專題1.2有理數(shù)的有關運算精講精練-2021-2022學年七年級數(shù)學上學期期中考試高分直通車【蘇科版】-試卷下載-教習網(wǎng)

?2021-2022學年七年級數(shù)學上學期期中考試高分直通車（蘇科版）
專題1.2有理數(shù)的有關運算精講精練
【目標導航】

【知識梳理】
1. 有理數(shù)的加法：
（1）有理數(shù)加法法則：
①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．
②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．
③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．
（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）
（2）相關運算律
交換律：a+b=b+a；結合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2.有理數(shù)的減法
（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即：a-b=a+（-b）
（2）方法指引：
①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；
②將有理數(shù)轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數(shù)的性質符號（減數(shù)變相反數(shù)）；
【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．
減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應依法則進行計算．
3.有理數(shù)的混合運算
（1）有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．
（2）方法指引：
①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉化成加法，并寫成省略括號的和的形式．
②轉化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化．
4.有理數(shù)的乘法
（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．
（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．
（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．
（4）方法指引：
①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．
②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單．
5.有理數(shù)的除法
（1）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)
（2）方法指引：
（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0．
（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數(shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．
6.有理數(shù)的乘方
（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方．
乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪．）
（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．
（3）方法指引：
①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；
②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減．
7.有理數(shù)的混合運算
（1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．
（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧
1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉化為分數(shù)進行約分計算．
2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結合為一組求解．
3．分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算．
4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．
【典例剖析】
【考點1】有理數(shù)的加法
【例1】（2021秋?簡陽市期末）已知：|x|＝3，|y|＝2，且x＜y，則x+y的值為（　?。?br /> A．﹣5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【分析】先求出x，y的值，再求出x+y的值即可．
【解析】∵|x|＝3，|y|＝2，且x＜y，
∴x＝﹣3，y＝2或﹣2，
∴x+y＝﹣3+2＝﹣1，
x+y＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．
故選：D．
【變式1.1】（2020春?淮陰區(qū)期中）如圖，已知表格中豎直、水平、對角線上的三個數(shù)的和都相等，則m+n等于（　?。?
m
﹣3
4
3
1

n

A．7 B．5 C．﹣1 D．﹣2
【分析】由題意豎直、水平、對角線上的三個數(shù)的和都相等，則有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），即可解出m＝2，從而求出n值即可
【解析】
由題意得豎直、水平、對角線上的三個數(shù)的和都相等，
則有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），
整理得m＝2
則有2﹣3+4＝﹣3+1+n，解得n＝5
∴m+n＝5+2＝7
故選：A．
【變式1.2】（2021秋?廣陵區(qū)校級期中）已知|x|＝1，y2＝4，且x＞y，則x+y值為（　?。?br /> A．±3 B．±5 C．+1或+3 D．﹣1或﹣3
【分析】首先根據(jù)|x|＝1，y2＝4，可得：x＝±1，y＝±2；然后根據(jù)x＞y，可得：x＝±1，y＝﹣2，據(jù)此求出x+y值為多少即可．
【解析】∵|x|＝1，y2＝4，
∴x＝±1，y＝±2；
∵x＞y，
∴x＝±1，y＝﹣2，
∴x+y＝1+（﹣2）＝﹣1或x+y＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故選：D．
【變式1.3】（2018秋?崇川區(qū)期末）如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，則下列式子可能成立的是（　?。?br /> A．c＞0，a＜0 B．c＜0，b＞0 C．c＞0，b＜0 D．b＝0
【分析】根據(jù)不等式|a|＞|b|＞|c|及等式a+b+c＝0，利用特殊值法，驗證即得到正確答案．
【解析】由題目答案可知a，b，c三數(shù)中只有兩正一負或兩負一正兩種情況，
如果假設兩負一正情況合理，
要使a+b+c＝0成立，
則必是b＜0、c＜0、a＞0，
否則a+b+c≠0，
但題中并無此答案，則假設不成立．
于是應在兩正一負的答案中尋找正確答案，
若a，b為正數(shù)，c為負數(shù)時，
則：|a|+|b|＞|c|，
∴a+b+c≠0，
若a，c為正數(shù)，b為負數(shù)時，
則：|a|+|c|＞|b|，
∴a+b+c≠0，
只有A符合題意．
故選：A．
【考點2】有理數(shù)的減法
【例2】（2020?錦江區(qū)模擬）某城市在冬季某一天的氣溫為﹣3℃～3℃．則這一天的溫差是（　?。?br /> A．3℃ B．﹣3℃ C．6℃ D．﹣6℃
【分析】根據(jù)題意列出算式，再利用減法法則計算可得．
【解析】3﹣（﹣3）＝3+3＝6（℃）．
即這一天的溫差是6℃．
故選：C．
【變式2.1】（2021秋?張家港市期末）如圖是我市十二月份某一天的天氣預報，該天的溫差是（　　）

A．2℃ B．5℃ C．7℃ D．3℃
【分析】用最高氣溫減去最低氣溫列出算式，然后再依據(jù)有理數(shù)的減法法則計算即可．
【解析】該天的溫差為5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃），
故選：C．
【變式2.2】（2020?鹽城模擬）計算|﹣6﹣2|的結果是（　?。?br /> A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【分析】先求﹣6與2的差，再計算差的絕對值．
【解析】|﹣6﹣2|＝|﹣8|＝8
故選：B．
【變式2.3】（2021秋?天寧區(qū)校級月考）已知a＝|5|，b＝|8|，且滿足a+b＜0，則a﹣b的值為（　　）
A．13或3 B．11或3 C．3 D．﹣3
【分析】根據(jù)絕對值的意義及a+b＜0，可得a，b的值，再根據(jù)有理數(shù)的減法法則，可得答案．
【解析】由|a|＝5，|b|＝8，且滿足a+b＜0，得
a＝5，或a＝﹣5，b＝﹣8．
當a＝﹣5，b＝﹣8時，a﹣b＝﹣5﹣（﹣8）＝﹣5+8＝3，
當a＝5，b＝﹣8時，a﹣b＝5﹣（﹣8）＝5+8＝13，
則a﹣b的值為3或13，
故選：A．
【考點3】有理數(shù)的加減混合運算
【例3】（2021秋?興化市校級月考）計算：
（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
（4）123-125+43-0.6-(-335)
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；
（2）先去掉絕對值，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法即可解答本題；
（3）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；
（4）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題．
【解析】（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
＝7+4+（﹣5）
＝6；
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
＝6+0.2+（﹣2）﹣1.5
＝2.7；
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
＝（﹣7.2）+（﹣0.8）+（﹣5.6）+11.6
＝﹣2；
（4）123-125+43-0.6-(-335)
=123+(-125)+43+(-35)+335．
＝435．
【變式3.1】（2021秋?邗江區(qū)校級月考）計算題．
①8+（﹣10）+（﹣2）﹣（﹣5）
②217-323-513+(-317)
【分析】分別根據(jù)有理數(shù)的加減法法則計算即可．
【解析】①原式＝8+（﹣10）+（﹣2）+5＝（8+5）﹣（10+2）＝13﹣12＝1；

②原式=(217-317)-(323+513)=-1﹣9＝﹣10．
【變式3.2】（2021秋?泰興市校級月考）計算題
（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7
（2）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13
（3）16-12-34+56
（4）（﹣337）+12.5+（1647）﹣（﹣2.5）
（5）0.75+0.125+（﹣234）﹣（﹣1257）+（﹣418）
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則一一計算即可解決問題．
【解析】（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7＝﹣（2.4+3.7+4.6）+5.7＝﹣5
（2）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13＝﹣（20+14+13）+18＝﹣29
（3）16-12-34+56=212-612-912+1012=-14
（4）（﹣337）+12.5+（1647）﹣（﹣2.5）＝1317+15＝2817
（5）0.75+0.125+（﹣234）﹣（﹣1257）+（﹣418）＝﹣2﹣4+1257=657
【變式3.3】（2018秋?江陰市校級月考）計算
（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13
（2）18+（﹣12）+（﹣21）﹣（﹣12）
（3）25-|﹣112|﹣（+214）﹣（﹣2.75）
（4）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）
（5）113-115+53-(-0.6)-(-335)
（6）（+1.125）﹣（+334）﹣（+18）+（﹣0.25）
【分析】（1）將減法轉化為加法，再根據(jù)法則計算可得；
（2）將減法轉化為加法，再根據(jù)法則計算可得；
（3）將分數(shù)化為小數(shù)，減法轉化為加法，再根據(jù)法則計算可得；
（4）將減法轉化為加法，再根據(jù)法則計算可得；
（5）將分數(shù)化為小數(shù)，減法轉化為加法，再根據(jù)法則計算可得；
（6）將分數(shù)化為小數(shù)，減法轉化為加法，再根據(jù)法則計算可得．
【解析】（1）原式＝﹣20+18﹣14+13
＝﹣34+31
＝﹣3；
（2）原式＝18﹣12﹣21+12
＝30﹣33
＝﹣3；
（3）原式＝0.4﹣1.5﹣2.25+2.75
＝0.4﹣1.5+0.5
＝0.9﹣1.5
＝﹣0.6；
（4）原式＝0.35﹣0.6+0.25﹣5.4
＝﹣5.4；

（5）原式=43-65+53+35+185
＝（43+53）+（-65+35+185）
＝3+3
＝6；
（6）原式＝1.125﹣3.75﹣0.125﹣0.25
＝（1.125﹣0.125）+（﹣3.75﹣0.25）
＝1﹣4
＝﹣3．
【考點4】有理數(shù)的乘法
【例4】（2021秋?鎮(zhèn)江期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式正確的是（　　）

A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)+b＜0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．b﹣a＞0
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置確定出a+b，a﹣b以及ab的正負即可．
【解析】由題意：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，
∴ab＜0，a+b＞0，a﹣b＜0，b﹣a＞0，
故選：D．
【變式4.1】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）三個數(shù)相乘，積為正數(shù)，則其中正因數(shù)的個數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．1或3
【分析】根據(jù)幾個有理數(shù)相乘積的符號由負因式個數(shù)來確定即可得到結果．
【解析】∵三個數(shù)相乘，積為正數(shù)，
∴其中正因數(shù)的個數(shù)有1個或3個．
故選：D．
【變式4.2】（2021秋?天寧區(qū)校級月考）下列說法中正確的個數(shù)是（　?。?br /> （1）一個數(shù)，如果不是正數(shù)，必定是負數(shù)；
（2）有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù)；
（3）若兩個數(shù)的差為0，則這兩個數(shù)必相等；
（4）若兩數(shù)的積為正數(shù)，則這兩個數(shù)必定都是正數(shù)．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義，絕對值的性質，有理數(shù)的減法、乘法法則，逐一分析探討得出結論即可．
【解析】（1）一個數(shù)，如果不是正數(shù)，必定是0或負數(shù)，原來的說法是錯誤的；
（2）有理數(shù)的絕對值一定是非負數(shù)，原來的說法是錯誤的；
（3）若兩個數(shù)的差為0，則這兩個數(shù)必相等是正確的；
（4）若兩數(shù)的積為正數(shù)，則這兩個數(shù)可能都是負數(shù)，原來的說法是錯誤的．
故說法中正確的個數(shù)是1個．
故選：A．
【變式4.3】（2020?徐州模擬）2020的倒數(shù)是（　?。?br /> A．12020 B．-12020 C．2020 D．﹣2020
【分析】根據(jù)倒數(shù)的概念解答．
【解析】2020的倒數(shù)是12020，
故選：A．
【考點5】有理數(shù)的除法
【例5】（2021秋?衛(wèi)輝市期末）若ab≠0，則|a|a+|b|b的值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】分類討論a與b的正負，利用絕對值的代數(shù)意義化簡即可得到結果．
【解析】當a＞0，b＞0時，原式＝1+1＝2；
當a＞0，b＜0時，原式＝1﹣1＝0；
當a＜0，b＞0時，原式＝﹣1+1＝0；
當a＜0，b＜0時，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
綜上，原式的值不可能為1．
故選：B．
【變式5.1】（2020春?肇州縣期末）如果|a|a=-1，則a一定是（　?。?br /> A．正數(shù) B．負數(shù) C．非正數(shù) D．非負數(shù)
【分析】根據(jù)絕對值的性質①當a是正數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零可得a為非正數(shù)．
【解析】∵|a|a=-1，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤0，
∵a是分母，
∴a≠0．
故選：B．
【變式5.2】（2018秋?金湖縣期末）我們把2÷2÷2記作2③，（﹣4）÷（﹣4）記作（﹣4）②，那么計算9×（﹣3）④的結果為（　?。?br /> A．1 B．3 C．13 D．19
【分析】根據(jù)新定義列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根據(jù)有理數(shù)的乘除運算法則計算可得．
【解析】9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×19
＝1，
故選：A．
【變式5.3】（2018秋?北海期末）把（-34）÷（-23）轉化為乘法是（　?。?br /> A．（-34）×23 B．（-34）×32
C．（-34）×（-23） D．（-34）×（-32）
【分析】根據(jù)除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)可得．
【解析】把（-34）÷（-23）轉化為乘法是（-34）×（-32），
故選：D．
【考點6】乘法運算律
【例6】（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）用簡便方法計算
（1）﹣392324×（﹣12）
（2）（23-112-115）×（﹣60）
【分析】根據(jù)乘法分配律，可得答案．
【解析】（1）原式＝（﹣40+124）×（﹣12）＝﹣40×（﹣12）-124×12＝480-12=47912；
（2）原式=23×（﹣60）+112×60+115×60＝﹣40+5+4＝﹣31．
【變式6.1】（2021秋?海安市月考）計算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）-215×2311÷(-212)；
（3）(-124)÷(134-78+712)；
（4）(79-56+34-718)×36．
【分析】（1）把后兩項結合，利用乘法結合律進行計算即可得解；
（2）把帶分數(shù)化為假分數(shù)，除法轉化為乘法，然后進行計算即可得解；
（3）先通分計算括號里面的，再根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這數(shù)的倒數(shù)進行計算即可得解；
（4）利用乘法分配律進行計算即可得解．
【解析】（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；

（2）﹣215×2311÷（﹣212），
=-115×2511×（-25），
＝2；
（3）（-124）÷（134-78+712），
＝（-124）÷（4224-2124+1424），
＝（-124）÷3524，
＝（-124）×2435，
=-135；
（4）（79-56+34-718）×36，
=79×36-56×36+34×36-718×36，
＝28﹣30+27﹣14，
＝55﹣44，
＝11．
【變式6.2】（2021秋?交城縣期中）閱讀下題解答：
計算：(-124)÷(23-34+78)．
分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．
解：(23-34+78)÷(-124)=(23-34+78)×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式=-119．
根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：(-142)÷[12-13+57+(-23)2×(-6)]．
【分析】原式根據(jù)閱讀材料中的計算方法變形，計算即可即可得到結果．
【解析】根據(jù)題意得：[12-13+57+（-23）2×（﹣6）]÷（-142）
＝[12-13+57+49×（﹣6）]×（﹣42）
＝﹣21+14﹣30+112
＝75，
則原式=175．
【變式6.3】計算：
（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16）
（2）（79-56+34）×（﹣36）
（3）392324×（﹣12）
（4）25×34-（﹣25）×12+25×（-14）
【分析】（1）按照從左到右的順序，把除法轉化為乘法，然后利用有理數(shù)的乘法運算法則進行計算即可得解；
（2）利用乘法分配律進行計算即可得解；
（3）把392324寫成40-124，然后利用乘法分配律進行計算即可得解；
（4）逆運用乘法分配律進行計算即可得解．
【解析】（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16），
＝18×49×49×116，
=29；
（2）（79-56+34）×（﹣36），
=79×（﹣36）-56×（﹣36）+34×（﹣36），
＝﹣28+25﹣27，
＝﹣55+25，
＝﹣30；
（3）392324×（﹣12），
＝（40-124）×（﹣12），
＝40×（﹣12）-124×（﹣12），
＝﹣480+12，
＝﹣47912；
（4）25×34-（﹣25）×12+25×（-14），
＝25×（34+12-14），
＝25×1，
＝25．
【考點7】有理數(shù)的乘方
【例7】（2021秋?常熟市期末）下列算式中，運算結果為負數(shù)的是（　?。?br /> A．﹣（﹣3） B．﹣（﹣3）3 C．（﹣3）2 D．﹣|﹣3|
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、正數(shù)和負數(shù)、相反數(shù)和絕對值的性質先對給出的式子進行化簡，再根據(jù)小于零的數(shù)是負數(shù)，可得答案．
【解析】A、﹣（﹣3）＝3，故本選項錯誤；
B、﹣（﹣3）3＝27，故本選項錯誤；
C、（﹣3）2 ＝9，故本選項錯誤；
D、﹣|﹣3|＝﹣3，故本選項正確；
故選：D．
【變式7.1】（2021秋?太倉市期末）下列運算正確的是（　?。?br /> A．﹣23＝（﹣2）3 B．（﹣3）2＝﹣32
C．﹣3×23＝﹣32×3 D．﹣32＝﹣23
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和乘方的運算法則對各選項分析判斷利用排除法求解．
【解析】A、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以﹣23＝（﹣2）3，故本選項正確；
B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，（﹣3）2≠﹣32，故本選項錯誤；
C、﹣3×23＝﹣24，﹣32×3＝﹣27，所以﹣3×23≠﹣32×3，故本選項錯誤；
D、﹣32＝﹣9，﹣23＝﹣8，所以﹣32≠﹣23，故本選項錯誤．
故選：A．
【變式7.2】（2021秋?徐州期末）下列計算正確的是（　?。?br /> A．﹣22＝4 B．（﹣2）3＝﹣6 C．（﹣3）2＝6 D．（﹣1）2＝1
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方解答即可．
【解析】A、﹣22＝﹣4，故這個選項錯誤；
B、（﹣2）3＝﹣8，故這個選項錯誤；
C、（﹣3）2＝9，故這個選項錯誤；
D、（﹣1）2＝1，故這個選項正確；
故選：D．
【變式7.3】（2021秋?侯馬市期末）已知|a|＝5，b2＝16且ab＞0，則a﹣b的值為（　?。?br /> A．1 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．1或﹣1
【分析】根據(jù)絕對值的性質、乘方的意義分別求出a、b，計算即可．
【解析】∵|a|＝5，b2＝16，
∴a＝±5，b＝±4，
∵ab＞0，
∴a＝5，b＝4或a＝﹣5，b＝﹣4，
則a﹣b＝1或﹣1，
故選：D．
【考點8】偶次方的非負性
【例8】（2020?海安市模擬）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，則x+y的值為（　?。?br /> A．-12 B．-32 C．32 D．12
【分析】直接利用非負數(shù)的性質得出x，y的值，進而得出答案．
【解析】∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得：x＝1，y=-12，
則x+y的值為：1-12=12．
故選：D．
【變式8.1】（2021秋?潛江期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代數(shù)式（a+b）2021的值是（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021
【分析】直接利用偶次方的性質以及絕對值的性質得出a，b的值，進而得出答案．
【解析】∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2021＝（﹣2+1）2021＝﹣1．
故選：B．
【變式8.2】（2021秋?高新區(qū)期末）不論a取什么值，下列代數(shù)式的值總是正數(shù)的是（　?。?br /> A．|a+1| B．|a|+1 C．a(chǎn)2 D．（a+1）2
【分析】直接利用絕對值的性質以及偶次方的性質分別分析得出答案．
【解析】A、|a+1|≥0，故此選項錯誤；
B、|a|+1＞0，故此選項正確；
C、a2≥0，故此選項錯誤；
D、（a+1）2≥0，故此選項錯誤；
故選：B．
【變式8.3】（2021秋?海安市期末）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，則x+y的值為（　?。?br /> A．12 B．-12 C．32 D．-32
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質列方程求出x、y的值，然后相加計算即可得解．
【解析】由題意得，x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得x＝1，y=-12，
所以，x+y＝1+（-12）=12．
故選：A．
【考點9】有理數(shù)的混合運算
【例9】（2021秋?宿豫區(qū)期末）計算：
（1）（23-14-16）×24；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1-13）
【分析】（1）根據(jù)乘法分配律可以解答本題；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和減法可以解答本題．
【解析】（1）（23-14-16）×24
＝16﹣6﹣4
＝6；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1-13）
＝﹣1﹣3×（-13）×23
＝﹣1+23
=-13．
【變式9.1】（2021秋?崇川區(qū)校級期末）計算題：
（1）（14+38-712）÷124
（2）（﹣1）2020×|112|﹣（0.5）÷（-13）
【分析】（1）先把除法轉化為乘法，再根據(jù)乘法分配律即可解答本題；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和減法可以解答本題．
【解析】（1）（14+38-712）÷124
＝（14+38-712）×24
＝6+9﹣14
＝1；
（2）（﹣1）2020×|112|﹣（0.5）÷（-13）
＝1×32-12×（﹣3）
=32+32
＝3．
【變式9.2】（2021秋?海州區(qū)校級期末）計算：
（1）﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×（﹣6+4）
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和減法可以解答本題．
【解析】（1）﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|
＝3+7﹣8
＝2；
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×（﹣6+4）
＝1﹣（﹣2）×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
【變式9.3】（2021秋?玄武區(qū)校級期末）計算：
（1）（﹣2.4）﹣（+1.6）﹣（﹣7.6）﹣（﹣9.4）；
（2）﹣14-17×|2﹣（﹣3）2|+（-13+34-112）÷（-124）．
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和加減法可以解答本題．
【解析】（1）（﹣2.4）﹣（+1.6）﹣（﹣7.6）﹣（﹣9.4）
＝（﹣2.4）+（﹣1.6）+7.6+9.4
＝13；
（2）﹣14-17×|2﹣（﹣3）2|+（-13+34-112）÷（-124）
＝﹣1-17×|2﹣9|+（-13+34-112）×（﹣24）
＝﹣1-17×7+8+（﹣18）+2
＝﹣1﹣1+8+（﹣18）+2
＝﹣10．
【考點10】有理數(shù)運算的實際問題
【例10】（2021秋?永定區(qū)期末）一名足球守門員練習折返跑，從球門的位置出發(fā)，向前記作正數(shù)，返回記作負數(shù)，他的記錄如下（單位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守門員是否回到了原來的位置？
（2）守門員離開球門的位置最遠是多少？
（3）守門員一共走了多少路程？
【分析】理解向前記作正數(shù)，返回記作負數(shù)，根據(jù)題目意思列出式子計算即可．
【解析】根據(jù)題意得
（1）5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0，
故回到了原來的位置；
（2）離開球門的位置分別是5米，2米，12米，4米，2米，10米，0米，
∴離開球門的位置最遠是12米；
（3）總路程＝|5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝54米．
【變式10.1】（2021秋?鄆城縣期末）一輛貨車從超市出發(fā)送貨．先向南行駛30km到達A單位，繼續(xù)向南行駛20km到達B單位．回到超市后，又給向北15km處的C單位送了3次貨，然后回到超市休息．
（1）C單位離A單位有多遠？
（2）該貨車一共行駛了多少km？
【分析】（1）設超市為原點，向南為正，向北為負，然后列式進行求解；
（2）貨車從超市到A到B，再回到超市，然后到C處三個來回，共六個單程距離．
【解析】（1）規(guī)定超市為原點，向南為正，向北為負，
依題意得C單位離A單位有：30+|﹣15|＝45km，
∴C單位離A單位45km；
（2）該貨車一共行駛了：
（30+20）×2+|﹣15|×6
＝50×2+15×6
＝100+90
＝190km．
答：該貨車一共行駛了190km．
【變式10.2】（2020春?肇東市期末）小蟲從某點A出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負數(shù)，爬行的各段路程依次為：（單位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小蟲最后是否回到出發(fā)點A？
（2）小蟲離開原點最遠是多少厘米？
（3）在爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？
【分析】（1）把記錄數(shù)據(jù)相加，結果為0，說明小蟲最后回到出發(fā)點A；
（2）分別計算出每次爬行后距離A點的距離；
（3）小蟲一共得到的芝麻數(shù)，與它爬行的方向無關，只與爬行的距離有關，所以應把絕對值相加，再求得到的芝麻粒數(shù)．
【解析】（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣27
＝0，
所以小蟲最后回到出發(fā)點A；
（2）第一次爬行距離原點是5cm，第二次爬行距離原點是5﹣3＝2（cm），
第三次爬行距離原點是2+10＝12（cm），第四次爬行距離原點是12﹣8＝4（cm），
第五次爬行距離原點是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距離原點是﹣2+12＝10（cm），
第七次爬行距離原點是10﹣10＝0（cm），
從上面可以看出小蟲離開原點最遠是12cm；
（3）小蟲爬行的總路程為：
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（cm）．
54÷1＝54（粒）
所以小蟲一共得到54粒芝麻．
【變式10.3】（2018秋?高郵市期末）定義：對于確定位置的三個數(shù)：a，b，c，計算a﹣b，a-c2，b-c3，將這三個數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”，例如，對于1，﹣2，3，因為1﹣（﹣2）＝3，1-32=-1，-2-33=-53，所以1，﹣2，3的“分差”為-53．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”為　-53??；
（2）調整“﹣2，﹣4，1”這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，那么這些不同“分差”中的最大值是　23　；
（3）調整﹣1，6，x這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，若其中的一個“分差”為2，求x的值．
【分析】（1）按“新定義”代入三個代數(shù)式求值再比較大小．
（2）三個數(shù)順便不同可以有6種組合，除第（1）題的順序，計算其余五種情況的“分差”，再比較大小．
（3）由“分差”為2（是正數(shù)）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能對應a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三種情況：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每種情況下計算得三個代數(shù)式后，分別令兩個含x的式子等于2，求出x，再代入檢查此時“分差”是否為2．
【解析】（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，a-c2=-2-12=-32，b-c3=-4-13=-53，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”為-53
故答案為：-53
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
則a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，a-c2=-2-(-4)2=1，b-c3=1-(-4)3=53，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”為﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
則a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，a-c2=-4-12=-52，b-c3=-2-13=-1
∴﹣4，﹣2，1的“分差”為-52
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
則a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，a-c2=-4-(-2)2=-1，b-c3=1-(-2)3=1
∴﹣4，1，﹣2的“分差”為﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
則a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，a-c2=1-(-2)2=32，b-c3=-4-(-2)3=-23
∴1，﹣4，﹣2的“分差”為-23
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
則a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，a-c2=1-(-4)2=52，b-c3=-2-(-4)3=23
∴1，﹣2，﹣4的“分差”為23
綜上所述，這些不同“分差”中的最大值為23
故答案為：23
（3）∵“分差”為2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三個數(shù)的順序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，a-c2=6-(-1)2=72，b-c3=x-(-1)3=x+13
若6﹣x＝2，得x＝4，x+13=53＜2，不符合
若x+13=2，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，a-c2=6-x2，b-c3=-1-x3
若6-x2=2，得x＝2，-1-x3=-1-23=-1＜2，不符合
若-1-x3=2，得x＝﹣7，6-x2=6-(-7)2=132＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，a-c2=x+12，b-c3=73
若x﹣6＝2，得x＝8，x+12=92＞2，符合
若x+12=2，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
綜上所述，x的值為﹣7或8．
【考點11】以數(shù)軸為載體的計算問題
【例11】（2021秋?建鄴區(qū)期中）已知數(shù)軸上的點A、B、C、D分別表示﹣3、﹣1.5、0、4．

（1）請在數(shù)軸上標出A、B、C、D四個點；
（2）B、C兩點之間的距離是　；
（3）如果把數(shù)軸的原點取在點B處，其余條件都不變，那么點A、C、D分別表示的數(shù)是　　．
【分析】（1）在數(shù)軸上描出四個點的位置即可；
（2）根據(jù)兩點之間的距離公式可求B、C兩點的距離；
（3）原點取在B處，相當于將原數(shù)加上1.5，從而計算即可．
【解析】（1）如圖所示：

（2）B、C兩點的距離＝0﹣（﹣1.5）＝1.5；
（3）點A表示的數(shù)為：﹣3+1.5＝﹣1.5，點B表示的數(shù)為0，點C表示的數(shù)為0+1.5＝1.5，點D表示的數(shù)為4+1.5＝5.5．
故答案為：1.5；﹣1.5，0，1.5，5.5．
【變式11.1】（2021秋?江陰市期中）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如圖所示．設點A，B，C所對應數(shù)的和是p．
（1）若以B為原點，則點A，C所對應的數(shù)為　　，p的值為　??；
（2）若以C為原點，p的值為　??；
（3）若原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且CO＝28，求p的值．

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點對應的數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)數(shù)軸上原點的位置確定其它點對應的數(shù)即可求解；
（3）根據(jù)原點在點C的右邊先確定點C對應的數(shù)，進而確定點B、點A所表示的數(shù)即可求解．
【解析】（1）若以B為原點，則點A，C所對應的數(shù)為﹣2、1，
﹣2+1＝﹣1
故答案為﹣2、1，﹣1．
（2）若C為原點，則A、B所對應的數(shù)為﹣1、﹣3，
所以p的值為﹣1+（﹣3）＝﹣4．
故答案為﹣4．
（3）由題意知：C點表示的數(shù)為﹣28，B點表示的數(shù)為﹣29，A點表示的數(shù)為﹣31，
P＝﹣28+（﹣29）+（﹣31）＝﹣88，
或p＝（﹣28）+（﹣28﹣1）+（﹣28﹣3）＝﹣28﹣29﹣31＝﹣88．
答：p的值為﹣88．
【變式11.2】（2021秋?衡水期中）已知在數(shù)軸上原點處有一點A，將點A先向左移動3個單位長度，再向右移動5個單位長度．
（1）移動后點A在數(shù)軸上所表示的數(shù)為　　；
（2）若數(shù)軸上有一點B與移動后點A相距4個單位長度，求點B表示的數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若將點B移動3個單位長度后與點C重合，求點C所表示的數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運算進行計算即可，
（2）分兩種情況分別計算，一是點B在A的左側，二是點B在A的右側，
（3）由（2）得B有兩種可能，而每種中又有兩種情況，因此點C有4種情況，對應4種結果．
【解析】（1）0﹣3+5＝2，
故答案為：2，
（2）2﹣4＝﹣2或2+4＝6，
答：點B表示的數(shù)為﹣2或6，
（3）﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5或6+3＝9或6﹣3＝3，
答：點C所表示的數(shù)﹣5，1，3，9．
【變式11.3】（2021秋?欒城區(qū)期中）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點A與數(shù)軸的原點重合，AB是圓片的直徑．

（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點A到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是　　數(shù)（填“無理”或“有理”），這個數(shù)是　 ??；
（2）把圓片沿數(shù)軸滾動2周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是　?。?br /> （3）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
當圓片結束運動時，A點運動的路程共有多少？此時點A所表示的數(shù)是多少？
【分析】（1）根據(jù)圓的周長公式計算即可；
（2）分兩種情形討論即可；
（3）根據(jù)路程的定義計算即可．
【解析】（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點A到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是無理數(shù)，這個數(shù)是﹣2π；
（2）把圓片沿數(shù)軸滾動2周，點A到達數(shù)軸上點D的位置，點D表示的數(shù)是±4π；
（3）2+1+5+4+3+2＝17，
故A點運動的路程共有34π，
+2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
故此時點A所表示的數(shù)是2π．
故答案為：無理，﹣2π；±4π．

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