?專題07 等差數(shù)列與等比數(shù)列
目錄
一．考情分析
二．熱點(diǎn)題型歸納
【題型一】等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算
【題型二】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)
【題型三】等差、等比數(shù)列的判斷與證明
三．最新?？碱}組練
【考情分析】

【題型一】等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算
【題組練透】
1.（山東省淄博市2021屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則公比（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br /> 即，
因?yàn)椋裕?br /> 即，
因?yàn)?，所?.故選：D
2．我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個(gè)問題中，戊所得錢數(shù)為（ ）
A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫
【答案】A
【繼續(xù)】依次記甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，
由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：
，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得錢數(shù)為30.8貫.故選：A.
3．（2021·武漢市第一中學(xué)高三二模）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1＞0，S10＝S20，則（　?。?br /> A．d＜0 B．a(chǎn)16＜0
C．Sn≤S15 D．當(dāng)且僅當(dāng)Sn＜0時(shí)n≥32
【答案】ABC
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S10＝S20，
∴10a1+45d＝20a1+190d，
∴2a1+29d＝0，
∵a1＞0，∴d＜0，故A正確；
∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，
∵d＜0，∴a15＞a16，
∴a15＞0，a16＜0，故B正確；
∴Sn≤S15，故C正確；
又，，
∴當(dāng)且僅當(dāng)Sn＜0時(shí)，n≥31，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．
4．（2021·湖南長(zhǎng)沙市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列中，，，則滿足成立的最大正整數(shù)的值為______．
【答案】3
【解析】已知為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由得，，，解得，又．∴．
因?yàn)?，所以?shù)列也是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為．
∴，從而有．
∴．故．故答案為：3.
【提分秘籍】
1.在等差(比)數(shù)列中,a1,d(q),n,an,Sn五個(gè)量中知道其中任意三個(gè),就可以求出其他兩個(gè).解這類問題時(shí),一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算.
2.對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,應(yīng)按照公比q與1的關(guān)系分類討論,一般地,若涉及n較小的等比數(shù)列前n項(xiàng)和問題,為防止遺忘分類討論,可直接利用通項(xiàng)公式寫出,而不必使用前n項(xiàng)和公式.
【題型二】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)
【題組練透】
1．（2021·陜西西安市·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三其他模擬（文））等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【分析】
應(yīng)用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得原式為，代入可計(jì)算結(jié)果.
【詳解】
解：因?yàn)椋?，則有
.
故選：B.
2．（2021·山東青島市·高三三模）行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，其中最簡(jiǎn)單的二階行列式的運(yùn)算定義如下：，已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A． B．45 C．75 D．150
【答案】C
【分析】
先由行列式的定義化簡(jiǎn)，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和即可.
【詳解】
由行列式的定義有，即，
所以.
故選：C.

3．（2021·廣東潮州市·高三二模）已知數(shù)列滿足，下列命題正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列
B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定有最大項(xiàng)
C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列
D．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)
【答案】BCD
【分析】
分別代入和計(jì)算判斷AB選項(xiàng)；再利用放縮法計(jì)算判斷C選項(xiàng)；設(shè)，則，所以化簡(jiǎn)得，可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，可判斷D；
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，知A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，，，
所以可判斷一定有最大項(xiàng)，B正確；
當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，C正確；
當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，其值不妨取為，則，所以，
可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，D正確；
故選：BCD.
4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a2＋a8＝，則tan(a3＋a7)的值為
A． B．－ C． D．－
【答案】－
【解析】∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a3＋a7＝a2＋a8＝．
∴tan(a3＋a7)＝tan＝－
【提分秘籍】
1.利用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)求解的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.
2.活用函數(shù)的性質(zhì):數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的這些性質(zhì)解題.
【題型三】等差、等比數(shù)列的判斷與證明
【典例分析】
【典例】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求證：成等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.
(2)　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝不適合上式.
故an＝
【變式探究1】本例條件不變，判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由.
【解析】因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，
所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2).
所以－＝2(n≥2).
又＝＝2，
所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以an＋1＝，又an＋1－an＝－
＝＝.
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1－an的值不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列{an}不是一個(gè)等差數(shù)列.
【變式探究2】本例中，若將條件變?yōu)閍1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】由已知可得＝＋1，即－＝1，
又a1＝，
∴是以＝為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴an＝n2－n.
【提分秘籍】
1.常見的判定等差數(shù)列的方法
(1)定義法:對(duì)于數(shù)列{an},若an+1-an=d(n∈N*)(d為常數(shù)),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)等差中項(xiàng)法:對(duì)于數(shù)列{an},若2an+1=an+an+2(n∈N*),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
2.常見的判定等比數(shù)列的方法
(1)定義法:若=q(q≠0,n∈N*)或=q(q≠0,n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)等比中項(xiàng)法:若數(shù)列{an}中,an≠0且=an·an-2(n≥3,n∈N*),則數(shù)列{an} 是等比數(shù)列.
注意:如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列,則必須用定義法或等差(等比)中項(xiàng)法.判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起,以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差(比)是同一常數(shù),即易忽視驗(yàn)證a2-a1=d(=q)這一關(guān)鍵條件
【變式演練】
1. (2021·廣東省級(jí)名校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn－2an＝n－4.
(1)證明：{Sn－n＋2}為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn.
(1)證明　因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1(n≥2)，
所以Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，
則Sn＝2Sn－1－n＋4(n≥2)，
所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2](n≥2)，
又由題意知a1－2a1＝－3，
所以a1＝3，則S1－1＋2＝4，
所以{Sn－n＋2}是首項(xiàng)為4，公比為2等比數(shù)列.
(2)　由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，
所以Sn＝2n＋1＋n－2，
于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝＋－2n＝.

1．（2021·山西陽(yáng)泉市·高三三模（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用廣義通項(xiàng)公式計(jì)算，可得，即可得到答案；
【詳解】
，
，
故選：C.
2．（2021·寧波市北侖中學(xué)高三其他模擬）設(shè)是某個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由題設(shè)易得且，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，由求d，即可求.
【詳解】
由題意知：即，且，
∴，故，
∴.
故選：A
3．（2021·濟(jì)南市·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本題可設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，然后通過(guò)即可得出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，
則，，中間項(xiàng)為，
故
，
，
故選：B.
4．（2021·安徽馬鞍山市·高三三模（文））在天然氣和煤氣還未普及時(shí)，農(nóng)民通常會(huì)用水稻秸稈作為生火做飯的材料．每年水稻收割結(jié)束之后，農(nóng)民們都會(huì)把水稻秸稈收集起來(lái)，然后堆成如圖的草堆，供生火做飯使用．通常他們堆草堆的時(shí)候都是先把秸稈先捆成一捆一捆的，然后堆成下面近似成一個(gè)圓柱體，上面近似成一個(gè)圓錐體的形狀．假設(shè)圓柱體堆了7層，每層所用的小捆草數(shù)量相同，上面收小時(shí)，每層小捆草數(shù)量是下一層的倍．若共用255捆，最上一層只有一捆，則草堆自上往下共有幾層（ ）

A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【分析】
由題可知，上面的圓錐每層的數(shù)量是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；設(shè)草堆自上往下共有層，則圓錐有層，依題意列關(guān)系式.
【詳解】
設(shè)草堆自上往下共有層，則圓錐有層，
由題可知，上面的圓錐每層的數(shù)量是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
，
解得：
草堆自上往下共有層.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：等比數(shù)列前項(xiàng)和.
5．（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，若，當(dāng)時(shí)，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
將已知遞推關(guān)系式變形可得，由此可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可取得，進(jìn)而得到；由可上下相消求得，結(jié)合解不等式可求得的最小值.
【詳解】
由得：，
，
，即，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，則，
，
由得：，又，且，
的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列中的不等式的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知的遞推關(guān)系式，構(gòu)造出全新的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)后，即可確定.
6．（2021·四川內(nèi)江市·高三一模（理））若數(shù)列滿足，則稱為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用等比數(shù)列的定義可推導(dǎo)出“夢(mèng)想數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合題意可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由此可得，即可得解.
【詳解】
由題意可知，若數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，則，可得，
所以，“夢(mèng)想數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，
若正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，則，所以，，
即正項(xiàng)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
因?yàn)?，因此?
故選：D.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義“夢(mèng)想數(shù)列”，解題的關(guān)鍵就是緊扣新定義，本題中，“夢(mèng)想數(shù)列”就是公比為的等比數(shù)列，解題要將這種定義應(yīng)用到數(shù)列中，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列基本量法求解.

7．（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（ ）
A． B．
C． D．滿足的的最小值為17
【答案】AD
【分析】
先由等差數(shù)列的性質(zhì)及求得，結(jié)合及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；由選項(xiàng)A得到數(shù)列的公差，進(jìn)而得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求出，的值，結(jié)合的增減性即可判斷選項(xiàng)B，C；由等差數(shù)列的性質(zhì)及，易得到，的值，結(jié)合的增減性即可判斷選項(xiàng)D．
【詳解】
因?yàn)?，所?
又，所以，A選項(xiàng)正確；
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，
所以.
，.
所以，B選項(xiàng)不正確；
由知數(shù)列為遞減數(shù)列，又，.
所以為的最大值，C選項(xiàng)不正確；
因?yàn)椋?
所以滿足的的最小值為17，D選項(xiàng)正確.
故選AD．
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：在處理等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和問題時(shí)，通常會(huì)用到如下的一些性質(zhì)結(jié)論；
1.通項(xiàng)性質(zhì)：
若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則有am＋an＝ap＋aq＝2ak.
2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)：
(1) Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列
(2) S2n－1＝(2n－1)an.
8．（2021·全國(guó)（文））《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．關(guān)于這個(gè)問題，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．甲得錢是戊得錢的倍 B．乙得錢比丁得錢多錢
C．甲、丙得錢的和是乙得錢的倍 D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢
【答案】AC
【分析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，結(jié)合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得錢，進(jìn)而判斷選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，且，即，又，
∴，，即，，，，
∴甲得錢，乙得錢，丙得錢，丁得錢，戊得錢，則有如下結(jié)論：
甲得錢是戊得錢的倍，故A正確；
乙得錢比丁得錢多錢，故B錯(cuò)誤；
甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C正確；
丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
9．（2021·全國(guó)高二專題練習(xí)）數(shù)列為等比數(shù)列，公比q>1，其前n項(xiàng)和為Sn，若a5﹣a1=15，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．Sn+1=2Sn+1
B．a(chǎn)n=2n
C．?dāng)?shù)列{log3(Sn+1)}是等比數(shù)列
D．對(duì)任意的正整數(shù)k(k為常數(shù))，數(shù)列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差為1的等差數(shù)列
【答案】AD
【分析】
根據(jù)條件可求出，，然后逐一判斷即可.
【詳解】
因?yàn)楣葹閝>1，由
可得，即，
所以4q4﹣15q2﹣4=0，
解得q2=4，
所以，所以，，
所以，Sn+1=2n，
所以log3(Sn+1)=nlog32，
所以數(shù)列{log3(Sn+1)}是等差數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)n，k，Sn+k﹣Sn=2n+k﹣2n=(2k﹣1)2n，
所以log2(Sn+k﹣Sn)=n+log2(2k﹣1)，
所以數(shù)列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差為1的等差數(shù)列，
故選：AD


10．（2021·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高二開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列公差為___________.
【答案】4
【分析】
由等差數(shù)列性質(zhì)可知，，從而得到結(jié)果.
【詳解】
由等差數(shù)列性質(zhì)可知，
又，
∴,
解得，
故答案為：4
11．（2021·河南高三月考（理））已知數(shù)列，，等比數(shù)列中，，，若數(shù)列中去掉與數(shù)列相同的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，則前200項(xiàng)的和為___________.
【答案】42962
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
∵，∴為等差數(shù)列，又，∴，
∴，，則等比數(shù)列的公比為，
∴.∵，，，，，，
，，，.
∴


.
故答案為：42962

12．（2021·廣東汕頭市·高三三模）已知數(shù)列滿足，則__________，若對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為_____________.
【答案】
【分析】
由可求得的值，令由可得出，兩式作差可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出的值，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，分析數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
可得，
上述兩式作差可得，即，
不滿足，所以，，則.
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，數(shù)列從第二項(xiàng)開始為遞增數(shù)列，
對(duì)任意的，恒成立.
①若為正奇數(shù)，則，，則，可得；
②若為正偶數(shù)，則，可得.
綜上所述，.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式的步驟：
（1）當(dāng)時(shí)，；
（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)可得出，化簡(jiǎn)得出；
（3）如果滿足當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式為；如果不滿足當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式要分段表示為.

13．（2021·山東臨沂市·高三二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，且，．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若從數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成數(shù)列，求．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）由遞推公式，將換成，與原式作差，化簡(jiǎn)，求出，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證明.
（2）先求出的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前100項(xiàng)中，與重合的項(xiàng)，然后再求和即可.
【詳解】
（1）證明：∵，
∴當(dāng)時(shí)，，所以，
∴，又，所以．
當(dāng)時(shí)，，即，
又，∴，適合上式，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，設(shè)的公比為，
又，，∴，∴，
∴．
∴，，，，，
，，，．
∴
．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用遞推關(guān)系證明數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列求和問題，解答本題的關(guān)鍵是應(yīng)用時(shí)，注意的范圍，以及求和時(shí)根據(jù)條件，屬于中檔題.
14．（2021·山東棗莊市·高三二模）已知數(shù)列中，，且.記，求證：
（1）是等比數(shù)列；
（2）的前項(xiàng)和滿足：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）將變形為，并計(jì)算的值，由此根據(jù)定義可證明是等比數(shù)列；
（2）先根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解出，然后根據(jù)并采用裂項(xiàng)相消的方法求解出的前項(xiàng)和，最后分析的前項(xiàng)和并完成證明.
【詳解】
（1）證明：由，得，
又，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，.
于是.


.
因?yàn)?，所?




相關(guān)學(xué)案

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題04 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（解析+原卷）學(xué)案：

這是一份(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題04 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（解析+原卷）學(xué)案，文件包含新高考專用高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題04函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解析版docx、新高考專用高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題04函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用原卷版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共36頁(yè)， 歡迎下載使用。

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題01 函數(shù)的圖象和性質(zhì)（解析+原卷）學(xué)案：

這是一份(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題01 函數(shù)的圖象和性質(zhì)（解析+原卷）學(xué)案，文件包含新高考專用高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題01函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析版docx、新高考專用高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題01函數(shù)的圖象和性質(zhì)原卷版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共25頁(yè)， 歡迎下載使用。

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題16 圓錐曲線中綜合問題（解析+原卷）學(xué)案：

這是一份(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題16 圓錐曲線中綜合問題（解析+原卷）學(xué)案，文件包含新高考專用高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題16圓錐曲線中綜合問題解析版docx、新高考專用高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題16圓錐曲線中綜合問題原卷版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共28頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題15 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)（解析+原卷）學(xué)案

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題15 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)（解析+原卷）學(xué)案
(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題14 直線與圓（解析+原卷）學(xué)案

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題14 直線與圓（解析+原卷）學(xué)案
(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題11 立體幾何中的向量方法（解析+原卷）學(xué)案

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題11 立體幾何中的向量方法（解析+原卷）學(xué)案
(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題08 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（解析+原卷）學(xué)案

(新高考專用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練 專題08 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（解析+原卷）學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部