2022高考二輪解析幾何黃金選填題專項(xiàng)測(cè)試（10）——拋物線焦點(diǎn)弦 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（2020·廣西南寧市·南寧三中）已知AB是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，|AB|=16，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（    ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義，得到，求得，進(jìn)而求得點(diǎn)C的橫坐標(biāo).【詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)?/span>是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，且，根據(jù)拋物線的定義，可得，又由，所以，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是.2．（2022·北京東城區(qū)·高三期末）已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)A到y軸的距離為（    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得出，再由焦半徑公式表示出，得到，結(jié)合這兩個(gè)關(guān)系式可求解【詳解】已知焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，得，可得設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得：，①，又，，②，根據(jù)①②解得點(diǎn)A到y軸的距離為3．（2022·上海高三專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，、是拋物線上的不同兩點(diǎn)，則下列條件中與“、、三點(diǎn)共線”等價(jià)的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將韋達(dá)定理逐一代入各選項(xiàng)中的等式，求出的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若、、三點(diǎn)共線，則.對(duì)于A選項(xiàng)，，解得；對(duì)于B選項(xiàng)，，解得；對(duì)于C選項(xiàng)，，整理得，即，解得；對(duì)于D選項(xiàng)，，整理得，解得或.4．（2022·貴州安順市·）斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，則的值為（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】將直線的方程和拋物線的方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程， 將用，表示出來，再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可．【詳解】由得，．可得直線方程為，聯(lián)立，消去得．設(shè)，，，，則，．又，，所以．故．5．（2020·寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于?兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)?的坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及焦半徑公式，結(jié)合題中條件，列出方程求解，即可得出直線斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)?的坐標(biāo)分別為，，由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程.消去后整理為，有，由拋物線的性質(zhì)，有，可得，解得，有，解得，故直線的方程為.6．（2020·長(zhǎng)沙市·湖南師大附中）過拋物線焦點(diǎn)F的直線，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，，則 （    ）A．-4 B．4 C．4 D．-4【答案】A【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出【詳解】設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去化為，所以，所以，所以，7．（2020·福建高三其他模擬）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B在C上，若，，則直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出準(zhǔn)線，過作，垂直于準(zhǔn)線，垂足分別為，利用，，在直角梯形中可求得的斜率．【詳解】如圖，l為拋物線的準(zhǔn)線，分別過點(diǎn)A，B作垂線垂直l于，，由拋物線的定義可知，，.所以.過A作垂直于H，在中，，，所以，，由對(duì)稱可知也滿足題意，點(diǎn)A，B其他情形亦同法可得該結(jié)果，8．（2020·山西太原市·太原五中高三）已知拋物線C方程為，F為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線l的方程為：，，與拋物線聯(lián)立求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線方程，得到的坐標(biāo)，即可得到的表達(dá)式，然后根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】因?yàn)閽佄锞€C方程為，所以其焦點(diǎn)為，所以可設(shè)直線l的方程為：，，（斜率不存在的直線顯然不符合題意），聯(lián)立拋物線方程可得，，所以，又，所以拋物線在A處的切線方程為：，即，令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的取值范圍為．二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全對(duì)得5分，對(duì)而不全得3分，否則得0分）． 9．（2020·河北石家莊市·高三月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)S，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)T，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】是拋物線的準(zhǔn)線，作于，作于，與軸交于點(diǎn)，則軸，拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，由平行線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義可求得上各線段長(zhǎng)，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】如圖，是拋物線的準(zhǔn)線，作于，作于，與軸交于點(diǎn)，則軸，拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，由拋物線方程知，即，∵，∴，，即，∴，設(shè)，則，在直角梯形中，，即，解得，又，∴，∴，又，∴，∴．10．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷A，根據(jù)焦點(diǎn)弦性質(zhì)判斷B，由向量共線與焦點(diǎn)弦性質(zhì)判斷C，利用拋物線定義把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷D．【詳解】易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，過焦點(diǎn)時(shí)，，選項(xiàng)B正確；若，則過點(diǎn)，則的最小值即拋物線通經(jīng)的長(zhǎng)，為，即，選項(xiàng)C正確，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)，，分別做準(zhǔn)線的垂直線，，，垂足分別為，，，所以，.所以，所以線段，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，選項(xiàng)D正確．11．（2020·長(zhǎng)沙市·湖南師大附中）已知拋物線：的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，過的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．的最小值為16C．四邊形的面積的最小值為64 D．若直線的斜率為2，則【答案】ABD【分析】由準(zhǔn)線的概念可得，設(shè)直線的斜率為得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理得，由拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，直線斜率為，同理可得，利用基本不等式可判斷B，C，計(jì)算，代入可判斷D．【詳解】由題可知，所以，故A正確.設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.設(shè)，，，，直線：，直線：.聯(lián)立，消去整理得，所以，.所以.同理，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確.因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤.，將，與，代入上式，得，所以，故D正確.【點(diǎn)睛】拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，若，，則：（1），；（2）若點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，則，，弦長(zhǎng)，（為直線的傾斜角）；（3）；（4）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（5）以或為直徑的圓與軸相切.12．（2020·安徽馬鞍山市·馬鞍山二中）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（   ）A．以線段為直徑的圓與直線軸相離             B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時(shí)，                      D．的最小值為【答案】CD【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)、、在準(zhǔn)線上的射影為、、，由拋物線的定義和中位線定理、直線和圓的位置關(guān)系，可判斷A選項(xiàng)的正誤；設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以線段為直徑的圓的半徑長(zhǎng)，以及圓心到軸的距離，比較和的大小關(guān)系可得出結(jié)論，進(jìn)而可判斷B選項(xiàng)的正誤；由B選項(xiàng)知，根據(jù)知，結(jié)合韋達(dá)定理求得的值，可判斷C選項(xiàng)的正誤；由可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)、、在準(zhǔn)線上的射影為、、，由，， ，可知以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，與直線軸相交，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，，則，則，所以，以為直徑的圓的半徑為，設(shè)，則，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，以線段為直徑的圓不一定與軸相切，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，，，則，，則，所以，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故D正確.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）13．（2020·山東濟(jì)南市·高三）過拋物線的焦點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于點(diǎn)(點(diǎn)于第一象限)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則直線的斜率為___________.【答案】【分析】過作于（是準(zhǔn)線），可得，與直線傾斜角相等，求出即可得結(jié)論．【詳解】如圖，作于（是準(zhǔn)線），則，由題意，∴，，由知軸，與直線傾斜角相等，∴的斜率為．14．（2020·四川高三其他模擬）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線相交于，點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).則的值為______.【答案】2【分析】先寫出過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程，然后與拋物線方程聯(lián)立成方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得到線段的垂直平分線方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，于是就得到的值，即可得結(jié)果.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線為，設(shè)，線段為，由，得，所以，所以線段的垂直平分線方程為，令，得，所以，所以，所以，15．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則 __________．【答案】【分析】根據(jù)題意，直線設(shè)為，然后，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，進(jìn)而求出，，再利用拋物線的性質(zhì)求解即可【詳解】由題意知，經(jīng)過點(diǎn)的直線要滿足，所以，該直線的斜率必存在，且該直線必不平行于軸，設(shè)為，且，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，，，，，聯(lián)立方程得，，消去，可得，，又由，可得，由拋物線方程得，，，16．（2020·福建廈門市·廈門雙十中學(xué)）過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為60°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，則p＝________．【答案】1【分析】利用拋物線的性質(zhì)，得到|AF|＝3|BF|，進(jìn)而得到|AB|＝|AF|＋|BF|＝，最后，聯(lián)立方程和|AB|＝x1＋x2＋p＝，利用韋達(dá)定理消參，進(jìn)而求出即可【詳解】過點(diǎn)A，B向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為C，D，過點(diǎn)B向AC作垂線，垂足為E，∵A，B兩點(diǎn)在拋物線上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，∵直線AB的傾斜角為60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.設(shè)直線AB的方程為y＝，代入y2＝2px，得3x2－5px＋＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1。

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