D．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接求解．【解答】解：，，，，，．．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2019秋?武邑縣校級(jí)期中）已知函數(shù)且，滿足，則的解集是　　A．， B． C． D．，【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，【解答】解：，而，故在遞減，故，，即，解得：或，故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-4】已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)．(1)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解】　(1)因?yàn)?/span>a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0，2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)恒有意義，即x∈[0，2]時(shí)，3－ax>0恒成立．所以3－2a>0.所以a<.又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.(2)t(x)＝3－ax，因?yàn)?/span>a>0，所以函數(shù)t(x)為減函數(shù)．因?yàn)?/span>f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，所以y＝logat為增函數(shù)，所以a>1，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，所以即故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.【名師指導(dǎo)】1.比較對(duì)數(shù)值大小的常見(jiàn)類型及解題方法常見(jiàn)類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷底數(shù)為同一字母需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進(jìn)行比較2.求解對(duì)數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法logax>logab借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論logax>b需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解3.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的步驟

相關(guān)試卷

第56講 排列與組合（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）：

這是一份第56講 排列與組合（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版），文件包含第56講排列與組合講教師版docx、第56講排列與組合講學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共16頁(yè)， 歡迎下載使用。

第51講 拋物線（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）：

這是一份第51講 拋物線（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版），文件包含第51講拋物線講教師版docx、第51講拋物線講學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共12頁(yè)， 歡迎下載使用。

第50講 雙曲線（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）：

這是一份第50講 雙曲線（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版），文件包含第50講雙曲線講教師版docx、第50講雙曲線講學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共15頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開(kāi)；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯64份
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開(kāi)微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部