必刷卷01-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中仿真必刷模擬卷（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中仿真必刷模擬卷【人教A版2019】
期中檢測卷01
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共22題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知復(fù)平面內(nèi)，（2﹣i）z對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸的正半軸上，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義的應(yīng)用求出該點(diǎn)所表示的位置．
【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），
所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，
由于對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的正半軸上，
所以，
即，
所以a＜0，b＞0．
故該點(diǎn)在第二象限．
故選：B．
【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

2.平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個三等分點(diǎn)（靠近B），則＝（　　）
A． B． C． D．

【答案】D
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．
【解答】解：因為ABCD為平行四邊形，
所以，
故．
故選：D．
【知識點(diǎn)】平面向量的基本定理

3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），則t＝（　?。?br /> A．﹣1 B．﹣ C． D．1

【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和共線定理，列方程求出t的值．
【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），
所以+＝（6t+3，11），
﹣＝（4t+2，5）．
又（+）∥（﹣），
所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，
解得t＝﹣．
故選：B．
【知識點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

4.已知矩形ABCD的一邊AB的長為4，點(diǎn)M，N分別在邊BC，DC上，當(dāng)M，N分別是邊BC，DC的中點(diǎn)時，有（+）?＝0．若+＝x+y，x+y＝3，則線段MN的最短長度為（　?。?br /> A． B．2 C．2 D．2

【答案】D
【分析】先根據(jù)M，N滿足的條件，將（+）?＝0化成的表達(dá)式，從而判斷出矩形ABCD為正方形；再將+＝x+y，左邊用表示出來，結(jié)合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．
【解答】解：當(dāng)M，N分別是邊BC，DC的中點(diǎn)時，
有（+）?＝＝＝，
所以AD＝AB，則矩形ABCD為正方形，
設(shè)，，則＝．
則x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．
故NC+MC＝4，則MN＝＝（當(dāng)且僅當(dāng)MC＝NC＝2時取等號）．
故線段MN的最短長度為2．
故選：D．
【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，則|z﹣1﹣i|的最大和最小值分別為M，m，則M﹣m的值等于（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．9

【答案】B
【分析】由題意畫出圖形，再由復(fù)數(shù)模的幾何意義，數(shù)形結(jié)合得答案．
【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以Q（﹣3，﹣4）為圓心，以2為半徑的圓及其內(nèi)部．
如圖：

|z﹣1﹣i|的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P得距離，
則M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，
則M﹣m＝4．
故選：B．
【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

6.已知球的半徑為R，一等邊圓錐（圓錐母線長與圓錐底面直徑相等）位于球內(nèi)，圓錐頂點(diǎn)在球上，底面與球相接，則該圓錐的表面積為（　?。?br /> A．R2 B．R2 C．R2 D．R2

【答案】B
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，求得圓錐的高，由球的截面性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理可得r，由圓錐的表面積公式可得所求．
【解答】解：如圖，設(shè)圓錐的底面半徑為r，
則圓錐的高為r，
則R2＝r2+（r﹣R）2，
解得r＝R，
則圓錐的表面積為S＝πr2+πr?2r＝3πr2
＝3π（R）2＝πR2，
故選：B．

【知識點(diǎn)】球內(nèi)接多面體、旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

7.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．小明在和家人一起包粽子時，想將一丸子（近似為球）包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個邊長為4的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為（　?。?br />
A．π B．π C．π D．π

【答案】A
【分析】先根據(jù)題意求得正四面體的體積，進(jìn)而得到六面體的體積，再由圖形的對稱性得，內(nèi)部的丸子要是體積最大，就是丸子要和六個面相切，設(shè)丸子的半徑為R，則，由此求得R，進(jìn)而得到答案．
【解答】解：由題意可得每個三角形面積為，
由對稱性可知該六面體是由兩個正四面體合成的，可得該四面體的高為，
故四面體的體積為，
∵該六面體的體積是正四面體的2倍，
∴六面體的體積是，
由圖形的對稱性得，內(nèi)部的丸子要是體積最大，就是丸子要和六個面相切，連接球心和五個頂點(diǎn)，把六面體分成了六個三棱錐，
設(shè)丸子的半徑為R，則，解得，
∴丸子的體積的最大值為．
故選：A．
【知識點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積

8.已知半球O與圓臺OO'有公共的底面，圓臺上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺側(cè)面積取最大值時，圓臺母線與底面所成角的余弦值為（　?。?br /> A． B． C． D．

【答案】D
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用圓臺的母線長表示出半球的半徑r，計算圓臺的側(cè)面積，利用導(dǎo)數(shù)求得側(cè)面積取得最大值時對應(yīng)的母線長和半球的半徑，從而求得圓臺母線與底面所成角的余弦值．
【解答】解：如圖1所示，
設(shè)BC＝x，CO′＝r，作CF⊥AB于點(diǎn)F，延長OO′交球面于點(diǎn)E，
則BF＝1﹣r，OO′＝CF＝＝．
由圓的相交弦定理和圖2知，CO′?O′E?O′H＝（1+OO′）?（1﹣OO′），
即r2＝（1+）?（1﹣），解得r＝1﹣，
所以圓臺的側(cè)面積為S側(cè)＝π?（1+1﹣）?x（0＜x＜）；
求導(dǎo)數(shù)得S側(cè)′＝π（2﹣x2），令S側(cè)＝0，得出當(dāng)x＝時S側(cè)取得最大值，
所以當(dāng)x＝BC＝時，r＝1﹣＝，
則BF＝1﹣r＝；
在軸截面中，∠OBC為圓臺母線與底面所成的角，
在Rt△CFB中，cos∠OBC＝＝．
故選：D．
【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，選對得分，選錯、少選不得分）

9.下列有關(guān)向量命題，不正確的是（　　）
A．若||＝||，則＝ B．已知≠，且?＝?，則＝
C．若＝，＝，則＝ D．若＝，則||＝||且∥

【答案】AB
【分析】根據(jù)向量的概念與向量的模的概念逐一分析各個選項即可得解．
【解答】解：向量由兩個要素方向和長度描述，A錯誤；
若∥，且與垂直，結(jié)果成立，當(dāng)不一定等于，B錯誤；
若＝，＝，由向量的定義可得＝，C正確；
相等向量模相等，方向相同，D選項正確．
故選：AB．
【知識點(diǎn)】向量的概念與向量的模

10.若復(fù)數(shù)z滿足，則（　　）
A．z＝﹣1+i B．z的實部為1 C．＝1+i D．z2＝2i

【答案】BC
【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后逐一核對四個選項得答案．
【解答】解：由＝，
得z＝，
∴z的實部為1；＝1+i；z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．
故選：BC．
【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

11.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點(diǎn)，AF∩CE＝G，則（　　）

A． B．
C． D．

【答案】AB
【分析】對于A：直接利用三角形法則的應(yīng)用和線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
對于B：利用三角形法則的應(yīng)用和線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
對于C：利用平行線分線段成比例和三角形法則和線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
對于D：直接利用平行線成比例的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點(diǎn)，AF∩CE＝G，
如圖所示：

根據(jù)三角形法則：
對于A：，故選項A正確．
對于B：E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點(diǎn)，所以，故選項B正確．
對于C：過E作EH∥DC，所以，所以，故，整理得，
所以，即＝，故選項C錯誤．
對于D：根據(jù)平行線分線段成比例定理，點(diǎn)B、G、D共線，故選項D錯誤．
故選：AB．
【知識點(diǎn)】平面向量的基本定理

12.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，棱長為2，E為線段B1C上的動點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，P為棱CC1上的動點(diǎn)，Q為棱AA1的中點(diǎn)，則以下選項中正確的有（　?。?br /> A．AE⊥B1C
B．直線B1D⊥平面A1BC1
C．異面直線AD1與OC1所成角為
D．若直線m為平面BDP與平面B1D1P的交線，則m∥平面B1D1Q

【答案】BD
【分析】根據(jù)面面平行和垂直的性質(zhì)、判定，結(jié)合圖形，從而可判斷選項的正誤．
【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
∵只有當(dāng)E運(yùn)動到線段B1C的中點(diǎn)時，AE⊥B1C才成立，故A錯誤．
連接B1D1，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
∴DD1⊥A1C1，∵BD1⊥A1C1，BD1∩DD1＝D1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，∴A1C1⊥B1D，
同理可得BC1⊥B1D，又A1C1∩BC1＝C1，
∴直線B1D⊥平面A1BC1，故選項B正確．
連接BD，BC1，則AD1∥BC1，
∴∠OC1B（或其補(bǔ)角）即為異面直線AD1與OC1所成的角．
因為正方體的棱長為2，則BC1＝2，OB＝，在Rt△C1OB中，OC1＝，
∴cos∠OC1B＝＝，∴∠OC1B＝，故選項C錯誤．
由題意知，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點(diǎn)，Q為棱AA1的中點(diǎn)，
直線m為平面BDP與平面B1D1P的交線，且BD∥B1D1，
∴m∥B1D1.∵m?平面B1D1Q，
∴m∥平面B1D1Q，故選項D正確．
故選：BD．

【知識點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、異面直線及其所成的角、直線與平面垂直、命題的真假判斷與應(yīng)用

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，則m的值為　?。?br />
【答案】2或3
【分析】根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，變形解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），
若∥，則有（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，
變形可得：m2﹣5m+6＝0，
解可得m＝2或3，
故答案為：2或3．
【知識點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

14.將表面積為36π的圓錐沿母線將其側(cè)面展開，得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積S＝　?。?br />
【分析】設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，根據(jù)題意列出方程組求出l和r的值，再計算圓錐的高軸截面面積．
【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，
由題意得，
解得l＝9，r＝3；
所以圓錐的高為h＝＝＝6，
所以圓錐的軸截面面積為S＝×＝18．
故答案為：18．
【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）、扇形面積公式

15.如圖，已知有兩個以O(shè)為圓心的同心圓，小圓的半徑為1，大圓的半徑為2，點(diǎn)A為小圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是大圓上的兩個動點(diǎn)，且?＝1，則||的最大值是　?。?br />

【分析】由向量的和差運(yùn)算求出數(shù)量積?的表達(dá)式，再由||的值為1，可得﹣﹣＝0，再由（+﹣）2的展開可得|+﹣|＝3，再由絕對值不等式的定理可得||的取值范圍，求出其最大值．
【解答】解：由題意＝（﹣）?（﹣）＝﹣﹣+1＝1，
所以﹣﹣＝0，
由（+﹣）2＝+2+2+2（﹣﹣）＝9，
所以|+﹣|＝3，
又|+|﹣||≤|+﹣|≤|+|+||，
所以2≤|+|≤4，
又|+|2+|﹣|2＝2（||2+||2）＝16，
所以0≤|﹣|，
即0≤||，
||的最大值是2，
故答案為：2．
【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

16.如圖，在三棱錐A﹣BCD的平面展開圖中，已知四邊形BCED為菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值為﹣，M為BD的中點(diǎn)，則CD＝　　，直線AD與直線CM所成角的余弦值為　　．

【分析】將三棱錐A﹣BCD的直觀圖還原，取CD中點(diǎn)N，連接AN，BN，可知ANB為二面角A﹣CD﹣B的平面角，設(shè)CD＝a（0＜a＜2），根據(jù)題意由余弦定理建立關(guān)于a的方程，解出即可求得CD的值，取AB的中點(diǎn)O，連接OM，OC，則∠OMC為直線AD與直線CM所成的角或其補(bǔ)角，求出相關(guān)邊的長度，利用余弦定理直接求解即可．
【解答】解：將三棱錐A﹣BCD的直觀圖還原，則BC＝BD＝AC＝AD＝1，，
取CD中點(diǎn)N，連接AN，BN，則AN⊥CD，BN⊥CD，故∠ANB為二面角A﹣CD﹣B的平面角，
設(shè)CD＝a（0＜a＜2），則，故，
又二面角A﹣CD﹣B的余弦值為，故，解得，即；
取AB的中點(diǎn)O，連接OM，OC，易知OM∥AD，
所以∠OMC為直線AD與直線CM所成的角或其補(bǔ)角，
易知，所以，
∴直線AD與直線CM所成角的余弦值為．
故答案為：；．

【知識點(diǎn)】二面角的平面角及求法、異面直線及其所成的角

四、解答題（本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知，．
（1）若與同向，求；
（2）若與的夾角為120°，求．

【分析】（1）設(shè)＝λ＝（2λ，0），由||＝1可得2λ＝1，解可得λ的值，即可得答案，
（2）根據(jù)題意，由數(shù)量積的計算公式可得?＝﹣1，設(shè)＝（x，y），由數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式可得?＝2x＝﹣1，即可得x的值，由向量模的計算公式可得y的值，即可得的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)計算公式計算可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，與同向，且，
設(shè)＝λ＝（2λ，0），
又由||＝1，則有2λ＝1，即λ＝，
則＝（1，0）；
（2），則||＝2，
若與的夾角為120°，則?＝||||cos120°＝2×1×cos120°＝﹣1，
設(shè)＝（x，y），則?＝2x＝﹣1，則x＝﹣，
又由||＝1，則x2+y2＝1，解可得y＝±，
故＝（，±），
則+＝（，±）．
【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算、數(shù)量積表示兩個向量的夾角

18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．
（1）求c；
（2）求cos2B的值．

【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；
（2）先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根據(jù)cos2B＝1﹣2sin2B，得解．
【解答】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），
整理得，c2+4c﹣12＝0，
解得c＝2或﹣6（舍負(fù)），
故c＝2．
（2）∵cosA＝﹣，且A∈（0，π），
∴sinA＝＝，
由正弦定理知，＝，即＝，
∴sinB＝，
∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．
【知識點(diǎn)】余弦定理

19.已知：復(fù)數(shù)z1與z2在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i為虛數(shù)單位），|z1|＝．
（Ⅰ）求z1的值；
（Ⅱ）若z1的虛部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．

【分析】（Ⅰ）設(shè)z1＝x+yi（x，y∈R），則z2＝﹣x+yi，由題意列方程組求得x，y的值，則答案可求；
（Ⅱ）求得z1，代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件求解．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)z1＝x+yi（x，y∈R），則z2＝﹣x+yi，
∵z1（1﹣i）＝z2（1+i），|z1|＝，
∴，解得或，
即z1＝1﹣i或z1＝﹣1+i；
（Ⅱ）∵z1的虛部大于零，∴z1＝﹣1+i，則，
則有，
∴，解得．
【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

20.（Ⅰ）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程|z|2+（z+）i＝（i為虛數(shù)單位）
（Ⅱ）設(shè)z是虛數(shù)，ω＝z+是實數(shù)，且﹣1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）設(shè)，求證：μ為純虛數(shù)；
（3）在（2）的條件下求ω﹣μ2的最小值．

【分析】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等進(jìn)行求解即可
（Ⅱ）設(shè)z＝a+bi，結(jié)合ω是實數(shù)求出a，b的取值范圍，結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行證明求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）原方程等價為|z|2+（z+）i＝＝1﹣i，
設(shè)z＝x+yi，x，y∈R，
代入方程整理得x2+y2+2xi＝1﹣i，得得，即z＝﹣±i．
（Ⅱ）（1）z＝a+bi，a，b∈R且b≠0，
則ω＝z+＝a+bi+＝（a+）+（b﹣）i，
∵ω＝z+是實數(shù)，∴b﹣＝0，得1﹣＝0，即a2+b2＝1，即|z|＝1，
則ω＝z+＝2a∈（﹣1，2），
∴a∈（﹣，1）．
（2）證明：＝＝＝，
由（1）知a2+b2＝1，則μ＝i，
∵a∈（﹣，1）．b≠0，∴μ是純虛數(shù)．
（3）ω﹣μ2＝2a+＝2a+＝2a﹣＝2a﹣1+＝2[（a+1）+]﹣3，
∵a∈（﹣，1），∴a+1＞0，
∴（a+1）+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a+1＝，即a＝0時取等號，
即ω﹣μ2＝2[（a+1）+]﹣3≥2×2﹣3＝1，
即ω﹣μ2的最小值為1
【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

21.如圖，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，點(diǎn)M為線段A1A的中點(diǎn)．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的體積；
（2）求異面直線BM與B1C1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角表示）

【分析】（1）由V＝S△ABC?A1A，即可得解；
（2）易知∠MBC或其補(bǔ)角即為所求，再在△MBC中，由余弦定理求得cos∠MBC的值，即可．
【解答】解：（1）∵，
∴V＝S△ABC?A1A＝×4＝2．
（2）∵BC∥B1C1，
∴∠MBC或其補(bǔ)角是異面直線BM與B1C1所成的角，
在△MBC中，BM＝CM＝，BC＝，
由余弦定理得，cos∠MBC＝＝，
∴∠MBC＝arccos，
故異面直線BM與B1C1所成的角為．
【知識點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積、異面直線及其所成的角

22.如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，點(diǎn)E、F、M分別是棱AA1、AB、BC的中點(diǎn)，P為線段B1D上一點(diǎn)，AB＝4．
（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直線l，求證：l∥A1B；
（Ⅱ）若直線B1D⊥平面EFP．
（i）求三棱錐B1﹣EFP的表面積；
（ii）試作出平面EGM與正方體ABCD﹣A1B1C1D1各個面的交線，并寫出作圖步驟，保留作圖痕跡．設(shè)平面EGM與棱A1D1交于點(diǎn)Q，求三棱錐Q﹣EFP的體積．

【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到EF∥l，再結(jié)合線線平行的傳遞性即可證明結(jié)論；
（2）（i）先根據(jù)直線B1D⊥平面EFP得到B1D⊥EP，進(jìn)而得到P是DB1的中點(diǎn)，然后依次求出三棱錐的四個面的面積再相加即可得到三棱錐B1﹣EFP的表面積；
（ii）①根據(jù)公理“一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”作出平面EGM與正方體ABCD﹣A1B1C1D1各個面的交線即可；②根據(jù)NEFP四點(diǎn)共面，且三角形PNE與三角形PEF面積相等，那么三棱錐Q﹣EFP的體積等于三棱錐P﹣ENQ的體積，直接利用三棱錐的體積公式求解即可．
【解答】解：（1）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，
因為平面ABB1A1∥平面 DCC1D1，平面EFP∩平面 ABB1A1＝EF，
所以EF∥l，
因為點(diǎn)E、F 分別是棱 AA1、AB 的中點(diǎn)，
所以 EF∥A1B，
所以l∥A1B．
（2）（i）因為直線 B1D⊥平面 EFP，EP?平面 EFP，
所以 B1D⊥EP，又因為△DAE≌△B1A1E，
所以DE＝B1E，
所以DP＝B1P，
因為，
×，
，
所以三棱錐B1﹣EFP的表面積為．
（ii）作圖步驟如下：
連接GE，過點(diǎn)G作GH⊥DC于點(diǎn)H，連接HA并延長交GE的延長線于點(diǎn)I，連接IM并延長交AB于點(diǎn)J交DC的延長線于點(diǎn)K，
再連接GK交CC1于點(diǎn)S，連接MS并延長交B1C1的延長線于點(diǎn)R，連接RG并延長交A1D1于點(diǎn)Q，再連接EQ，GS，EJ，
則圖中EQ，QG，GS，SM，MJ，JE即為平面EGM與正方體各個面的交線．

設(shè) BJ＝CK＝x，由題知
2AJ＝HC+CK＝3+x，
所以，所以，
解得，
因為，
∵M(jìn)C＝2，∴，
所以，

如上圖，設(shè)N為線段A1D1的中點(diǎn)，可證點(diǎn)N在平面PEF內(nèi)，且三角形PNE與三角形PEF面積相等，
所以，三棱錐Q﹣EFP的體積＝三棱錐Q﹣ENP的體積＝三棱錐P﹣ENQ的體積＝，
所以三棱錐Q﹣EFP 的體積為．
【知識點(diǎn)】平面與平面垂直、棱柱、棱錐、棱臺的體積、棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

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