專項測試（6）雙曲線方程與漸近線方程—2022高考二輪解析幾何黃金選填題（解析幾何篇）專項測試

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2022高考二輪解析幾何黃金選填題專項測試（6）—雙曲線方程與漸近線方程 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（2022·河南鄭州高三）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為雙曲線C的漸近線過點，所以雙曲線C的漸近線為，設雙曲線的方程為，又因為雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，所以，解得，所以雙曲線的方程為.2．（2022·山東淄博高三）已知為雙曲線的右頂點，為雙曲線右支上一點，若點關于雙曲線中心的對稱點為，設直線，的傾斜角分別為，且，則雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，.因為，，則，所以.又，所以.所以.所以.所以.所以雙曲線的漸近線方程為.3．（2020·河北唐山高三）設F為雙曲線E：的右焦點，過E的右頂點作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點，O為坐標原點，四邊形OAFB為菱形，圓x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)與E在第一象限的交點是P，且|PF|＝－1，則雙曲線E的方程是（    ）A．－＝1 B．－＝1C．－y2＝1 D．x2－＝1【答案】D【詳解】雙曲線E：的漸近線方程為，因為四邊形OAFB為菱形，所以對角線互相垂直平分，所以c＝2a，所以.則有解得P.因為|PF|＝－1，所以，解得a＝1，則b＝，故雙曲線E的方程為x2－＝1.4．（2022·全國高三專題練習）已知雙曲線的離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】雙曲線的離心率為 ，在橢圓中，由于，則，所以焦點在軸上，所以橢圓的離心率為，由條件可得解得：，所以雙曲線的漸近線方程為：。5．（2022·天津濱海新區(qū)·高三期末）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A且離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為到其焦點的距離為5，故，故，故拋物線的方程為，故.因為離心率為，故，故，根據(jù)拋物線和雙曲線的對稱性，不妨設在第一象限，則，則與漸近線垂直，故，故，故，故雙曲線方程為：.6．（2022·全國高三專題練習），是雙曲線的左、右焦點，過左焦點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，其中是雙曲線的漸近線方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以設，所以，所以，所以為直角三角形，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以且，所以，所以，所以漸近線方程為，7．（2022·天津高三期末）已知拋物線的焦點與雙曲線（，）的一個焦點重合，且點到雙曲線的漸近線的距離為4，則雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，拋物線可化為，可得焦點坐標為，即雙曲線的焦點坐標為，即，又由雙曲線的一條漸近線的方程為，即，所以焦點到的距離為，所以，又由，所以雙曲線的方程為.8．（2020·河南高三月考）已知為雙曲線的右頂點，為雙曲線右支上一點，若點關于雙曲線中心的對稱點為，設直線、的傾斜角分別為、，且，則雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，則，因為，所以，即，，，因為，所以，因為，所以，即，，，故雙曲線的漸近線方程為。二、不定項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全對得5分，對而不全得3分，否則得0分）． 9．（2020·全國高三專題練習）已知雙曲線過點且漸近線方程為，則下列結論正確的是（    ）A．的方程為 B．的離心率為C．曲線經(jīng)過的一個焦點 D．直線與有兩個公共點【答案】AC【詳解】對于A：由雙曲線的漸近線方程為，可設雙曲線方程為，把點代入，得，即．雙曲線的方程為，故正確；對于B：由，，得，雙曲線的離心率為，故錯誤；對于C：取，得，，曲線過定點，故正確；對于D：雙曲線的漸近線，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與有1個公共點，故不正確．10．（2020·江蘇南通市·海安縣實驗中學）己知雙曲線的一條漸近線過點，點為雙曲線的右焦點，則下列結論正確的是（    ）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的方程為D．設為坐標原點，若，則的面積為【答案】ABC【詳解】對于A. 雙曲線的一條漸近線過點，所以漸近線方程為，所以，所以，故A正確.對于B. 雙曲線的一條漸近線過點，所以漸近線方程為，即，故B正確.對于C. 若點到雙曲線的漸近線的距離為，則，根據(jù)A：可得，，所以雙曲線的方程為，故C正確.對于D. 若，則，所以，故D不正確.11．（2020·江蘇蘇州市·高三月考）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線過點，則下列結論正確的是（    ）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線與雙曲線有相同的漸近線C．若到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為D．若直線與漸近線圍成的三角形面積為則焦距為【答案】BCD【詳解】漸近線的方程為，因為一條漸近線過點，故即，故離心率為，故A錯誤.又漸近線的方程為，而雙曲線的漸近線的方程為，故B正確.，若到漸近線的距離為2，則，故，所以雙曲線的方程為，故C正確.直線與漸近線的兩個交點的坐標分別為：及，故即，而，故，，所以，所以，故焦距為，故D正確.12．（2020·全國高三專題練習）已知雙曲線的離心率等于，過的右焦點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若以為直徑的圓過點(為坐標原點)，則下列說法正確的是（    ）A．雙曲線的漸近線方程為 B．直線的傾斜角為C．圓的面積等于 D．與的面積之比為【答案】ACD【詳解】根據(jù)題意可得，，解得，所以雙曲線的方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，故選項A正確；因為以為直徑的圓過點，所以，根據(jù)（1）漸近線為，可得漸近線傾斜角，易知，所以，所以直線的傾斜角為或，故選項B錯誤；根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設直線的傾斜角為，由可得直線的方程為，分別與漸近線方程和聯(lián)立，解得或，則，，此時，故圓的半徑，其面積，故選項C正確；因為為與的公共邊，所以與的面積之比等于，故選項D正確.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）13．（2020·上海長寧區(qū)·高三一模）設為雙曲線的右焦點，為坐標原點，?是以為直徑的圓與雙曲線漸近線的兩個交點.若，則___________.【答案】【詳解】由已知可得，又點在漸近線 上，，又，14．（2020·全國高三專題練習）設點?分別是雙曲線：()的左?右焦點，過點且與軸垂直的直線與雙曲線交于?兩點.若的面積為，則該雙曲線的漸近線方程為_____.【答案】【詳解】設，則?，，則，則，，故該雙曲線的漸近線方程為.15．（2020·陜西高三）設點、分別是雙曲線：()的左、右焦點，過點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點.若的面積為，則該雙曲線的漸近線方程為_______.【答案】【詳解】設，，將代入可得：，即，所以、，，則，則，又因為，解得：，所以，故該雙曲線的漸近線方程為.16．（2020·全國高三專題練習）過雙曲線 (a＞0，b＞0)的左焦點F1作圓x2＋y2＝a2的切線交雙曲線的右支于點P，且切點為T，已知O為坐標原點，M為線段PF1的中點(點M在切點T的右側)，若的周長為4a，則雙曲線的漸近線方程為________．【答案】y＝±x【詳解】連接OT，則OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝＝b.設雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，所以OM＝PF2，所以|MO|－|MT|＝|PF2|－＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a.又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a，故|MO|＝，|MT|＝，在中， 由勾股定理可得a2＋＝，，所以漸近線方程為y＝±x.