類型一圓的基本性質(zhì)證明與計算1.如圖，已知⊙O上三點A，B，C，半徑OC＝1，∠ABC＝30°，切線PA交OC延長線于點P，則PA的長為（　?。?/span>A．2 B． C． D．【答案】B【解析】連接OA，因為∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因為PA為切線，所以∠OAP=90°，因為OC=1，所以PA=.2.如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，若PA=3，則PB=         ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? （    ）A．2       B.3         C.4         D.5【答案】B【解析】因為PA和PB與⊙相切，根據(jù)切線長定理，可知： PA=PB=3，故選B．3.如圖，AB是⊙O的直徑，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF與AB交于點C，連接OF，若∠AOF＝40°，則∠F的度數(shù)是（　?。?/span>A．20° B．35° C．40° D．55°【分析】連接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【解答】解：連接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．4.如圖，在中，，以點O為圓心，2為半徑的圓與交于點C，過點C作交于點D，點P是邊上的動點．當最小時，的長為（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】延長CO交于點E，連接EP，交AO于點P，則PC+PD的值最小，利用平行線份線段成比例分別求出CD，PO的長即可．【詳解】延長CO交于點E，連接ED，交AO于點P，如圖，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°,又，∴∠DCB=∠AOB，∴CD//AO∴ ∵OC=2，OB=4，∴BC=2,∴，解得，CD=； ∵CD//AO，∴，即，解得，PO=  故選：B．【點睛】此題主要考查了軸對稱---最短距離問題，同時考查了平行線分線段成比例，掌握軸對稱性質(zhì)和平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．5.如圖，⊙P與x軸交與點A（—5，0），B（1，0），與y軸的正半軸交于點C，若∠ACB＝60°，則點C的縱坐標為  B. C. D. 【答案】D【解析】連接PA、PB、PC,過點P分別作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足為F,E.由題意可知：四邊形PFOE為矩形，∴PE＝OF,PF＝OE.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.∵tan30°＝,cos30°＝，∴PF＝,AP＝.∴OE＝,PC＝.在RT△PEC中，CE＝ ＝，∴OC＝CE＋EO＝＋2.6.如圖，是的直徑，弦，垂足為點．連接，．如果，，那么圖中陰影部分的面積是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是的直徑，弦，由垂徑定理得，再根據(jù)證得，即可證明，即可得出．【詳解】解：是的直徑，弦，，．又在和中，，故選：B【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換，解此題的關鍵是證出，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中．7.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，AD=CD．過點D作DE⊥AB于點E．連接AC交DE于點F．若sin∠CAB=，DF=5，則BC的長為（）A．8   B．10    C．12    D．16【答案】C【解析】連接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB為直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE ?EB，得．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=∴BC=12．8.如圖，AB是的直徑，直線DE與相切于點C，過點A，B分別作，，垂足為點D，E，連接AC，BC．若，，則的長為（     ）．A．         B．         C．         D． 【答案】D【解題過程】連接OC，因為，，            所以             所以             因為AB是的直徑，所以，所以，所以， 在△ADC與△CED, 因為，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因為，所以△AOC是等邊三角形，所以，因為直線DE與 相切于點C，所以，因為，，所以AD//OC，所以，所以，所以，所以△AOC是等邊三角形，所以，，所以的長為．9.如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D．AC與BD相交于點E，CD2=CE·CA,分別延長AB,DC相交于點P，PB=BO，CD=2．則BO的長是_________．【答案】4【解析】【分析】連結(jié)OC，設⊙O的半徑為r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，再利用比例的性質(zhì)可計算出r的值即可．【詳解】解：連結(jié)，如圖，設的半徑為，，，而，，，，，，，，，，，，，，，即，，即OB=4.故答案為：4.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．也考查了圓周角定理．10.如圖，⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，切點分別為E、F、G、H，ED與⊙O相交于點M，則sin∠MFG的值為　　．【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以把求三角函數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的比的問題．【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，∴AE＝AB，EG＝BC；根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得：∠MFG＝∠MEG．∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案為：．【點評】本題考查圓周角的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．11.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于點D，若⊙O的半徑為2，則CD的長為______ .【答案】【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．連接CO并延長交⊙O于E，連接BE，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．連接CO并延長交⊙O于E，連接BE，則∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半徑為2，∴CE=4，∴BC=CE=2，∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案為．12.如圖，在⊙O中，弦AB＝1，點C在AB上移動，連結(jié)OC，過點C作CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的最大值為　   　．【答案】【解析】連接OD，因為CD⊥OC，則有CD=，根據(jù)題意可知圓半徑一定，故當OC最小時則有CD最大，故當OC⊥AB時CD=BC=最大.13.如圖,⊙O的半徑為5,點P在⊙O上,點A在⊙O內(nèi),且AP＝3,過點A作AP的垂線交于⊙O點B、C.設PB＝x,PC＝y,則y與x的函數(shù)表達式為________.【答案】【解析】過點O作OD⊥PC于點D連接OP,OC,因為PC＝y(tǒng),由垂徑定理可得DC＝,因為OP＝OC,所以∠COD＝∠POC,由圓周角定理,∠B＝∠POC,所以∠COD＝∠B,所以△COD∽△PBA,,即,整理可得函數(shù)表達式為:.14.如圖，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分點，連接AC、CE、EB、BD、DA，得到一個五角星圖形和五邊形MNFGH.（1）計算∠CAD的度數(shù)；（2）連接AE，證明：AE=ME；（3）求證：ME2=BM·BE.【解析】解：（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分點，∴∠COD==72°，∴∠CAD=∠COD=36°.同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，∴∠MAE=∠AME=72°，∴AE=ME.（3）連接AB.由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，∴，AN=BM，∴AB·AE=BE·AN，∵AE=ME，∴ME2=BM·BE..15.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，點E在BC邊上，且CA=CE，過A，C，E三點的⊙O交AB于另一點F，作直徑AD，連結(jié)DE并延長交AB于點G，連結(jié)CD，CF．（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形；（2）當BE=4，CD=AB時，求⊙O的直徑長．    【解析】（1）連接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直徑.∵ AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD為⊙O的直徑，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.∵ AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四邊形DCFG為平行四邊形；（2）由CD=AB，可設CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x.∵ ∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.∵ GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴.又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直徑長為3.16.已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4.(1)如圖1，若∠A＝30°，求BC的長；(2)如圖2，若∠A＝45°：①求BC的長；②若點C是的中點，求AB的長；(3)如圖3，若∠A＝135°，求BC的長．                        圖1                   圖2               　　圖3【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【點撥】　連接OB，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，構(gòu)建可解的等腰三角形求解．【解析】　解：(1)連接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形．∴BC＝OB＝4.(2)①連接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.②∵點C是的中點，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8.(3)在優(yōu)弧上任取一點D，連接BD，CD，連接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.17．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E.(1)求證：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．【答案】：(1)證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴＝.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)連接CD.∵＝，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑．∴∠BDC＝90°.∴BC＝＝4.∴△ABC外接圓的半徑為2.18．如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H.(1)如果⊙O的半徑為4，CD＝4，求∠BAC的度數(shù)；(2)若點E為的中點，連接OE，CE.求證：CE平分∠OCD；(3)在(1)的條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點有多少個？并說明理由．【答案】：(1)∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝∠COH＝30°.(2)證明：∵點E是的中點，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.(3)圓周上到直線AC的距離為3的點有2個．因為上的點到直線AC的最大距離為2，上的點到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據(jù)圓的軸對稱性，到直線AC的距離為3的點有2個．19.如圖1,O經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點A,C(圓心O在△ABC內(nèi)),分別與AB,CB的延長線交于點D,E,連接DE,BF⊥EC交AE于點F.(1)求證:BD＝BE;(2)當AF:EF＝3:2,AC＝6時,求AE的長;(3)設＝x,tan∠DAE＝y(tǒng).①求y關于x的函數(shù)表達式;②如圖2,連接OF,OB,若△AEC的面積是△OFB面積的10倍,求y的值.解：(1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.(2)如圖,過點A作AG⊥EC于點G,∵△ABC為等邊三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝;答圖(1)(3)①如圖,過點E作EH⊥AD于點H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;答圖(2)②如圖,過點O作OM⊥EC于點M,設BE＝a,∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面積＝,△AEC的面積＝,∵△OFB的面積是△AEC的面積的10倍,∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.答圖(3) 
 

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