【自主學(xué)習(xí)】
1.函數(shù)的三種表示方法
注意：同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．
2.分段函數(shù)
（1）分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的 的函數(shù)．
（2）分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的 ；各段函數(shù)的定義域的交集是 ．
注意：(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．
(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．(3)分段函數(shù)的圖象要分段來畫．
【小試牛刀】
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)任何一個函數(shù)都可以用列表法表示.( )
(2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示.( )
(3)函數(shù)的圖象一定是其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線.( )
(4)函數(shù)f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．( )
(5)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成．( )
(6)函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>2，))是分段函數(shù)．( )
(7)分段函數(shù)的圖象不一定是連續(xù)的．( )
(8)y＝|x－1|與y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1，,1－x，x1或x1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x1或x1，))則f[f(3)]＝( )
A.eq \f(1,5) B．3 C.eq \f(2,3) D.eq \f(13,9)
2．y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為( )
A．y＝eq \f(1,x)B．y＝－eq \f(1,x)
C．y＝eq \f(2,x)D．y＝－eq \f(2,x)
3 .已知f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的表達式是( )
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
4．已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,1－x2，x>1，))若f(x)＝－3，則x＝________.
5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x1，則實數(shù)a的取值范圍是________．
6、作出函數(shù)y＝x＋1(x∈Z)的圖象：
7.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)畫出f(x)圖象的簡圖；
(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域.
8．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．
9．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(x,ax＋b)(a，b為常數(shù)，且a≠0)滿足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函數(shù)y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
1、數(shù)學(xué)表達式 圖象 表格
2、對應(yīng)關(guān)系 并集 空集
【小試牛刀】
(1)× 如果函數(shù)的定義域是連續(xù)的數(shù)集，則該函數(shù)就不能用列表法表示；
(2)× 有些函數(shù)的是不能畫出圖象的，如f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,－1，x∈?RQ；))
(3)× 反例：f(x)＝eq \f(1,x)的圖象就不是連續(xù)的曲線.
(4)× 該函數(shù)是連續(xù)的，則該函數(shù)就不能用列表法表示。
(5)×分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．
(6)√對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)
(7)√定義域不連續(xù)，圖像不連續(xù)
(8)√ 定義域和對應(yīng)關(guān)系相同
【經(jīng)典例題】
例1 ①列表法
②圖象法：如圖所示．
③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[跟蹤訓(xùn)練] 1 (1)2 (2)1
解析 (1)由表知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝2；
(2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.
例2 (1)列表：
畫圖象，當(dāng)x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數(shù)y＝eq \f(2,x)的一部分(圖1)，觀察圖象可知其值域為(0,1]．

(2)列表：
畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分(圖2)．由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]．
[跟蹤訓(xùn)練] 2 解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖象如圖(1).
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x1；
當(dāng)－1≤a≤1時，f(a)＝a2＋1＝eq \f(3,2)，∴a＝±eq \f(\r(2),2)∈[－1,1]；
當(dāng)a－1(舍去)．
綜上，a＝2或a＝±eq \f(\r(2),2).
[跟蹤訓(xùn)練] 3 [解] (1)利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示．
（2）由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，結(jié)合此函數(shù)圖象可知，使f(x)≥eq \f(1,4)的x的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(3)由圖象知，當(dāng)－1≤x≤1時，f(x)＝x2的值域為[0,1]；當(dāng)x>1或x1，解得a>4，符合a≥0；當(dāng)a1，無解．
6、解 這個函數(shù)的圖象由一些點組成，這些點都在直線y＝x＋1上，如圖(1)所示.
7. 解 (1)f(x)圖象的簡圖如圖所示.
(2)由f(x)的圖象可知，f(x)所有點的縱坐標的取值范圍是[－1，3]，則f(x)的值域是[－1，3].
8.[解] 由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.
∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.
9.[解] 因為f(2)＝1，所以eq \f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2，①
又因為f(x)＝x有唯一解，即eq \f(x,ax＋b)＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝eq \f(1,2).所以f(x)＝eq \f(x,\f(1,2)x＋1)＝eq \f(2x,x＋2).
所以f[f(－3)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－6,－1)))＝f(6)＝eq \f(2×6,6＋2)＝eq \f(3,2).
課程標準
學(xué)科素養(yǎng)
1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點.
2.掌握求函數(shù)解析式的常見方法(重點、難點).
3.會用解析法及圖象法表示分段函數(shù)．
4．給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì)（重點）．
1、數(shù)形結(jié)合
2、數(shù)學(xué)運算
3、直觀想象
表示法
定義
解析法
用 表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系
圖象法
用 表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系
列表法
列出 來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
g(x)
3
2
1
x(臺)
1
2
3
4
5
y(元)
3000
6000
9000
12000
15000
x(臺)
6
7
8
9
10
y(元)
18000
21000
24000
27000
30000
x
2
3
4
5
…
y
1
eq \f(2,3)
eq \f(1,2)
eq \f(2,5)
…
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.1 函數(shù)的概念及其表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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