期中專題復(fù)習(xí)五——函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性考向一  基本函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷 1、給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.其中在區(qū)間上是減函數(shù)的是(    )A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析所給的四個(gè)函數(shù)：對(duì)于①，為二次函數(shù)，在上是減函數(shù)；對(duì)于②，為冪函數(shù)，在上是增函數(shù)；對(duì)于③，為反比例函數(shù)，在上是增函數(shù)；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，即其在上是增函數(shù)；故選：．  2、若函數(shù)同時(shí)滿足：(1)對(duì)于定義域內(nèi)的任意，有；(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意，當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.其中是“理想函數(shù)”的序號(hào)是(    )A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④【答案】C【詳解】解：函數(shù)同時(shí)滿足①對(duì)于定義域上的任意，恒有；②對(duì)于定義域上的任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”， “理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，①是偶函數(shù)，且不是單調(diào)函數(shù)，故①不是“理想函數(shù)”；②是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，故②是“理想函數(shù)”；③是奇函數(shù)，但在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故③不是“理想函數(shù)”．④是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，故④是“理想函數(shù)”．故選：3、下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除B、C、D，函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，A正確.故選：A.4、函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，“是奇函數(shù)”是“存在，”的(    )A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】根據(jù)奇函數(shù)的定義，須滿足在定義域上的任意，都有成立，所以命題：若是奇函數(shù)，則存在，為真命題；而命題：若存在，，則函數(shù)是奇函數(shù)為假命題.所以“是奇函數(shù)”是“存在，”的充分而不必要條件.故選：A.5.如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定是偶函數(shù)的是A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】試題分析：由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選B． 考向二  復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷與證明1、已知，函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上是增函數(shù)；（2）若在上的值域是，求的值.解：（1）由題意可知：.，且，………………………………………………………1分則.  …………………3分∵，∴， ……………………………………………………………4分∴，即，  ………………………………………………5分∴在上是增函數(shù).     …………………………………………………6分（2）易知，由（1）可知在上為增函數(shù).     …………………7分∴，解得.…………………………………………………9分又由，得，解得. ………………………………………12分2、已知f（x）為二次函數(shù)，且．（1）求f（x）的表達(dá)式； （2）判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．【答案】（1）；（2）增函數(shù)，證明見解析．【解析】（1）利用題中所給的條件，先設(shè)出函數(shù)的解析式，利用，將式子化為恒等式，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，得到方程組，求得結(jié)果；（2）先化簡函數(shù)解析式，利用單調(diào)性的定義，證明得到函數(shù)的單調(diào)性，得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由條件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x， 從而，   解得：， 所以f（x）=x2﹣2x﹣1； （2）函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增． 理由如下：g（x）==，設(shè)設(shè)任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 則g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+）， ∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增．3、已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)m的值;（2）判斷并用定義法證明函數(shù)在上的單調(diào)性．（1）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，解得．（2）由（1）得：，函數(shù)在，上為增函數(shù)，下證明：設(shè)任意，，且，即△則，，且△，，即△，于是函數(shù)在，上為增函數(shù)．4、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)確定函數(shù)的解析式；(2)用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；(3)解不等式.【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.【詳解】（1）解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即有，且，則，解得，，則函數(shù)的解析式：；滿足奇函數(shù)（2）證明：設(shè)，則，由于，則，，即，，則有，則在上是增函數(shù)；（3）解：由于奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則不等式即為，即有，解得，則有，即解集為． 5、已知函數(shù)，設(shè)函數(shù).⑴證明函數(shù)在上為增函數(shù).⑵若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，有一根小于1，且另一根在內(nèi)，求的取值范圍.【答案】（1）證明詳見解析     （2）詳解】（1）設(shè)，，函數(shù)在上為增函數(shù)（2）有一根小于1，且另一根在內(nèi)，故滿足，即， 考向三  單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用1、已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，那么____．【答案】4.【詳解】依題意可知x＝2是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，又，所以，＝0，解得：a＝4,經(jīng)檢驗(yàn)成立故答案為42、已知函數(shù)在上是增函數(shù)，若，則的取值范圍是_______.【答案】【詳解】在上是增函數(shù)，，根據(jù)增函數(shù)性質(zhì)，可得，解得答案為：3、已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______________.【答案】.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即恒成立，可得.故答案為：. 4、已知是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，如果，那么    ▲    .答案：5、若函數(shù)為奇函數(shù)，則(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，，整理化簡后，得到的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以即整理得，因?yàn)?/span>，所以.故選：B.6、如圖，給出了奇函數(shù)的局部圖象，那么f(1)等于A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】B【詳解】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象可得，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，故選：B．7、已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則_______，_______.【答案】    (1). 0    (2). 0【詳解】當(dāng)時(shí)，得，得，當(dāng)時(shí)，得，即，又因是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，所以，解得當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，得所以答案為：，8、對(duì)任意，函數(shù)，則的最小值為(　　 )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】分別作出三個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求出f（x）的最小值【詳解】分別作出y＝﹣x+3，yx，y＝x2﹣4x+3的圖象如圖：（陰影部分對(duì)應(yīng)的曲線ABCDE），則由圖象可知函數(shù)f（x）在C處取得最小值，由，得x＝1，y＝2，即f（x）的最小值為2．故選：A．9、函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，則的取值范圍是(    )A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【詳解】解：在區(qū)間上的增函數(shù)及在區(qū)間上都為增函數(shù) 故選：10、若函數(shù)在上為增函數(shù)，則取值范圍為_____.【答案】【解析】函數(shù)在上為增函數(shù)，則需，解得，故填.11、若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是(    )A.  B. C.  D. 【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，且，所以，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性比較函數(shù)值的大小問題，屬基礎(chǔ)題.12.已知y＝f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么不等式 的解集是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【詳解】由于y＝f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)， ，則，綜上：不等式的解集是，選D.13、函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.若，則________；不等式的解集為_________.【答案】    (1). ；    (2). 【詳解】解：是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，， 作出函數(shù)的圖象如圖：則的解為或，所以的解集為： 故答案為： ；14、已知 定義在上的偶函數(shù),且在上是減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是(          )。A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意 定義在上的偶函數(shù),且在上是減函數(shù)，可得在上是增函數(shù)。由可得，應(yīng)滿足，解得 ，故答案選C。15、函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，對(duì)任意的，有，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對(duì)任意的，有,即對(duì)任意的,設(shè)，都有，所以在上單調(diào)遞減.又函數(shù)為偶函數(shù)，即.則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.所以, 則.故選：B.16、設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，當(dāng)x時(shí)是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（    ）A．<< B．>>C．<< D．>>【答案】D【解析】根據(jù)奇偶性得到，結(jié)合單調(diào)性得到.【詳解】因?yàn)?/span>是R上的偶函數(shù)所以 又x時(shí)是增函數(shù)，且 所以 即 故選：D17、已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)寫出函數(shù)的解析式和單調(diào)減區(qū)間；(2)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值.【答案】見解析.【詳解】（1）由已知可得，當(dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)減區(qū)間為、；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 考向四  抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性及其應(yīng)用 1、設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞）且f（x）為增函數(shù)，已知f（2）=1，對(duì)任意x，y∈R+，有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）已知f（a）-2＞f（a-2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】解：（1）令y=1，得f（x）=f（x）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=2得f（4）=f（2）+f（2）=2．
（2）由 f（a）-2＞f（a-2）得f（a）＞f（a-2）+2=f（a-2）+f（4）=f（4a-8），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴ ，
解得： ，
故得實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

2、定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．（1）求；（2）證明函數(shù)在上的單調(diào)遞減；（3）若，求函數(shù)在上的最小值【解答】解：（1）令，則（1）=0；（2）證明：任取，則，則，即，，為上的單調(diào)遞減函數(shù)；（3）為上的單調(diào)遞減函數(shù)，在，上的最小值為（9），令，得，（3）（9）（3），即（9）（3）．故在，上的最小值． 3、已知的定義域是，且滿足：（2），．又當(dāng)時(shí)，（1）求（1），（4）的值；（2）若，求的取值范圍．【解答】解（1）令得（1）（1）（1），（1）再令，，（2），（4）（2）（2）（2）（4）那么轉(zhuǎn)化為（4）可得：（4）對(duì)于，都有．函數(shù)在增函數(shù)，解得：．即的取值范圍是，．4、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且對(duì)任意正實(shí)數(shù)、都有恒成立．已知（2）且時(shí)．（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；解：（1）令，得（1）而令，，得（1）（2）（2），（4分）（2）在上任取兩數(shù)，，且，令，則在上是單調(diào)增函數(shù)．（8分）5、已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，．（1）求；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；（4）求在，上的最值．【解答】解：（1）令，可得；（2）令，可得，是奇函數(shù)；（3）任取，則，時(shí)，，，又，即，，，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，（4）時(shí)，函數(shù)取得最大值（2）（1）（1），時(shí)，函數(shù)取得最小值（4）（2）（2）．6、函數(shù)的定義域，且滿足對(duì)于任意，，有．（1）求（1）與的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）若時(shí)，，求證在區(qū)間上是增函數(shù)；（4）在（3）的條件下，若（4），求不等式的解集．解：（1）令，有（1）（1），解得（1）．令，有（1），解得．（2）令，，有，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得是偶函數(shù)．（3）設(shè)，且，則，，則，在區(qū)間上是增函數(shù)．（4）（4）（4），由變形為．為偶函數(shù)，，在（3）的條件下有且，解得．  

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