二.學(xué)法指導(dǎo)
1．解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路是：
(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值．
2. 給值求值問題的解題策略
?1?已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角.
?2?由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中可以根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角.常見角的變換有：
①α＝?α－β?＋β；
②eq α＝\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2)；
③2α＝?α＋β?＋?α－β?；
④2β＝?α＋β?－?α－β?.
3．已知三角函數(shù)值求角的解題步驟
?1?界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍.
?2?求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).
?3?結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.
4.輔助角公式及其運用
?1?公式形式：公式asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin?α＋φ??或asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)cs?α－φ??將形如asin α＋bcs α?a，b不同時為零?的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式.
?2?形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角α的系數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).
5.公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律：
(1)結(jié)構(gòu)特征：公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan α與tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和．
(2)符號規(guī)律：分子同，分母反．
6．利用公式T(α＋β)求角的步驟：
(1)計算待求角的正切值．
(2)縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息．
(3)根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角．
7.公式T?α±β?的逆用
一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換.
如eq tan\f(π,4)＝1，tan\f(π,6)＝\f(\r(3),3)，tan\f(π,3)＝\r(3)等.
要特別注意eq tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝\f(1＋tan α,1－tan α)，tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝\f(1－tan α,1＋tan α).
8.證明三角恒等式的原則與步驟
?1?觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.
?2?證明恒等式的一般步驟：
①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；
②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.
9.化簡問題中的“三變”
(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．
(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．
(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩剑缟齼?、降冪、配方、開方等．
10.三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題的解題策略：運用三角函數(shù)的和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y＝asin ωx＋bcs ωx＋k的形式，借助輔助角公式化為y＝Asin?ωx＋φ?＋k?或y＝Acs?ωx＋φ?＋k?的形式，將ωx＋φ看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).
11.應(yīng)用三角函數(shù)解實際問題的方法及注意事項
?1?方法：解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識求解.
?2?注意：在求解過程中，要注意三點：①充分借助平面幾何性質(zhì)，尋找數(shù)量關(guān)系.②注意實際問題中變量的范圍.③重視三角函數(shù)有界性的影響.
12.由y＝sin x的圖象，通過變換可得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象，其變化途徑有兩條：
(1)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(相位變換))y＝sin(x＋φ)eq \(――――→,\s\up15(周期變換))y＝sin(ωx＋φ)
eq \(――――→,\s\up15(振幅變換))y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(周期變換))y＝sin ωxeq \(――――→,\s\up15(相位變換))y＝sineq \b\lc\[\rc\](ω\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq \(――――→,\s\up15(振幅變換))y＝Asin(ωx＋φ)．
13.確定函數(shù)y＝Asin?ωx＋φ?的解析式的關(guān)鍵是φ的確定，常用方法有：
?1?代入法：把圖象上的一個已知點代入?此時A，ω已知?或代入圖象與x軸的交點求解?此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上?.
?2?五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作為突破口.“五點”的ωx＋φ的值具體如下：,“第一點”?即圖象上升時與x軸的交點?為ωx＋φ＝0；,“第二點”?即圖象的“峰點”?為ωx＋φ＝eq \f(π,2)；,“第三點”?即圖象下降時與x軸的交點?為ωx＋φ＝π；,“第四點”?即圖象的“谷點”?為ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；,“第五點”為ωx＋φ＝2π.
14.正弦余弦型函數(shù)奇偶性的判斷方法
正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)不一定具備奇偶性．對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)時為偶函數(shù)；對于函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)時為奇函數(shù)．
15．與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧
(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間．
(2)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將ωx＋φ看作一個整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過求y＝Asin z的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若ω＜0，則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間．
16.解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟
三.知識點貫通
知識點1 給角求值問題
公式：cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
sin 2α＝2sin_αcs_α
cs 2α＝cs2α－sin2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
例1.(1)cseq \f(13π,12)的值為( )
A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)]
(2)求值：cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°；
(3)cs 70°sin 50°－cs 200°sin 40°的值為( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(4)若θ是第二象限角且sin θ＝eq \f(5,13)，則cs(θ＋60°)＝________.
(5)求值：(tan 10°－eq \r(3))eq \f(cs 10°,sin 50°).
（6）cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值為( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)
(7)求下列各式的值：
①cs415°－sin415°；②eq \f(1－tan275°,tan 75°)
知識點二 給值求值、求角問題
公式：cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
例題2：(1)已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，則cs(α－β)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cs α的值．
（3）已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).求：①cs(2α－β)的值；②β的值．
（4）已知銳角α，β滿足cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，求sin β的值．
（5）已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；
知識點三 輔助角公式的應(yīng)用
輔助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan φ＝\f(b,a)))
例題3 .(1)sineq \f(π,12)－eq \r(3)cseq \f(π,12)＝________.
(2)已知f(x)＝eq \r(3)sin x－cs x，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間．
知識點四 兩角和與差的正切公式的運用
兩角和與差的正切公式
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
例題4．(1)已知α，β均為銳角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，則α＋β＝________.
(2)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________. (3)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
知識點五 恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合
例5.已知函數(shù)f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求證：當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時，f(x)≥－eq \f(1,2).
知識點六 三角函數(shù)圖象之間的變換
1. φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響
2．ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響
3．A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響
例6.(1)將函數(shù)y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象向左平移eq \f(π,3)個單位長度，再向下平移3個單位長度，則所得圖象的解析式為________．
(2)將y＝sin x的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y＝2sin（2x＋eq \f(π,4)）＋1的圖象？
知識點七 已知函數(shù)圖象求解析式
例7.已知函數(shù)f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為( )
A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4
C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2
知識點八 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例8 (1)已知函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無最大值，則ω＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(14,3) C.eq \f(26,3) D.eq \f(38,3)
(2)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))對稱，且在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．
知識點九 三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用
例9.已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：
經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y＝Acs ωt＋b的圖象．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；
(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？
五 易錯點分析
易錯一 給值求角
例題10.已知α，β均為銳角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β.
易錯二 三角函數(shù)圖像平移
例題11.要得到y(tǒng)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的圖象，只要將y＝sin 2x的圖象( )
A．向左平移eq \f(π,8)個單位B．向右平移eq \f(π,8)個單位
C．向左平移eq \f(π,4)個單位D．向右平移eq \f(π,4)個單位
內(nèi) 容
考點
關(guān)注點
三角恒等變換、
三角函數(shù)的應(yīng)用
利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式求值、化簡
角的范圍
三角函數(shù)圖象變換
左右平移
由圖象求函數(shù)的解析式
五個關(guān)鍵點
三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題
公式運用及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5

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