專題1.2 有理數(shù)的有關(guān)運(yùn)算15大考點(diǎn)精講精練（知識(shí)梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期專題復(fù)習(xí)（蘇科版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（知識(shí)梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）
【目標(biāo)導(dǎo)航】
【知識(shí)梳理】
有理數(shù)的加法：
（1）有理數(shù)加法法則：
①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對值相加．
②絕對值不等的異號(hào)加減，取絕對值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．
③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．
（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對值”．）
（2）相關(guān)運(yùn)算律
交換律：a+b=b+a；結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2.有理數(shù)的減法
（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即：a-b=a+（-b）
（2）方法指引：
①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；
②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減數(shù)變相反數(shù)）；
【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．
減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．
3.有理數(shù)的混合運(yùn)算
（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．
（2）方法指引：
①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號(hào)的和的形式．
②轉(zhuǎn)化成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡化．
4.有理數(shù)的乘法
（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相乘．
（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．
（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．
（4）方法指引：
①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對值相乘．
②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．
5.有理數(shù)的除法
（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)
（2）方法指引：
（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．
（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．
6.有理數(shù)的乘方
（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．
乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）
（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．
（3）方法指引：
①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對值；
②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級(jí)，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．
7.有理數(shù)的混合運(yùn)算
（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．
（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．
【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧
1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．
2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．
3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．
4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡便．
【典例剖析】
【考點(diǎn)1】有理數(shù)的加法
【例1】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知三個(gè)數(shù)a+b+c=0，則這三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示的位置不可能是（）
A．B．
C．D．
【變式1.1】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）
A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5
C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10
【變式1.2】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在《九章算術(shù)注》中用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)（白色為正，黑色為負(fù)），如圖1表示的是+21?32=?11的計(jì)算過程，則圖2表示的過程是在計(jì)算（）
A．(?13)+(+23)=10B．(?31)+(+32)=1
C．(+13)+(+23)=36D．(+13)+(?23)=?10
【變式1.3】（2022·江蘇·七年級(jí)）如圖，若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的有理數(shù)分別為a，b，則a+b的值可能是（）
A．2B．1C．-1D．-2
【考點(diǎn)2】有理數(shù)的加法運(yùn)算律
【例2】（2021·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小紅解題時(shí)，將式子?8+?3+8+?4先變成?8+8+?3+?4再計(jì)算結(jié)果，則小紅運(yùn)用了（）．
A．加法的交換律和結(jié)合律B．加法的交換律
C．加法的結(jié)合律D．無法判斷
【變式2.1】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在計(jì)算?13+1?53時(shí)通常轉(zhuǎn)化成?13?53+1，這個(gè)變形的依據(jù)是（）
A．移項(xiàng)B．加法交換律C．加法結(jié)合律D．乘法分配律
【變式2.2】（2021·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時(shí)，運(yùn)用了加法（）
A．交換律B．結(jié)合律C．分配律D．交換律與結(jié)合律
【變式2.3】（2021·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）125+67+75＝67+（125+75）應(yīng)用了（）
A．加法交換律B．加法結(jié)合律
C．加法交換律和加法結(jié)合律D．乘法分配律
【考點(diǎn)3】有理數(shù)的減法
【例3】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若x是3的相反數(shù)，y＝2，則x﹣y的值為（）
A．﹣5B．﹣1C．﹣5或﹣1D．5或11
【變式3.1】．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）某天，雪峰山山腳溫度為+4℃，山腳比山頂溫度高5℃，則山頂溫度可記為（）
A．+1℃B．﹣1℃C．﹣5℃D．+5℃
【變式3.2】（2021·江蘇南京·七年級(jí)期末）某文具店銷售硬面抄和軟面抄兩種類型的本子，下表記錄了某一星期四天的銷售情況．經(jīng)過核算，其中有一天的兩類本子銷售總額記錄有誤，則記錄有誤的一天是（）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四
【變式3.3】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）大家都知道，六點(diǎn)五十五分可以說成七點(diǎn)差五分、有時(shí)這樣表達(dá)更清楚，這啟發(fā)人們設(shè)計(jì)了一種新的加減記數(shù)法．比如：9寫成11，11=10?1；270寫成330，330=300?30；7683寫成12323，12323=10003?2320．按這個(gè)方法請計(jì)算5231?3241=（）
A．1990B．2134C．2068D．3024
【考點(diǎn)4】有理數(shù)的乘法
【例4】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）要使算式(?1)□3的運(yùn)算結(jié)果最大，則“□”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)為（）
A．+B．-C．×D．÷
【變式4.1】（2021·江蘇·南京外國語學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）絕對值不大于4且不小于2的所有整數(shù)的積是（）
A．0B．?36C．576D．?576
【變式4.2】（2020·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）已知a、b、c三個(gè)有理數(shù)滿足a+b=0，b

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