方法技巧專題20  解三角形學(xué)生篇                  一、解三角形問題知 解三角形題型分析（一） 三角形中的求值問題 1.例題【例1】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b<c，則b＝(    )A．     B．2     C．2     D．3【例2】在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則角（   ）A． B． C． D．【例3】在中，角，，的對邊分別是，，，，，，則的面積為______．【例4】（2017·全國高考真題（理））△ABC的內(nèi)角的對邊分別為, 已知△ABC的面積為．　(1)求;(2)若求△ABC的周長.【例5】如圖，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】（2019·全國高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=（   ）A．6 B．5 C．4 D．3【練習(xí)2】（2018·全國高考真題）△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為________．【練習(xí)3】 在中，已知邊上的中線，且，，成等差數(shù)列，則的長為________.【練習(xí)4】在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于(　　)A．1   B．   C．   D．2【練習(xí)5】已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形ABCD的面積S．【練習(xí)6】 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知ccos B＝(3a－b)cos C．(1)求sin C的值；(2)若c＝2，b－a＝2，求△ABC的面積．（二）三角形中的最值或范圍問題 1.例題【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，則a＋b的取值范圍為________．【例2】已知在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【例3】已知△ABC的外接圓半徑為R，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asinBcosC＋csinC＝，則△ABC面積的最大值為(    )A．　 B．　　C．　 D．【例4】在中，角，，的對邊分別為，，，且，的面積為，則周長的最小值為______. 2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】 設(shè)銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（  ）A． B．C． D．【練習(xí)2】 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，則當(dāng)角B取得最大值時，△ABC的周長為(　　)A．2＋    B．2＋C．3    D．3＋【練習(xí)3】已知的面積為,且滿足，則邊的最小值為_______.【練習(xí)4】在中，，已知邊上的中線，則面積的最大值為__________．（三）解三角形的實際應(yīng)用 必備知識：實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時l與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線l下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)南偏西60°指以正南方向為始邊，轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角方位角從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角1.例題 【例1】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(－1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile的速度追截走私船．此時，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測得CD＝a，同時在C，D兩點(diǎn)分別測得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB.若測得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離． 【例3】某人在點(diǎn)C測得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)100米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為____________米． 2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向北偏西60°方向行駛，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？【練習(xí)2】如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這艘船航行的速度為(　　)A.海里/時   B．34海里/時C.海里/時   D．34海里/時【練習(xí)3】某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點(diǎn)A、B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時間比在B地晚秒．在A地測得該儀器彈至最高點(diǎn)H時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒)                                三、課后1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝(　　)A．  B．C．  D．2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝3，c＝2，bsin A＝acos則b＝(　　)A．1 B.C. D.3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝2，c＝3，tan B＝2tan A，則△ABC的面積為(　　)A．2 B．3C．3 D．43．如圖，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos A等于(　　) A．  B．C．  D．4．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B＝2A，則的取值范圍是(　　)A．(，2)    B．(2，)C．(，)    D．(，4)5．在中，角、、所對的邊分別為，，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是_______.6．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對邊，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，則c的取值范圍為________．7．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c成等比數(shù)列，cos(A－C)－cos B＝，延長BC至點(diǎn)D，若BD＝2，則△ACD面積的最大值為________．8．(2019·高考全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為________．9．若滿足， =3， 恰有一解，則實數(shù)的取值范圍是______．10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且＝，則△ABC面積的最大值為________．11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B．(1)求角B；(2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面積．12．已知中，角的對邊分別為，若 ?（Ⅰ）求；（Ⅱ）若 ，求面積的最大值。13．在 中，分 別 為 角的 對 邊 ，且.（1）求角；（2）若，求的最大值.14．某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才能追趕上該走私船？(參考數(shù)據(jù)：若sin θ＝，當(dāng)θ是銳角時，其近似值為38°13′) 15．如圖，某大型廠區(qū)有三個值班室，值班室在值班室的正北方向千米處，值班室在值班室的正東方向千米處．（1）保安甲沿從值班室出發(fā)行至點(diǎn)處，此時，求的距離；（2）保安甲沿從值班室出發(fā)前往值班室，保安乙沿從值班室出發(fā)前往值班室，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為千米/小時，乙的速度為千米/小時，若甲乙兩人通過對講機(jī)聯(lián)系，對講機(jī)在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為千米（含千米），試問有多長時間兩人不能通話？  

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