方法技巧專題23 期望、方差及正態(tài)分布的實際應用-2022年高考數學滿分之路方法技巧篇

? 方法技巧專題23 期望、方差及正態(tài)分布的實際應用
解析篇
一、 期望、方差及正態(tài)分布




期望與方差的實際應用
1、離散型隨機變量的期望：
（1）若離散型隨機變量的概率分布為



---

---



---

---
則稱為的數學期望（平均值、均值）簡稱為期望。
① 期望反映了離散型隨機變量的平均水平；② 是一個實數，由的分布列唯一確定；
③ 隨機變量是可變的，可取不同值； ④ 是不變的，它描述取值的平均狀態(tài).
（2）期望的性質：
①
②
③ 若，則
2．離散型隨機變量的方差
（1）離散型隨機變量的方差：設離散型隨機變量可能取的值為 且這些值的概率分別為，則稱……為 的方差。
① 反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動；
② 反映隨機變量取值的集中與離散的程度；
③ 是一個實數，由的分布列唯一確定；
④ 越小，取值越集中，越大，取值越分散；
⑤ 的算術平均數叫做隨機變量的標準差，記作.
（2）方差的性質：
①
②
③ 若，則
④
3、在實際中經常用期望來比較兩個類似事件的水平，當水平相近時，再用方差比較兩個類似事件的穩(wěn)定程度。


1.例題
【例1】（產品檢驗問題）已知：甲盒子內有3個正品元件和4個次品元件，乙盒子內有5個正品元件和4
個次品元件，現(xiàn)從兩個盒子內各取出2個元件，試求:
（Ⅰ）取得的4個元件均為正品的概率；
（Ⅱ）取得正品元件個數的數學期望.
【解析】（I）從甲盒中取兩個正品的概率為P（A）=
從乙盒中取兩個正品的概率為P（B）=
∵A與B是獨立事件 ∴P（A·B）=P（A）·P（B）=
（II）的分布列為

0
1
2
3

4
P






【例2】（比賽問題）A、B兩隊進行籃球決賽，共五局比賽，先勝三局者奪冠，且比賽結束。根據以往成績，每場中A隊勝的概率為，設各場比賽的勝負相互獨立.
（1）求A隊奪冠的概率；
（2）設隨機變量ξ表示比賽結束時的場數，求Eξ.
【解析】（1）A隊連勝3場的概率為，
打4場勝3場的概率為，
打5場勝3場的概率為
又以上事件是互斥的，
∴A隊獲勝的概率為P=P1+P2+P3=
（2），（A隊連勝3場或B隊連勝3場），
；
；

【例3】（射擊，投籃問題）甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，
若有人投中即停止投籃，結束游戲，已知甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為求：
（1）乙投籃次數不超過1次的概率；
1.3.5
（2）記甲、乙兩人投籃次數和為ξ，求ξ的分布列和數學期望.
【解析】記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事件B。
解法一“乙投籃次數不超過1次”包括三種情況：一種是甲第1次投籃投中，另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中，
所求的概率是P = P（A+
=


解法二：“乙投籃次數不超過1次”的對立事件是“乙投籃2次”，所以，所求的概率是
=
（2）甲、乙投籃總次數ξ的取值1，2，3，4，
1.3.5


甲、 乙投籃次數總和ξ的分布列為：
ξ
1
2
3
4





甲、乙投籃總次數ξ的數學期望為
【例4】（選題，選課，做題，考試問題）甲乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92。求：
（1）求該題被乙獨立解出的概率。
（2）求解出該題的人數ξ的數學期望和方差。
【解析】（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.
設甲獨立解出此題的概率為P1，乙獨立解出此題的概率為P2.
則P（A）=P1=0.6，P（B）=P2
P（A+B）=1－P（）
=1－(1－P1)(1－P2)=P1+P2－P1+P2=0.92
∴0.6+P2－0.6P2=0.92
則 0.4P2=0.32即P2=0.8.
（2）P（ξ=0）=P（）·P（）=0.4×0.2=0.08
P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44
P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48
ξ的概率分布為：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4
∴解出該題的人數ξ的數學期望為1.4，方差為0.4。
【例5】（試驗，游戲，競賽，研究性問題）某家具城進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費滿1000元，便可以獲得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，若中獎，則家具城返還顧客現(xiàn)金1000元，某顧客購買一張價格為3400元的餐桌，得到3張獎券，設該顧客購買餐桌的實際支出為ξ元.
（I）求ξ的所有可能取值；
（II）求ξ的分布列；
（III）求ξ的期望Eξ.
【解析】解法一（I）ξ的所有可能取值為3400，2400，1400，400
（II）

ξ的分布列為：
ξ
3400
2400
1400
400






（III）
解法二 設該顧客中獎獎券η張，則
（II）

（III）


所以η的數學期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5

2.鞏固提升綜合練習
【練習1】（旅游，交通問題）春節(jié)期間，小王用私家車送4位朋友到三個旅游景點去游玩，每位朋友在每一個景點下車的概率均為，用表示4位朋友在第三個景點下車的人數，求：
（Ⅰ）隨機變量的分布列；
（Ⅱ）隨機變量的期望.
【解析】解法一：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4，
由等可能性事件的概率公式得


從而的分布列為

0
1
2
3
4
P





（II）由（I）得的期望為

解法二：（I）考察一位朋友是否在第三個景點下車為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.

解法三：（II）由對稱性與等可能性，在三個景點任意一個景點下車的人數同分布，故期望值相等。

【練習2】1,3,5
（摸球問題）甲盒有標號分別為1、2、3的3個紅球；乙盒有標號分別為1、2…、n（n≥2）的n個黑球，從甲、乙兩盒中各抽取一個小球，抽取的標號恰好分別為1和n的概率為
（1）求n的值；
（2）現(xiàn)從甲、乙兩盒各隨機抽取1個小球，抽得紅球的得分為其標號數；抽得黑球，若標號數為奇數，
則得分為1，若標號數為偶數，則得分為零，設被抽取的2個小球得分之和為，求的數學期望E.
【解析】（1）由得n=4
1 2 3 4
1 2 3
（2） 甲盒 乙盒


是被抽取的2個小球得分之和
則有P（=1）= ，P（=2）=
P（=3）=，P（=4）=

1
2
3
4
P





的分布列為：




∴E=
【練習3】（摸卡片，數字問題）在一個盒子里放有6張卡片，上面標有數字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)在從盒子里每次任意取出一張卡片，取兩片.
（I）若每次取出后不再放回，求取到的兩張卡片上數字之積大于12的概率；
（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中，得到的兩張卡片上的最大數字的期望值
是否相等？請說明理由.
【解析】（I）取到的兩張卡片上數字之積大于12的事件為3，4，5，6四個數中取出兩個，且應除去3，4兩個數字。
故所求事件概率.
（II）若每次取出后不再放回，則得到的兩張卡片上的數字中最大數字隨機變量ξ，ξ=2，3，4，5，6.

若每次取出后再放回，則得到的兩張卡片上的數字中最大數字是隨機變量，η，
η=1，2，3，4，5，6.

∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回這兩種取法中，得到的兩張卡上的數字中最大數字的期望值不相等.
【練習4】（入座問題）編號1，2，3的三位學生隨意入坐編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一
個座位，設與座位編號相同的學生的個數是.
（1）求隨機變量的概率分布；
（2）求隨機變量的數學期望和方差.
【解析】
0
1
2
3
P


0


（Ⅰ）
∴概率分布列為：



（Ⅱ）

【練習5】
（信息問題）如圖，A、B兩點由5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內能通過的最大信息量依次為2，3，4，3，2，現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內都通過的最大信息總量為.
（Ⅰ）寫出最大信息總量的分布列；
（Ⅱ）求最大信息總量的數學期望.
【解析】（1）由已知，的取值為7，8，9，10.


的概率分布列為

7
8
9
10
P





（2）
【練習6】（路線問題）如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進. 現(xiàn)在投擲一個質地均勻、每個面上標有一個數字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數字. 質點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數字是1，質點P前進一步（如由A到B）；當正方體上底面出現(xiàn)的數字是2，質點P前兩步（如由A到C），當正方體上底面出現(xiàn)的數字是3，質點P前進三步（如由A到D）. 在質點P轉一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止.
（I）求點P恰好返回到A點的概率；
（II）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果中，用隨機變量ξ表示點P恰能返回到A點的投擲次數，
C
D
A
B
求ξ的數學期望.






【解析】（I）投擲一次正方體玩具，上底面每個數字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為
因為只投擲一次不可能返回到A點；
若投擲兩次點P就恰好能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的兩個數字應依次為：
（1，3）、（3，1）、（2，2）三種結果，其概率為
若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的三個數字應依次為：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三種結果，其概率為
若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數字應依次為：（1，1，1，1）
其概率為
所以，點P恰好返回到A點的概率為
（II）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果共有以上問題中的7種，
因為，
所以，Eξ=2·+3·+4·=


正態(tài)分布的實際應用



1.例題
【例1】假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態(tài)分布的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為，則的值為（ ）
(參考數據：若，則； ；.)
A．0.9544 B．0.6826 C．0.9974 D．0.9772
【答案】D
【解析】由于隨機變量X服從正態(tài)分布，故有μ=800，σ=50，則.由正態(tài)分布的對稱性，可得
.
【例2】設隨機變量X~N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個
點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是（ ）
（注：若X~N(μ,σ2)，則Pμ-σ