專項(xiàng)測(cè)試（9）拋物線方程—2022高考二輪復(fù)習(xí)黃金選填題（解析幾何篇）

這是一份專項(xiàng)測(cè)試（9）拋物線方程—2022高考二輪復(fù)習(xí)黃金選填題（解析幾何篇）
2022高考二輪解析幾何黃金選填題專項(xiàng)測(cè)試（9）——拋物線方程 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（2020·廣東高三月考）已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】設(shè)，由題意有且直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，即可求，進(jìn)而得到拋物線準(zhǔn)線方程. 【詳解】由拋物線方程知：焦點(diǎn)為，即，∴設(shè)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴， 聯(lián)立直線、拋物線方程得：，有，∴綜上有：，故拋物線準(zhǔn)線方程為， 2．（2022·云南昆明市·昆明一中）已知拋物線y2＝2px(p＞0)，點(diǎn)C(－4，0)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若△CAB的面積為24，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 【答案】D 【分析】根據(jù)AB⊥x軸，且AB過(guò)點(diǎn)F，易知|AB|＝2p，再由S△CAB＝×2p×求解即可. 【詳解】因?yàn)锳B⊥x軸，且AB過(guò)點(diǎn)F，所以AB是焦點(diǎn)弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p× 解得p＝4或－12(舍)，所以拋物線方程為y2＝8x，所以直線AB的方程為x＝2，所以以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x. 3．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若|，則此拋物線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，可得，聯(lián)立直線與拋物線可得，求出即得拋物線方程. 【詳解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N， 則|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，設(shè)|BF|=x，則2x+x+3=6，則x=1， 而，由直線AB：，代入拋物線的方程可得， ，即有，故： ， 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： . 4．（2020·福建高三其他模擬）拋物線焦點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)作直線垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，恰好為等腰直角三角形，其面積為，則拋物線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)拋物線的定義可知，若恰好為等腰直角三角形，則，根據(jù)的面積為可求得的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程便可得到的值. 【詳解】根據(jù)拋物線的定義，得，又恰好為等腰直角三角形，所以，∴，∴， ∴，將其代入，得，解得 ∴拋物線方程為. 5．（2020·山西太原市·太原五中高三）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】將轉(zhuǎn)化為，分類討論和兩種情況，利用拋物線性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程求解即可. 【詳解】將轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以拋物線方程為，即；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為，即.所以拋物線的方程為或 6．（2020·山西大同市·大同一中高三）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)(在第一象限)，，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】畫(huà)出圖形，利用拋物線定義可判斷三角形是正三角形，結(jié)合已知條件求出，結(jié)合在上的射影是是中點(diǎn)，然后求解拋物線方程． 【詳解】由題意如圖，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)在第一象限），可知，， ，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，所以，則三角形是正三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以是的中點(diǎn)，所以，， ，所以，則，由三角形是正三角形可知在上的射影是是中點(diǎn)，所以，則，可得，所以拋物線方程為：． 7．（2020·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的方程為（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知以線段為直徑的圓與軸相切，利用焦半徑公式和幾何關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程求. 【詳解】設(shè)，，由條件可知，即，并且線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)是，所以以線段為直徑的圓與軸相切，切點(diǎn)坐標(biāo)，所以，即， 代入拋物線方程，整理為，解得：或，即拋物線方程是或. 8．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線 ()的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,過(guò)焦點(diǎn)的直線分別交拋物線于兩點(diǎn),分別過(guò)作的垂線,垂足為.若,且三角形的面積為,則的值為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根據(jù)線條長(zhǎng)度關(guān)系解除A、B點(diǎn)橫坐標(biāo)（用表示），然后利用三角形面積公式列出一個(gè)關(guān)于的方程，解出即可. 【詳解】過(guò)點(diǎn)B作交直線AC于點(diǎn)M，交軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，由得，即……①，又因?yàn)?所以,所以，所以……②，由①②可解得， 在中，，，所以， 所以,解得或（舍去）， 二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全對(duì)得5分，對(duì)而不全得3分，否則得0分）． 9．（2020·山東高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q．若拋物線C上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于3．則下列說(shuō)法正確的是（ ） A．拋物線的方程是 B．拋物線的準(zhǔn)線是 C．的最小值是 D．線段AB的最小值是6 【答案】BC 【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得p，進(jìn)而得到拋物線方程和準(zhǔn)線方程；求得，設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得線段AB的最小值，可得圓Q的半徑，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求的最小值. 【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，得拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，可得，解得，則拋物線的方程為，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤，B正確；由題知直線的斜率存在，，設(shè)，，直線的方程為， 由，消去得，所以，， 所以，所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為， ，故線段AB的最小值是4，即D錯(cuò)誤； 所以圓Q的半徑為，在等腰中，， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，即C正確， 10．（2020·蕉嶺縣蕉嶺中學(xué)高三）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則（ ） A．|BF|＝3 B．△ABF是等邊三角形 C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線C的方程為y2＝6x 【答案】BCD 【分析】根據(jù)題意，作出示意圖，結(jié)合拋物線的定義，焦半徑公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可容易判斷選擇. 【詳解】根據(jù)題意，作圖如下： 因?yàn)閨FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，所以，又，所以為等邊三角形，B正確；∠ABD＝90°，，過(guò)F作FC⊥AB交于C，則C為AB的中點(diǎn)，C的橫坐標(biāo)為，B的橫坐標(biāo)為， 所以A的橫坐標(biāo)為，，，所以A不正確，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以C正確；拋物線的方程為：y2＝6x，所以D正確. 11．（2020·山東高三其他模擬）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ） A．拋物線的方程為 B．的最小值為6 C．存在直線，使得、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱 D．當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切 【答案】BD 【分析】根據(jù)得到故，錯(cuò)誤，，正確，計(jì)算中點(diǎn)在拋物線上，錯(cuò)誤，計(jì)算，正確，得到答案. 【詳解】，故，，故，錯(cuò)誤；過(guò)作垂直于準(zhǔn)線于，則，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故正確；設(shè)，，設(shè)中點(diǎn)則，，相減得到，即，故，故，點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，錯(cuò)誤；如圖所示：為中點(diǎn)，故，故為直徑的圓與軸相切，故正確； 12．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)是16，的中點(diǎn)到軸的距離是6，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）． A．拋物線的方程是 B．拋物線的準(zhǔn)線方程是 C．直線的方程是 D．的面積是 【答案】AD 【分析】根據(jù)已知可得橫坐標(biāo)和，再由焦半徑公式，求出，判斷選項(xiàng)A；求出拋物線的準(zhǔn)線方程，判斷選項(xiàng)B；設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)得到關(guān)系，進(jìn)而求出的值，建立的方程求解，可判斷選項(xiàng)C；利用利用關(guān)系，即可求解，判斷選項(xiàng)D. 【詳解】設(shè)，，根據(jù)拋物線的定義可知，又的中點(diǎn)到軸的距離為6，∴，∴，∴．∴所求拋物線的方程為．故A項(xiàng)正確；拋物線的準(zhǔn)線方程是，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)直線的方程是，聯(lián)立， 消去得，則，所以，解得， 故直線的方程是或．故C項(xiàng)錯(cuò)誤； ．故D項(xiàng)正確． 三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上） 13．（2020·河南周口市·高三）已知拋物線：（），以為圓心，半徑為5的圓與拋物線交于，兩點(diǎn)，若（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則______. 【答案】8 【分析】在中，利用余弦定理求得，進(jìn)而得到，然后由，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入拋物線方程求解. 【詳解】如圖所示： 在中，，，，由余弦定理得， 所以，所以，代入方程，解得. 14．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為_(kāi)_______． 【答案】 【分析】由為等邊三角形知，可得PM垂直于準(zhǔn)線，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)可得M坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得答案. 【詳解】因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由拋物線的定義可得PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)，則點(diǎn)，因?yàn)榻裹c(diǎn)，是等邊三角形，所以，解得，所以拋物線方程為. 15．（2020·江蘇徐州市·高三期中）某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示），已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為_(kāi)______． 【答案】 【分析】在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在軸上，根據(jù)題意求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)果. 【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在軸上， 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，所以，，解得，所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為. 16．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線：()的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于、兩點(diǎn)，若，的面積為，則_______. 【答案】 【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出，，由點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離寫(xiě)出△ABD的面積，從而求出p的值． 【詳解】∵，∴， 又∵，∴，，∴到準(zhǔn)線的距離， ∴，解得.