北京市房山區(qū)2022屆高三第二次模擬測試數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求解，再求的交集和補集判斷即可【詳解】由題，，故 ，故選：B2．雙曲線的焦點坐標為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線焦點坐標公式求解即可【詳解】雙曲線的焦點在軸上，坐標為，即故選：C3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別和特殊值0，1比較大小，即可判斷.【詳解】，，，所以.故選：A4．已知是第一象限角，且角的終邊關于y軸對稱，則(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)cosα求出tanα，根據(jù)角的終邊關于y軸對稱可知．【詳解】∵是第一象限角，∴，，∵角的終邊關于y軸對稱，∴．故選：D．5．已知數(shù)列滿足為其前n項和.若，則（    ）A．20 B．30 C．31 D．62【答案】C【分析】先利用等比數(shù)列的定義、通項公式得到公比和首項，再利用等比數(shù)列的求和公式進行求解.【詳解】因為，所以為等比數(shù)列，且，又，所以，則.故選：C.6．已知函數(shù)，則不等式的解集為(    )A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的定義和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】．故選：C﹒7．已知是兩個不同的平面，直線，且，那么“”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)空間線面位置關系，結(jié)合必要不充分條件的概念判斷即可.【詳解】解：當直線，且，，則，或，與相交，故充分性不成立，當直線，且，時，，故必要性成立，所以，“”是“”的必要而不充分條件.故選：B8．如圖，在同一平面內(nèi)沿平行四邊形ABCD兩邊AB、AD向外分別作正方形ABEF、ADMN，其中，，，則(    )A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法法則，，再利用數(shù)量積的運算法則計算即可.【詳解】.故選：C.9．已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，且各項均為正整數(shù)，如果，那么的最小值為（    ）A．13 B．14 C．17 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合為整數(shù)可求得，即可得解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，因為，則，即，故或或或或或或或，所以的最小值為14.故選：B.10．下表是某生活超市2021年第四季度各區(qū)域營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計表： 生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其它區(qū)營業(yè)收入占比凈利潤占比 該生活超市本季度的總營業(yè)利潤率為（營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的百分比），給出下列四個結(jié)論：①本季度此生活超市營業(yè)收入最低的是熟食區(qū)；②本季度此生活超市的營業(yè)凈利潤超過一半來自生鮮區(qū)；③本季度此生活超市營業(yè)利潤率最高的是日用品區(qū)；④本季度此生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率超過.其中正確結(jié)論的序號是（    ）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【答案】D【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)以及營業(yè)利潤率的概念逐項進行分析并判斷.【詳解】由題中數(shù)據(jù)知，其它類營業(yè)收入占比，為最低的，故①錯；生鮮區(qū)的凈利潤占比，故②正確；生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率為，故④正確；熟食區(qū)的營業(yè)利潤率為；乳制品區(qū)的營業(yè)利潤率為；其他區(qū)的營業(yè)利潤率為；日用品區(qū)為，最高，故③正確．故選：D. 二、填空題11．拋物線的準線方程為__________．【答案】【分析】拋物線的準線方程為，由此得到題目所求準線方程.【詳解】拋物線的準線方程是.【點睛】本小題主要考查拋物線的準線方程，拋物線的準線方程為，直接利用公式可得到結(jié)果.屬于基礎題.12．復數(shù)滿足，則__________．【答案】【詳解】由題意得，∴．13．已知函數(shù)若函數(shù)在上不是增函數(shù)，則a的一個取值為___________.【答案】-2(答案不唯一，滿足或即可)【分析】作出y=x和y=的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得a的范圍，從而得到a的可能取值．【詳解】y=x和y=的圖象如圖所示：∴當或時，y=有部分函數(shù)值比y=x的函數(shù)值小，故當或時，函數(shù)在上不是增函數(shù)．故答案為：-2．14．聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學模型是函數(shù).我們聽到的聲音是由純音合成的，稱為復合音.已知一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①的最小正周期是；②在上有3個零點；③在上是增函數(shù)；④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】②④【分析】對①，分別計算和的最小正周期，再由其最小公倍數(shù)即可得到的最小正周期；對②，直接求零點即可；對③④，對求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，即可判斷【詳解】對①，因為：，的最小正周期是，的最小正周期是，所以的最小正周期是，故①不正確；對②，即，即，故或，又，故，或，即在上有3個零點，故②正確；對③由題，，由，令得，，，當，，為增函數(shù)，當，，為減函數(shù)，當，，為增函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，在上為單調(diào)遞減，故③不正確；由于，，所以的最大值為，所以④正確綜上，②④正確故答案為：②④ 三、解答題15．在中，.(1)求；(2)再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理，結(jié)合內(nèi)角和與兩角和的正弦公式化簡即可；方法二：利用余弦定理化簡即可（2）選①則不合題意；選②：根據(jù)則可得，再根據(jù)兩角和的正弦公式可得，再根據(jù)高計算即可；選③：根據(jù)面積公式可得，進而用余弦定理求得，再結(jié)合面積公式求解高即可【詳解】（1）方法一：在中，因為，所以由正弦定理可得.因為，所以.所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因為，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）選條件②：由（1）知因為在中，，所以又，所以所以設邊上高線的長為h，則.選條件③：因為所以，由余弦定理得所以.設邊上高線的長為h，則16．如圖，在四棱錐中，底面.在底面中，，，，.(1)求證：平面；(2)若平面與平面的夾角等于，求點B到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)幾何關系證明，根據(jù)底面得，進而證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意，兩兩互相垂直，進而建立空間直角坐標系，設，再根據(jù)坐標法求解即可.【詳解】（1）證明：設中點為E，連接，易知為正方形，且所以，所以因為底面底面，所以又面，所以平面（2）解：因為底面，在正方形中所以兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標系設則所以，設平面的法向量為，則即所以由（1）知，平面的法向量為因為平面與平面的夾角為，所以，解得設點B到平面的距離為d.則17．北京2022年冬奧會，向全世界傳遞了挑戰(zhàn)自我?積極向上的體育精神，引導了健康?文明?快樂的生活方式.為了激發(fā)學生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學組織全體學生開展以“筑夢奧運，一起向未來”為主題的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的情況，隨機抽取100名學生作為樣本，統(tǒng)計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在的概率；(2)從參加體育實踐活動時間在和的學生中各隨機抽取1人，其中初中學生的人數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替，樣本中的100名學生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)記為，初中?高中學生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)分別記為，當m滿足什么條件時，.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(3) 【分析】（1）方法一：根據(jù)條件概率公式求解即可；方法二：根據(jù)古典概型的方法分析即可；（2）方法一：根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解即可；方法二：根據(jù)二項分布的公式求解；（3）補全初中段的人數(shù)表格，再分別計算關于的解析式，代入求解的范圍即可（1）方法一：女生共有人，記事件A為“從所有調(diào)查學生中隨機抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學生中隨機抽取1人，參加體育活動時間在”由題意可知，因此所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育活動時間在的概率為方法二：女生共有人，記事件M為“從所有調(diào)查學生中隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，該學生參加體育活動時間在”由題意知，從所有調(diào)查學生中隨機抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45個，抽到女生且參加體育活動時間在所包含的基本事件共9個所以所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育活動時間在的概率為（2）方法一：X的所有可能值為0，1，2，時間在的學生有人，活動時間在的初中學生有人.記事件C為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”，事件D為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”.由題意知，事件C?D相互獨立，且所以所以X的分布列為：X012P 故X的數(shù)學期望方法二：X的所有可能值為0，1，2，因為從參加體育活動時間在和的學生中各隨機抽取1人是相互獨立，且抽到初中學生的概率均為，故所以所以X的分布列為：X012P 故X的數(shù)學期望（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補全初中學生各區(qū)間人數(shù)：內(nèi)初中生的總運動時間，內(nèi)高中生的總運動時間，則由題，，又，，，由可得，當時成立，故的取值范圍18．已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，化簡為，再討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值.【詳解】（1）當時，所以.所以曲線在處的切線方程為：.（2）.①當時，.所以時，.所以在上是增函數(shù).所以.②當時，令，解得（舍）1°當，即時，時，.所以在上是增函數(shù).所以.2°當，即時，x-0+減函數(shù)極小值增函數(shù) 所以.3°當，即時，時，.所以在上是減函數(shù).所以.綜上，當時，；當時，.當時，.19．已知橢圓的一個頂點為，一個焦點為.(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)已知點，過原點O的直線交橢圓C于M，N兩點，直線與橢圓C的另一個交點為Q.若的面積等于，求直線的斜率.【答案】(1)橢圓，離心率；(2)或. 【分析】（1）根據(jù)題意得到，進而求出a，最后得到橢圓方程和離心率；（2）設出直線PM的方程并代入橢圓方程然后化簡，再設出點M,Q的坐標，進而表達出面積，然后結(jié)合根與系數(shù)的關系求出答案.【詳解】（1）由題設，得，則，所以橢圓C的方程為，離心率.（2）設直線的方程為，由得，解得.設，則，，即同號.根據(jù)橢圓的對稱性知，，所以，整理得，解得，（滿足）所以，或.【點睛】本題運算量較大，對于用“根與系數(shù)的關系”解決問題是個老套路，但本題對于面積的處理有一定的技巧，平常注意對此類題型的訓練.20．已知數(shù)集具有性質(zhì)P：對任意的，使得成立.(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(2)已知，求證：；(3)若，求數(shù)集A中所有元素的和的最小值.【答案】(1)不具有性質(zhì)P，具有性質(zhì)P，理由見解析；(2)證明見解析；(3)75． 【分析】(1)對于，，故可判斷它不具有性質(zhì)P；對于可逐項驗證2、3、6均滿足對任意的，使得成立，故可判斷它具有性質(zhì)P；(2)根據(jù)題意可知，從而，故而可得，將這些式子累加即可得，從而可變形為要證的結(jié)論；(3)根據(jù)題中已知條件可得該數(shù)集，，從而可得該數(shù)集元素均為整數(shù)，再根據(jù)可構造一個滿足性質(zhì)P的數(shù)集或，這兩個數(shù)集元素之和為75，證明75是最小值即可．【詳解】（1）∵，∴不具有性質(zhì)P；∵，∴具有性質(zhì)P；（2）∵集合具有性質(zhì)P：即對任意的，使得成立，又∵，∴，∴，即，將上述不等式相加得，∴，由于，∴，∴；（3）最小值為75．首先注意到，根據(jù)性質(zhì)P，得到，∴易知數(shù)集A的元素都是整數(shù)．構造或者，這兩個集合具有性質(zhì)P，此時元素和為75．下面，證明75是最小的和：假設數(shù)集，滿足(存在性顯然，∵滿足的數(shù)集A只有有限個)．第一步：首先說明集合中至少有7個元素：由(2)可知，…又，∴；∴；第二步：證明；若，設，∵，為了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，從而；假設，根據(jù)性質(zhì)P，對，有，使得，顯然，∴，而此時集合A中至少還有4個不同于的元素，從而，矛盾，∴，進而，且；同理可證：；(同理可以證明：若，則)．假設．∵，根據(jù)性質(zhì)P，有，使得，顯然，∴，而此時集合A中至少還有3個不同于的元素，從而，矛盾，∴，且；至此，我們得到了，根據(jù)性質(zhì)P，有，使得，我們需要考慮如下幾種情形：①，此時集合中至少還需要一個大于等于4的元素，才能得到元素8，則；②，此時集合中至少還需要一個大于4的元素，才能得到元素7，則；③，此時集合的和最小，為75；④，此時集合的和最小，為75．【點睛】本題第二問考察對題設條件的理解，根據(jù)數(shù)集要滿足性質(zhì)P，得到其元素之間應該滿足的大小關系，利用數(shù)列的累加法思想即可得數(shù)集的“前n項和”的范圍；本題第三問采用枚舉法即可證明，根據(jù)題設信息不斷地確定數(shù)集A中的具體元素，將抽象問題具體化，從而證明出結(jié)論，過程中需用反證法證明猜想． 四、雙空題21．已知圓和直線，則圓心坐標為___________；若點在圓上運動，到直線的距離記為，則的最大值為___________.【答案】          ##【分析】由圓的標準方程可得圓心坐標；根據(jù)直線過定點，可知當時，圓心到距離最大，則.【詳解】由圓的方程知：圓心坐標為；由直線方程知：恒過點，則，當時，圓心到距離最大，又圓的半徑，. 

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