?專題11 【規(guī)律探究問題】
知識(shí)點(diǎn)
（1）等差類規(guī)律求和：，項(xiàng)數(shù)=
（2）等比類規(guī)律求和：


【命題一】數(shù)字變化類規(guī)律探究
1．觀察下列等式的規(guī)律：
第1個(gè)等式：﹣＝；第2個(gè)等式：﹣＝；第3個(gè)等式：﹣＝；
第4個(gè)等式：﹣＝；第5個(gè)等式：﹣＝；……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）直接寫出第6個(gè)等式：　??；
（2）請(qǐng)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的代數(shù)式表示），并證明．
2．觀察下列等式：
1÷（1×）+1＝22…①
1÷（×）+1＝32…②
1÷（×）+1＝42…③
1÷（×）+1＝52…④
（1）寫出第⑥個(gè)等式：　1÷（）+1＝72　；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：　1÷（）+1＝（n+1）2?。ㄓ煤琻的等式表示），并證明．
3．觀察下列等式
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
……
（1）請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：?。?﹣?。╪為正整數(shù)）；
（2）請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)證明（1）中等式的正確性．
4．觀察以下等式：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
第5個(gè)等式：；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第7個(gè)等式：　??；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并加以證明．
5．閱讀下面的材料，并解答下列問題：
已知：，，，…
（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n（n為正整數(shù)）個(gè)式子是　　；
（2）計(jì)算：
（3）利用這個(gè)規(guī)律解方程：
6．觀察下列等式，探究其中的規(guī)律：①+﹣1＝，②+﹣＝，③+﹣＝，④+﹣＝，…．
（1）按以上規(guī)律寫出第⑧個(gè)等式：　+﹣＝?。?br /> （2）猜想并寫出第n個(gè)等式：　+﹣＝??；
（3）請(qǐng)證明猜想的正確性．
7．如圖1，觀察數(shù)表，如何計(jì)算數(shù)表中所有數(shù)的和？
方法1：如圖1，先求每行數(shù)的和：
第1行1+2+3+…+n＝（1+2+3+…+n）
第2行2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）
第n行n+2n+3n+…+n2＝n（1+2+3+…+n）
故表中所有數(shù)的和：（1+2+3+…+n）+2（1+2+3+…+n）+…+n（1+2+3+…+n）＝　?。?br /> 方法2：如圖2，依次以第1行每個(gè)數(shù)為起點(diǎn)，按順時(shí)針方向計(jì)算各數(shù)的和：
第1組：1＝13
第2組：2+4+2＝23
第3組：3+6+9+6+3＝33
…
第n組：n+2n+…+n2+…+2n+n＝　n3?。?br /> 用這n組數(shù)計(jì)算的結(jié)果，表示數(shù)表中所有數(shù)的和為：　13+23+33+…+n3?。?br /> 綜合上面兩種方法所得的結(jié)果可得等式：　（1+2+3+…+n）2＝13+23+33+…+n3?。?br /> 利用上面得到的規(guī)律計(jì)算：13+23+33+…+203．

8．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：＝3，第2個(gè)等式＝6，第3個(gè)等式：＝9，第4個(gè)等式：＝12，按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)等式：　?。?br /> （2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：　，　．（用含n的等式表示），并證明．
9．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a1＝1++＝＝1+
第2個(gè)等式：a2＝1++＝＝1+
第3個(gè)等式：a3＝1++＝＝1+
…
請(qǐng)解答下列問題：
（1）按以上的規(guī)律列出第4個(gè)等式：a4＝　1++　＝?。ǎ??。健。?+）2??；
（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an＝　1++　＝　2?。健1+]2?。╪為正整數(shù)）；
（3）求+++…+的值．
10．已知下列等式
①（3+1）2﹣（3﹣1）2＝4×3×1；
②（5+3）2﹣（5﹣3）2＝4×5×3；
③（7+5）2﹣（7﹣5）2＝4×7×5；
④（9+7）2﹣（9﹣7）2＝4×9×7．
……
（1）請(qǐng)仔細(xì)觀察，寫出第5個(gè)式子；
（2）寫出第n個(gè)式子，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)說明第n個(gè)等式成立．
11．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；……
按上述規(guī)律，回答以下問題：
（1）第4個(gè)等式：　?。健々仭?；
（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an＝　?。健々仭?；
（3）式子a1+a2+a3+…+a20＝　　．
12．觀察下列等式：①＝﹣；②＝﹣；③＝﹣，…按照此規(guī)律，解決下列問題：
（1）完成第④個(gè)等式；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明其正確性．
13．研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
1×3+1＝4＝22
2×4+1＝9＝32
3×5+1＝16＝42
4×6+1＝25＝52
…
（1）請(qǐng)你找出規(guī)律井計(jì)算7×9+1＝　64?。剑ā?　）2
（2）用含有n的式子表示上面的規(guī)律：　n（n+2）+1＝（n+1）2?。?br /> （3）用找到的規(guī)律解決下面的問題：
計(jì)算：＝　　．
14．從3開始，連續(xù)的3的倍數(shù)相加，它們和的情況如下表：
加數(shù)的個(gè)數(shù)n
S
1
3＝1×3
2
3+6＝9＝3×3
3
3+6+9＝18＝6×3
4
3+6+9+12＝30＝10×3
5
3+6+9+12+15＝45＝15×3
（1）若n＝8時(shí)，則S的值為　108?。?br /> （2）根據(jù)表中的規(guī)律猜想：用含n的式子表示S的公式為S＝3+6+9+12+……+3n＝　　；
（3）根據(jù)上題的規(guī)律求303+306+309+312+……+600的值（要有過程）
15．（1）根據(jù)下列算式的規(guī)律填空：
﹣＝，
﹣＝，
﹣＝，
﹣＝　　，
第n個(gè)算式為　﹣＝?。?br /> （2）利用上述規(guī)律計(jì)算：++…＝　?。?br /> 16．閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．
解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式兩邊同時(shí)乘2得：
2S＝2++22+23+24+25…+22017+22018
將下式減去上式得：2S﹣S＝22018﹣1
S＝22018﹣1
即1+2+22+23+24+…+22017＝22018﹣1
請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）．
17．閱讀材料：求值：1+2+22+23+…+22018+22019
解：設(shè)S＝1+2+22+23+…+22018+22019，①
將等式兩邊同時(shí)乘2得：2S＝2+22+23+…+22019+22020，②
②﹣①得：S＝22020﹣1，即1+2+22+23+…+22018+22019＝22020﹣1
解答下列問題：
（1）2+22+23+…+29+210＝　211﹣1??；
（2）求1+3+32+33+…+3n﹣1+3n（n為正整數(shù)）的值．
18．閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22017
首先設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22017①則2S＝2+22+23+24+25+…+22018②
②﹣①得S＝22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017＝22018﹣1
以上解法，在數(shù)列求和中，我們稱之為：“錯(cuò)位相減法”
請(qǐng)你根據(jù)上面的材料，解決下列問題
（1）求1+3+32+33+34+…+32019的值
（2）若a為正整數(shù)且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+..+a2019



【命題二】圖形變化類規(guī)律探究
19．下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)律組成的，其中第1個(gè)圖形的周長為4，第2個(gè)圖形的周長為10，第3個(gè)圖形的周長為18，…，按此規(guī)律排列，回答下列問題：
（1）第5個(gè)圖形的周長為　40??；
（2）第n個(gè)圖形的周長為　n2+3n??；
（3）若第n個(gè)圖形的周長為180，則n＝　12　．

20．用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，按如圖所示的規(guī)律拼圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息完成下列的問題．

（1）在第5個(gè)圖中用了　16　塊黑色正方形；
（2）第n個(gè)圖形要用?。?n+1）　塊黑色正方形；
（3）如果有足夠多的白色正方形，能不能恰好用完90塊黑色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果可以請(qǐng)說明它是第幾個(gè)圖形；如果不能，說明你的理由．
21．觀察下列菱形的擺放規(guī)律，解答下列問題．
（1）如圖：
按此規(guī)律，圖4有個(gè)　7　個(gè)菱形，若第n個(gè)圖形有35個(gè)菱形，則n＝　18??；
（2）如圖：
按此規(guī)律，圖5有　25　個(gè)菱形，若第n個(gè)圖形有　n2　個(gè)菱形（用含n的式子表示）；
（3）如圖：
按此規(guī)律，圖6有　43　個(gè)菱形，第n個(gè)圖形中有　n2+n+1　個(gè)菱形（用含n的式子表示）．
22．我們?cè)凇岸咽印庇螒蛑邪l(fā)現(xiàn)：像圖（1）中的1，4，9，16…這些數(shù)據(jù)能夠表示成正方形，可將其稱為正方形數(shù)；類似地，像圖（2）中的1，3，6，10，…這些數(shù)據(jù)能夠表示成三角形，可將其稱為三角形數(shù)．
（1）第5個(gè)正方形數(shù)是　25　；第n個(gè)正方形數(shù)是　n2?。?br /> （2）第6個(gè)三角形數(shù)是　21??；第n個(gè)三角形數(shù)是　　；
（3）若將一堆小石子按一定規(guī)律擺成如圖（3）圖形，請(qǐng)求出第30個(gè)圖形中“●”的個(gè)數(shù)．
23．一種長方形餐桌的四周可坐6人用餐，現(xiàn)把若干張這樣的餐桌按如圖所示的方式進(jìn)行拼接．
（1）若把4張這樣的餐桌拼接起來，四周可坐　10　人；
（2）若把n張這樣的餐桌拼接起來，四周可坐?。?n+2）　人；
（3）若把9張這樣的餐桌拼接起來，四周可坐　38　人；
（4）若用餐的人數(shù)有50人，則這樣的餐桌需要多少張？

24．用火柴棒按下列方式搭建三角形：

（1）當(dāng)三角形個(gè)數(shù)為1時(shí)，需3根火柴棒；當(dāng)三角形個(gè)數(shù)為2時(shí)，需5根火柴棒；則當(dāng)三角形個(gè)數(shù)為100時(shí)，需火柴棒　201　根；當(dāng)三角形個(gè)數(shù)為n時(shí)，需火柴棒?。?n+1）　根（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)火柴棒的根數(shù)為2019時(shí)，求三角形的個(gè)數(shù)？
（3）組成三角形的火柴棒能否為1000根，如果能，求三角形的個(gè)數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．
25．用黑白棋子擺出下列一組圖形，根據(jù)規(guī)律可知．

（1）在第n個(gè)圖中，白棋共有　n（n+1）　枚，黑棋共有?。?n+6）　枚；
（2）在第幾個(gè)圖形中，白棋共有300枚；
（3）白棋的個(gè)數(shù)能否與黑棋的個(gè)數(shù)相等？若能，求出是第幾個(gè)圖形，若不能，說明理由．
26．如圖所示，用棋子擺成的“上”字：

第一個(gè)“上”字 第二個(gè)“上”字 第三個(gè)“上”字
如果按照以上規(guī)律繼續(xù)擺下去，那么通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)：
（1）第四、第五個(gè)“上”字分別需用　18　和　22　枚棋子．
（2）第n個(gè)“上”字需用　4n+2　枚棋子．
（3）如果某一圖形共有102枚棋子，你知道它是第幾個(gè)“上”字嗎？
27．如圖，自行車每節(jié)鏈條的長度為2.5cm，交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm．
（1）4節(jié)鏈條長　7.6　cm；
（2）n節(jié)鏈條長　1.7n+0.8　cm；
（3）如果一輛22型自行車的鏈條由50節(jié)這樣的鏈條組成，那么這輛自行車上鏈條總長度是多少？

28．找規(guī)律并解答問題．
（1）按如圖方式擺放黑色圍棋子，填一填，每個(gè)圖共需幾枚棋子．

圖的順序
1
2
3
4
…
需要的棋子數(shù)/枚
　4　
　7　
　10　
　13　
…
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算一算第13個(gè)圖，共需要　40　枚棋子．
29．如圖是按規(guī)律排列的一組圖形的前三個(gè)，觀察圖形，并在空白處填空．

（1）第五個(gè)圖形中，一共有　31　個(gè)點(diǎn)；
（2）請(qǐng)用n的代數(shù)式表示出第n個(gè)圖形中點(diǎn)的數(shù)量　6n+1??；
（3）第100個(gè)圖形中一共有　601　個(gè)點(diǎn)．
30．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：
（1）在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式：

①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④　1+3+5+7＝42?。虎?+3+5+7+9＝52；…
（2）請(qǐng)寫出第n個(gè)等式；
（3）利用（2）中的等式，計(jì)算21+23+25+…+99．
31．如圖，觀察每個(gè)正多邊形中∠α的變化情況，解答下列問題：

（1）將下面的表格補(bǔ)充完整：
正多邊形的邊數(shù)
3
4
5
6
…
n
∠α的度數(shù)
　60°　
　45°　
　36°　
　30°　
…
　　
（2）根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正n邊形，使其中的∠α＝20°？若存在，寫出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正n邊形，使其中的∠α＝21°？若存在，寫出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．















32．觀察下列n×n的點(diǎn)陣與等式的關(guān)系，并填空：
（2×2）→22﹣12＝1+2×1 （3×3）→32﹣22＝1+2×2
（4×4）→42﹣32＝1+2×3 （5×5）→52﹣42＝1+2×4
（n行×n列）（n×n）→　n2﹣（n﹣1）2＝1+2（n﹣1）　
（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在（n×n）圖的后面的橫線上填上所對(duì)應(yīng)的等式，并證明等式成立
（2）根據(jù)等式性質(zhì)，將上圖所對(duì)應(yīng)的前四個(gè)已知等式的左側(cè)和右側(cè)式子分別相加，等式依然成立，即：
（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+（52﹣42）＝（1+2×1）+（1+2×2）+（1+2×3）+（1+2×4）．經(jīng)化簡，變形后得到：52﹣12＝4+2×（1+2+3+4），即1+2+3+4＝這種方法叫等式疊加法，如果將上圖（2×2）到（n×n）所對(duì)應(yīng)的（n﹣1）個(gè)等式進(jìn)行疊加，經(jīng)化簡，變形后，可以得到1+2+3+…+（n﹣1）＝　）＝?。?br /> 33．蜜蜂是自然界神奇的“建筑師“，它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窩“，觀察下列的“蜂窩圖“．

（1）若““中每條邊看成1個(gè)建筑單位，則第1個(gè)圖形中共有19個(gè)建筑單位，第2個(gè)圖案中共有　30　個(gè)建筑單位：第3個(gè)圖案中共有　41　個(gè)建筑單位；第n個(gè)圖案中共有　8+11n　個(gè)建筑單位．（用含有n的代數(shù)式表示）
（2）若現(xiàn)在有74個(gè)建筑單位材料，能建成符合上述規(guī)律的“蜂窩“嗎？若能求出它符合第幾圖形，若不能請(qǐng)說明理由．
34．如圖，是由邊長相等的小正方形組成的幾何圖形，Sn（n≥1）表示第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)．

（1）觀察下列圖形與等式得關(guān)系，并填空：


（2）根據(jù)（1）中的兩個(gè)結(jié)論填空：
S12＝　78　，Sn＝　　（用含有n的代數(shù)式表示）
35．【問題背景】在△ABC內(nèi)部，有點(diǎn)P1，可構(gòu)成3個(gè)不重疊的小三角形（如圖1）
【探究發(fā)現(xiàn)】當(dāng)△ABC內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加時(shí)（見圖1﹣3），探究三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)情況

（1）填表：
三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)n
1
2
3
4
…
不重疊三角形個(gè)數(shù)S
　3　
　5　
　7　
　9　
…
（2）當(dāng)△ABC內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)（P1，P2，…，Pn）時(shí)，三角形內(nèi)不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)S＝2019時(shí)，求n的值．
36．找規(guī)律：
（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空

1+3＝22

1+3+5＝32

1+3+5+7＝　42　．

1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝　n2　
（2）觀察下圖，根據(jù)（1）中結(jié)論，計(jì)算圖中黑棋子的個(gè)數(shù)．

37．用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如下所示的規(guī)律拼成若干圖案：

設(shè)每個(gè)圖案中黑磚的塊數(shù)為n．
（1）如圖1，當(dāng)黑磚n＝1時(shí)，白磚有6塊；如圖2，當(dāng)黑磚n＝2時(shí)，白磚有　10　塊．那么，當(dāng)n＝4時(shí)，白磚有　18　塊；
（2）當(dāng)n＝10時(shí)，白磚有　42　塊；
（3）第n個(gè)圖案中，白磚共?。?n+2）　塊．
38．（1）觀察下列點(diǎn)陣圖，寫出與第4個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式；

1＝1，1+2＝＝3，1+2+3＝＝6，　1+2+3+4＝　
（2）結(jié)合（1）觀察下列點(diǎn)陣圖，寫出與第5個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式．

1＝12，1+3＝22，3+6＝32，6+10＝42，　10+15＝52　
（3）寫出（2）中與第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：　+＝n2?。?br /> 39．如圖所示中圖1是由點(diǎn)組成的n行n列的實(shí)心方陣，圖2是由每條邊上n個(gè)點(diǎn)圍成的空心方陣．

問題（1）：圖1中方陣的總點(diǎn)數(shù)是　n2??；
問題（2）：圖2中方陣的總點(diǎn)數(shù)，由于有不同的數(shù)點(diǎn)方法，所以可以有多種式子的表達(dá)，請(qǐng)你至少寫出三種表示方法（不必化簡）：　n2﹣（n﹣2）2或4（n﹣1）或4n﹣4??；
問題（3）：當(dāng)n＝10時(shí)，分別代入問題（2）的每個(gè)表達(dá)式，求出圖2中的總點(diǎn)數(shù)．
40．如圖，圖1中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a1＝4，圖2中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a2＝8，圖3中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a3＝13，…

根據(jù)以上圖中的規(guī)律完成下列問題：
（1）圖4中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a4，則a4＝　19?。?br /> （2）圖n中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為an，則an＝　n2+n+1?。ㄓ煤琻的式子表示）；
（3）第幾個(gè)圖形中的小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為43個(gè)？


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