?備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練（全國(guó)通用）
第十四講 一次函數(shù)、二次函數(shù)背景下的存在性問(wèn)題
考點(diǎn)一 等腰三角形存在性 2
考點(diǎn)二 直角三角形存在性 4
考點(diǎn)三 平行四邊形存在性 6
















考點(diǎn)一 等腰三角形存在性

1．如圖1，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與正比例函數(shù)y＝x的圖象交于點(diǎn)C．
（1）求一次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△BCP是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段OD上一點(diǎn)，F(xiàn)是y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠ECF＝45°，連接EF，求△OEF的周長(zhǎng)．

【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)y＝﹣x+3，
∵與函數(shù)y＝x的圖象交于點(diǎn)C，
∴﹣x+3＝x，
∴x＝2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x＝2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)（2，2）．
（2）設(shè)P（0，m），
∵B（0，3），C（2，2）．
∴BC2＝（0﹣2）2+（3﹣2）2＝5，
PC2＝（0﹣2）2+（m﹣2）2＝4+（m﹣2）2，
BP2＝（m﹣3）2，
要使△BCP是等腰三角形，
①BC＝PC，
∴BC2＝PC2，
4+（m﹣2）2＝5，
m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1，
m＝3或m＝1，
當(dāng)m＝3時(shí)與P點(diǎn)重合（舍去），
∴m＝1，
∴P（0，1），
②BC＝BP，
∴BC2＝BP2，
∴（m﹣3）2＝5，
m﹣3＝或m﹣3＝﹣，
∴m＝3+或m＝3﹣，
∴P（0，3+）或P（0，3﹣），
③PC＝BP，
∴PC2＝BP2，
∴4+（m﹣2）2＝（m﹣3）2，
解得m＝，
∴P（0，）．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1）或（0，3+）或（0，3﹣）或（0，）．
（3）過(guò)點(diǎn)C作CP交x軸于點(diǎn)P，使DP＝HF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸，

∵CH⊥y軸，OD⊥y軸，CD⊥x軸，OH⊥x軸，
∴∠CHO＝∠HOD＝∠OPC＝∠PCH＝90°，
∴四邊形HODC為長(zhǎng)方形，
∵C（2，2）．
∴CD＝OD＝2，
∴四邊形HODC為正方形，
∴CH＝CD，
∵在△CHF和△CDP中，∠CHF＝∠CDP＝90°，CH＝CD，HF＝DP，
∴△CHF≌△CDP（SAS），
∴CF＝PC，∠HCF＝∠DCP，
∵∠HCD＝∠HCF+∠FCE+∠ECD＝∠HCF+∠FCD＝90°，
∴∠DCP+∠FCD＝90°，
∴∠HCP＝∠FCD+∠DCP＝90°，
∵∠FCE＝45°，
∴∠ECP＝∠FCP﹣∠FCE＝90°﹣45°＝45°，
在△ECF和△ECP中，∠FCE＝∠ECP，CE＝CE，CF＝CP，
∴△CFE≌△CPE（SAS），
∴EF＝EP，
∵EP＝ED+DP＝ED+HF，設(shè)OE＝m，OF＝n，
∴HF＝OH﹣OF＝2﹣n，ED＝2﹣m+2﹣n＝4﹣m﹣n，
∴△OEF的周長(zhǎng)＝OE+OF+EF
＝m+n+4﹣m﹣n
＝4．
2．如圖所示，一次函數(shù)y＝x+的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，以線段AB為直角邊在第二象限內(nèi)作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．
（1）求△ABC的面積；
（2）如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m，），試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB的面積，并求當(dāng)△APB與△ABC面積相等時(shí)m的值；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有可能的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）在直線y＝中，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，
當(dāng)y＝0時(shí)，＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
∴在Rt△AOB中，AB＝，
又∵在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴設(shè)AC＝a，則BC＝2a，
可得：a2+22＝（2a）2，
解得：a＝±（負(fù)值舍去），
∴AC＝，
∴S△ABC＝，
∴△ABC的面積為；
（2）由題意可得：S四邊形AOPB＝S△AOB+S△BOP，
∵點(diǎn)P在第一象限，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），
∴S四邊形AOPB＝，
S△APB＝S四邊形AOPB﹣S△APO＝，
當(dāng)△APB與△ABC面積相等時(shí)，
，
解得：m＝，
∴四邊形AOPB的面積為，當(dāng)△APB與△ABC面積相等時(shí)m的值為；
（3）存在，理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，
由A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），可得tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°，
如圖：

∴當(dāng)Q點(diǎn)位于A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，等腰△ABQ是等邊三角形，此時(shí)AQ＝AB＝2，
∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)Q點(diǎn)位于A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，等腰△ABQ中，AQ＝AB＝2，
此時(shí)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（﹣3，0）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，

當(dāng)AB＝BQ＝2時(shí)，△ABQ為等腰三角形，
此時(shí)點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（0，+2），點(diǎn)Q4的坐標(biāo)為（0，﹣2），
當(dāng)AB＝AQ＝2時(shí)，△ABQ為等腰三角形，
此時(shí)點(diǎn)Q5的坐標(biāo)為（0，﹣），
當(dāng)AQ＝BQ時(shí)，△ABQ為等腰三角形，
連接AQ6，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則AQ6＝﹣y，
在Rt△AOQ6中，12+y2＝（﹣y）2，
解得：y＝，
∴點(diǎn)Q6的坐標(biāo)為（0，）；
綜上，存在點(diǎn)Q，使△QAB是等腰三角形，點(diǎn)Q1（1，0），Q2（﹣3，0），Q3（0，+2），Q4（0，﹣2），Q5（0，﹣），Q6的坐標(biāo)為（0，）．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，m）是直線y＝﹣x﹣2上一點(diǎn)，點(diǎn)A向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在直線y＝﹣x﹣2上是否存在一點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若一次函數(shù)y＝kx﹣2圖象與線段AB存在公共點(diǎn)D，直接寫(xiě)出k的取值范圍．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，m）是直線y＝﹣x﹣2上一點(diǎn)，
∴m＝﹣1﹣2＝﹣3．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣3），
∴點(diǎn)A向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）存在，
①當(dāng)∠B＝90°時(shí)，如圖，

∵B（1，2），C點(diǎn)在y＝﹣x﹣2上，
∴2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣4，
∴C（﹣4，2），
∴BC＝5，
∵點(diǎn)A向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，
∴AB＝BC＝5，
∴∠CAB＝45°，
②當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，作CG⊥AB于G，

∵∠CAB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴G為AB中點(diǎn)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
∴G（1，﹣0.5）
∵點(diǎn)C在y＝﹣x﹣2上，
∴﹣0.5＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣1.5，
∴C（﹣1.5，﹣0.5）．
綜上，存在一點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形，C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，2）或（﹣1.5，﹣0.5）；

（3）當(dāng)直線y＝kx﹣2過(guò)點(diǎn)A（1，﹣3）時(shí)，
得﹣3＝k﹣2，解得k＝﹣1．
當(dāng)直線y＝kx﹣2過(guò)點(diǎn)B（1，2）時(shí)，
得2＝k﹣2，解得k＝4．

如圖，若一次函數(shù)y＝kx﹣2與線段AB有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是﹣1≤k≤4且k≠0．
4．如圖，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和B，直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C（2，0）．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ?。ī?，0）??；點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ?。?，2）??；
（2）求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M（t，0），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與直線y＝x+2交于點(diǎn)E，與直線y＝kx+b交于點(diǎn)F，若EF＝OB，求t的值．
（4）當(dāng)點(diǎn)M（t，0）在x軸上移動(dòng)時(shí)，是否存在t的值使得△CEF是直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，直接答不存在．

【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝x+2的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和B，
∴令y＝0，則x＝﹣3；令x＝0，則y＝2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
故答案為：（﹣3，0），（0，2）
（2）∵直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C（2，0）．
∴
解得：
∴直線y＝kx+b的表達(dá)式為y＝﹣x+2．
（3）∵M(jìn)E⊥x軸，
∴點(diǎn)M、E、F的橫坐標(biāo)都是t，
∴點(diǎn)E（t，t+2），點(diǎn)F（t，﹣t+2）
∴EF＝|t|，
∵EF＝OB＝2，
∴2＝|t|
∴t＝±
（4）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C左邊時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，
∴∠CEF＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∴t＝﹣3；
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C右邊，且∠ECF＝90°時(shí)，

∵∠ECF＝90°，
∴∠ECM+∠FCM＝90°，且∠ECM+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠FCM，且∠CMF＝∠CME＝90°，
∴△CME∽△FMC，
∴，
∴（t﹣2）2＝（t+2）（t﹣2）
∴t＝2（不合題意舍去），t＝12
綜上所述：t＝﹣3或t＝12時(shí)，△CEF是直角三角形．







考點(diǎn)二 直角三角形存在性

5．在學(xué)習(xí)一元一次不等式與一次函數(shù)中，小明在同一個(gè)坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)直線l1：y1＝kx+b（k≠0）與x軸交于點(diǎn)A且與直線l2：y2＝x交于點(diǎn)B，并且有如下信息：①當(dāng)x＞2時(shí)，y1＜y2；當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2．②當(dāng)y1＜0時(shí)，x＜﹣4．
根據(jù)信息解答下列問(wèn)題：
（1）求直線l1的表達(dá)式．
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線l3：y3＝與直線l2交于點(diǎn)C，求△ABC的面積．
（3）若點(diǎn)D是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵當(dāng)x＞2時(shí)，y1＜y2；當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y2＝×2＝3，
∴直線l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為B（2，3），
∵當(dāng)y1＜0時(shí)，x＜﹣4，
∴直線l1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣4，0），
將A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，
∴，
解得：，
∴直線l1的表達(dá)式為y1＝x+2；
（2）聯(lián)立，
解得：，
∴直線l2，l3的交點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，﹣），
∴S△ABC＝＝9；
（3）存在，
∵點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2），D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），
又∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣），
在以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形中，
①當(dāng)AC，DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
，解得，
∴此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
②當(dāng)AD，CE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
，解得，
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
③當(dāng)AE，CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
，解得，
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣10，0），
綜上，滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣10，0）．
6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)B（6，1）的直線l2與直線l1交于點(diǎn)C（m，﹣5）．
（1）求直線l2的解析式；
（2）若點(diǎn)D是第一象限位于直線l2上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DH∥y軸交l1于點(diǎn)H．當(dāng)DH＝8時(shí)，試在x軸上找一點(diǎn)E，在直線l1上找一點(diǎn)F，使得△DEF的周長(zhǎng)最小，求出周長(zhǎng)的最小值；
（3）如圖2，將直線l2繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l3，點(diǎn)P是直線l3上一點(diǎn)，到y(tǒng)軸的距離為2且位于第一象限．直線l2與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，將△OMN沿射線NM方向平移2個(gè)單位，平移后的△OMN記為△O'M'N'．在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)M′，C，P，Q頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線l1的表達(dá)式得：﹣5＝m+1，解得m＝﹣6，故點(diǎn)C（﹣6，﹣5），
設(shè)直線l2的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，
故直線l2的表達(dá)式為y＝x﹣2；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，t﹣2），則點(diǎn)H（t，t+1），
則DH＝t+1﹣（t﹣2）＝8，解得t＝10，
故點(diǎn)D、H的坐標(biāo)分別為（10，3）、（10，11）；
過(guò)點(diǎn)D作直線l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，

由直線l1的表達(dá)式知，該直線和x坐標(biāo)軸的夾角為45°，連接D′H，
則△D′DH為等腰直角三角形，故D′H＝DH＝8，
故點(diǎn)D′（2，11），
過(guò)點(diǎn)D作x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D″，則點(diǎn)D″（10，﹣3），
連接D″D′交直線l1于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E、F為所求點(diǎn)，此時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最小，
理由：由圖形的對(duì)稱(chēng)性知，DF＝D′F，DE＝D″E，
則△DEF的周長(zhǎng)＝DE+DF+EF＝D″E+D′F+EF＝D″D′為最小，
則D″D′＝＝2；

（3）直線l1：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），
同理可得，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，﹣2），則AN＝1+2＝3＝AN′，
將直線l2繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l3，則∠NAN′＝90°，∠MAM′′＝90°，
則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（3，1），
過(guò)點(diǎn)M′′作M′H⊥y軸于點(diǎn)H，

∵∠M′′AH+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，
∴∠M′′AH＝∠AMO，
∵AM＝AM′′，∠MOA＝∠AHM′′＝90°，
∴△MOA≌△AHM′′（AAS），
∴AH＝OM＝4，HM′′＝AO＝1，
故點(diǎn)M′′（1，5）；
由點(diǎn)M′′、N′的坐標(biāo)得，直線M′′N(xiāo)′的表達(dá)式為y＝﹣2x+7，
∵點(diǎn)P是直線l3上一點(diǎn)，到y(tǒng)軸的距離為2且位于第一象限，
故當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣2x+7＝3，故點(diǎn)P（2，3）；
由直線MN的表達(dá)式知，當(dāng)將△OMN沿射線NM方向平移2個(gè)單位，則向右平移了4個(gè)單位向上平移了2個(gè)單位，
故點(diǎn)M′（8，2），
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），
而點(diǎn)P、C、M′的坐標(biāo)分別為（2，3）、（﹣6，﹣5）、（8，2），
①當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：（2﹣6）＝（a+8）且（3﹣5）＝（b+2），解得；
②當(dāng)PQ為對(duì)角線時(shí)，
同理可得：（a+2）＝（8﹣6）且（b+3）＝（2﹣5），解得；
③當(dāng)PM是對(duì)角線時(shí)，
同理可得：（8+2）＝（a﹣6）且（2+3）＝（b﹣5），解得；
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣12，﹣4）或（0，﹣6）或（16，10）．
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+x+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值；
（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移，點(diǎn)C平移至C′處，且OC′＝OC，動(dòng)點(diǎn)M在平移后拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△C′BM為以C′B為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵A（﹣，0），
∴AO＝|﹣|＝，
∵tan∠ACO＝，
∴CO＝3，
∴C（0，3），
將A、C的坐標(biāo)代入y＝ax2+x+c得，
，
∴，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3；
（2）如答圖1，過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，交BC于F，過(guò)A作AK⊥x軸交BC延長(zhǎng)線于K，

設(shè)直線BC解析式為：y＝kx+b，
由（1）y＝﹣x2+x+3得B（ 3，0），
將B（ 3，0）、C（0，3）分別代入y＝kx+b得：
，解得，
∴直線BC解析式為：y＝﹣x+3，
∵A（﹣，0），故K的橫坐標(biāo)xk＝﹣，代入y＝﹣x+3得yk＝4，
∴K（﹣，4），
∴AK＝4，
設(shè)D（m，﹣m2+m+3），則F（m，﹣m+3），
∴DF＝﹣m2+m，
∵DG⊥x軸于點(diǎn)G，AK⊥x軸，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴＝，
將△BDE、△ABE分別看作DE、AE為底邊，則它們的高相同，
∴，
∴＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝時(shí)，有最大值，最大值為；
（3）如答圖2，連接OC′，過(guò)C′作C′F⊥y軸于F，
由拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+x+3知其頂點(diǎn)為（，4），
∵OC＝3，OB＝3，
∴tan∠BCO＝＝，BC＝6，
∴∠BCO＝60°，
∵OC′＝OC，
∴△COC′是等邊三角形，
∴CC′＝3，BC′＝3，
Rt△CFC′中可得CF＝，C′F＝，
∴原拋物線的平移是相當(dāng)于向右平移個(gè)單位再向下平移個(gè)單位，且FO＝，
∴平移后拋物線頂點(diǎn)為（，），對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝，C′（，），
∵M(jìn)在平移后拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴設(shè)M（，m），
又△C′BM為以C′B為腰的等腰三角形，可分兩種情況：
①C′M＝，C′B＝3，則＝3，
解得m＝或m＝，
∴M（，）或M（，），
②BM＝C′B＝3，則，
解得m＝或m＝﹣，
∴M（，）或M（，﹣），
綜上所述，△C′BM為以C′B為腰的等腰三角形，則M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣），
故答案為：M（，）或M（，）或M（，）或M（，﹣）．

8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣．連接AC，BC，點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PH，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)Q．過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求△PQG周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)B（2，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣x+3．
（2）令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，得C（0，3），
∵直線AC經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b，
則，
∴，
∴直線AC的解析式為y＝x+3，
∴∠BAC＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
設(shè)P（m，﹣m2﹣m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝，
∴當(dāng)m＝時(shí)，PQmax＝，此時(shí)P（﹣，），
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周長(zhǎng)＝﹣m2﹣m+（﹣m2﹣m），
＝（+1）（﹣m2﹣m），
＝（+1）PQ，
∴△PFG周長(zhǎng)的最大值為：（+1）．
（3）∵B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），
由兩點(diǎn)間距離公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，
①當(dāng)CQ＝CB時(shí)，
∴2m2＝13，
∴m1＝（舍去），m2＝﹣，
∴Q1（﹣，﹣+3）；
②當(dāng)BQ＝CB時(shí)，
∴2m2+2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴Q2（﹣1，2）；
③當(dāng)CQ＝BQ時(shí)，
∴2m2+2m+13＝2m2，
∴2m+13＝0，
∴m＝，
∴Q3（﹣，﹣）（不合題意舍去），
綜上所述，當(dāng)Q1（﹣，﹣+3），Q2（﹣1，2）時(shí)，以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．







考點(diǎn)三 平行四邊形存在性
9．已知拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移拋物線L，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，與y軸交于點(diǎn)P，同時(shí)滿足△BPQ是直角三角形，請(qǐng)你寫(xiě)出平移過(guò)程并說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
得．解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）設(shè)平移后的拋物線為K：y＝﹣x2+mx+n，
∵拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），
∴﹣9+3m+n＝0，
∴n＝9﹣3m，
∴y＝﹣x2+mx+9﹣3m，
∴P（0，9﹣3m）；
當(dāng)y＝0時(shí)，由﹣x2+mx+9﹣3m＝0，得x＝，
∴x1＝3，x2＝m﹣3．
如圖1，當(dāng)m﹣3≥0，即m≥3時(shí)，△BPQ不能是直角三角形；
如圖2，當(dāng)m﹣3＜0，即m＜3時(shí)，存在△BPQ是直角三角形，且只有∠BPQ＝90°一種情況.
∵∠POQ＝∠BOP＝90°，∠QPO＝90°﹣∠BPO＝∠PBO，
∴△POQ∽△BOP，
∴，
∴OP2＝OQ?OB，
∴（9﹣3m）2＝3（3﹣m），
∴m1＝，m2＝3（不符合題意，舍去），
∴拋物線K：y＝﹣x2+x+1，
∵拋物線L：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
拋物線K：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+，
∴﹣1＝，﹣4＝﹣，
∴拋物線L向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度．


10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求這個(gè)最大面積；
（3）試探究：是否存在點(diǎn)P，使△PBC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，
故拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3①；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y＝x﹣3，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），則點(diǎn)H（t，t﹣3），
則△PBC的面積＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×（t﹣3﹣t2+2t+3）＝﹣（t﹣）2+≤，
∴當(dāng)t＝時(shí)，△PBC的面積最大值為，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；

（3）∵點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，故∠PBC≠90°，
①當(dāng)∠PCB為直角時(shí)，
由直線BC的表達(dá)式知，直線BC和x軸負(fù)半軸的夾角為45°，
∴當(dāng)∠PCB為直角時(shí)，則直線PC與x軸的夾角為45°，
故直線PC的表達(dá)式為y＝﹣x﹣3②，
聯(lián)立①②得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3，解得x＝0（舍去）或1，
即t＝1，
②當(dāng)∠BPC為直角時(shí)，如圖2，
過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)N，交過(guò)點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)M，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），
∵∠BPM+∠PBM＝90°，∠BPM+∠CPN＝90°，
∴∠PBM＝∠CPN，
∴tan∠PBM＝tan∠CPN，即，
∴＝，解得t＝（不合題意的值已舍去）；
綜上，t的值為1或．
11．如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，1），過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B（3，），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)OP的長(zhǎng)度為m．①當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合）時(shí)，試用含m的代數(shù)式表示線段PM的長(zhǎng)度；
②如果以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求m的值．

【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（0，1）和點(diǎn)B，
∴，
∴解得：，
∴．
∴該拋物線表達(dá)式為．
（2）①由題意可得：直線AB的解析式為，
∵PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，OP＝m，
∴P（m，0），，
∴．
②由題意可得：，MN∥BC，
∴當(dāng)MN＝BC時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形．
1° 當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，，
又∵BC＝，
∴．
得m1＝1，m2＝2．
2° 當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，．
∴，
解得 （不合題意，舍去），．
綜上所述，當(dāng)m的值為1或2或時(shí)，以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
12．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，0），B（5，0），點(diǎn)C在拋物線上，且直線AC與x軸形成的夾角為45°．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值；
（3）將滿足（2）中到直線AC距離最大時(shí)的點(diǎn)P，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，將原拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M為平移后拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，N為平移后拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)C，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，0），B（5，0），
∴y＝﹣（x+2）（x﹣5），
∴y＝﹣x2+3x+10，
（2）作PH⊥AC于H，PD∥y軸交AC于D點(diǎn)，交x軸于E，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PDH＝45°，
∴PD＝，
設(shè)P（m，﹣m2+3m+10），
則E（m，0），
∴AE＝m+2，
∴DE＝m+2，
∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2）
＝﹣m2+2m+8，
當(dāng)m＝1時(shí)，PD最大為9，
∴PH的最大值為，
即P到AC的最大距離為，
（3）由（2）知：P（1，12），
∴Q（1，8），
∵直線AC：y＝x+2與拋物線y＝﹣（x+2）（x﹣5）交點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，6），
拋物線y＝﹣（x+2）（x﹣5）向右平移2個(gè)單位后解析式為：y＝﹣x（x﹣7）＝﹣x2+7x，
∴對(duì)稱(chēng)軸為：直線x＝，
當(dāng)CQ為邊時(shí)，如圖，若C（4，6）平移到N，Q（1，8）平移到M，則M的橫坐標(biāo)為，
將x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
當(dāng)CQ為邊時(shí)，若C（4，6）平移到M，Q（1，8）平移到N，則M的橫坐標(biāo)為，
將x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
當(dāng)CQ為對(duì)角線時(shí)，可看作C平移到N，M平移到Q，
∴M的橫坐標(biāo)為，
將x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
綜上所述：．



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