?專題39 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合必刷100題
一、單選題1-25題
1．以下使得函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求導(dǎo)，再對(duì)分三種情況分析導(dǎo)數(shù)得解.
【詳解】
解：由題意得，，
當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間，上都有極值點(diǎn)，故不單調(diào)；
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，符合題意.
故選：D.
2．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分別證明，，對(duì)于，先證明，變形為，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)取值范圍. 再證明，由函數(shù)及的圖像易知，若使對(duì)于恒成立，只需處在圖像上方，的最小值在處，兩個(gè)圖像相切處取得，求得參數(shù)取值范圍.
【詳解】
對(duì)于，先證明，，即，
令，則，易知單增，且，
則時(shí)，，函數(shù)單減；時(shí)，，函數(shù)單增；
函數(shù)在處取最小值，此時(shí)；
再證明，即，由函數(shù)及的圖像易知，若使對(duì)于恒成立，只需處在圖像上方，的最小值在處，兩個(gè)圖像相切處取得，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，時(shí)，，即，
綜上，，
故選：A
3．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)題意判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而解出不等式.
【詳解】
因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，則，即也是偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，則在上是減函數(shù)，而函數(shù)為偶函數(shù)，則在上是增函數(shù).
于是，，所以.
故選：A.
4．已知函數(shù)，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)增區(qū)間，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式，轉(zhuǎn)化為即為，則，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集．
【詳解】
解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：，
則時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，
則為偶函數(shù)，即有，
則不等式，即為，
即為，
則，即，解得，，即原不等式的解集．
故選：D．
5．若函數(shù)（其中a為參數(shù)）在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而求解參數(shù)的值.
【詳解】
根據(jù)題意，

在R上單調(diào)遞增 在R上恒成立

令，，則 可寫為
根據(jù)題意在上的最小值非負(fù)
解得 ，所以選項(xiàng)B正確
故選：B.
6．關(guān)于函數(shù)，，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)
C．若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則
D．對(duì)任意，恒成立
【答案】D
【分析】
分別在和得到，由此可知A正確；
在平面直角坐標(biāo)系中作出與圖象，由圖象可確定B正確；
將問題轉(zhuǎn)化為在上恰有一個(gè)解，令，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性并得到其圖象，數(shù)形結(jié)合可確定，C正確；
令，由B中結(jié)論可確定D錯(cuò)誤.
【詳解】
對(duì)于A，，則，
當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；
綜上所述：在上單調(diào)遞減，A正確；
對(duì)于B，，令，得：；
在平面直角坐標(biāo)系中，作出與的圖象如下圖所示，

由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，由得：，
若在上恰有一個(gè)極值，則在上恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
即在上恰有一個(gè)解，
令，則；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，可得大致圖象如下，

若在上恰有一個(gè)解，則，
此時(shí)函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由B選項(xiàng)可知，，使得，
當(dāng)時(shí)，，即，D錯(cuò)誤.
故選：D.
7．已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
可構(gòu)造函數(shù)，由已知可證在單增，再分別代值檢驗(yàn)選項(xiàng)合理性即可
【詳解】
設(shè)，則，則在單增，
對(duì)A，，化簡(jiǎn)得，故A錯(cuò)；
對(duì)B，，化簡(jiǎn)得，故B錯(cuò)；
對(duì)C，，化簡(jiǎn)得，故C正確；
對(duì)D，，化簡(jiǎn)得，故D錯(cuò)，
故選：C
8．已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．
【詳解】
解：令，
故，
故在遞增，所以，可得，即，所以D正確；
故選：D．
9．已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意得在有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，討論或，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)根，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出端點(diǎn)值，進(jìn)而可得即可求解.
【詳解】
，
根據(jù)題意得在有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，
當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，
令，
，令，因?yàn)?，解得?br /> 可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，?br /> 要使與的圖像有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
需要滿足，解得，
故選：D．
10．若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求導(dǎo)，由題意可知在上有兩個(gè)不同的解，令，即二次函數(shù)在上有兩個(gè)不同的解，
數(shù)形結(jié)合列出式子即可求解
【詳解】
由于，
所以，
要使在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
則在上有兩個(gè)不同的解，
令，
即二次函數(shù)在上有兩個(gè)不同的解，
所以，解得.
故選：B
11．已知定義在上的函數(shù)，則函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
令，求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性結(jié)合即可得到函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)從而得出結(jié)果．
【詳解】
令，則
當(dāng)，有；當(dāng)，有
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)楣屎瘮?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
故函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)有一個(gè)．
故選：B
12．已知，函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．存在使 B．存在使
C．對(duì)任意，都有 D．對(duì)任意，都有
【答案】B
【分析】
對(duì)于A、C記，，則，利用導(dǎo)數(shù)分別判斷出的單調(diào)性，證明出，即可判斷；對(duì)于B：取特殊值，代入驗(yàn)證；對(duì)于D：取特殊值，代入驗(yàn)證；
【詳解】
對(duì)于A、C：
記，，則，
，所以在上單增，
當(dāng)時(shí)，，即，即，
同理可證：在上單減，所以當(dāng)時(shí)，都有，即.
又，所以.故A、C錯(cuò)誤.
對(duì)于B：取，所以，，
則有，
，
.故B正確；
對(duì)于D：取，則有.故D錯(cuò)誤.
故選：B
13．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得在上恒成立，進(jìn)行參變分離得
在上恒成立，令，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，由的單調(diào)性，求得其最大值，由此可得答案.
【詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，令，所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
而在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，所以有最大值，所以，
故選：A.
14．已知函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得導(dǎo)函數(shù)，問題化為只有一個(gè)解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合函數(shù)圖象從而得參數(shù)范圍，注意檢驗(yàn)函數(shù)極值．
【詳解】
易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
令，得，即．
設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象如圖所示．由圖得或．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無極值，所以．
故選：A
15．已知函數(shù)，，關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)的值域是
B．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
C．函數(shù)在內(nèi)有唯一極小值
D．函數(shù)向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為
【答案】D
【分析】
逆用兩角和的余弦公式和正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)，求出的值域可判斷A；將代入的對(duì)稱軸方程可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性即可得極小值可判斷C；利用圖象的平移變換得解析式，再檢驗(yàn)對(duì)稱中心可判斷D，進(jìn)而可得答案.
【詳解】
，
對(duì)于A：因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域是，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：令，可得，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：，，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得極小值為
，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)，
令，可得，所以不是的一個(gè)對(duì)稱中心，故選項(xiàng)D不正確；
所以結(jié)論中錯(cuò)誤的是選項(xiàng)D，
故選：D.
16．已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意的滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令，依題意知為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，再由，結(jié)合條件分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．
【詳解】
解：偶函數(shù)對(duì)于任意的滿足，
令，則，即為偶函數(shù)．
又，故在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，
即，故B正確；
，故A錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
17．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①曲線上存在垂直于軸的切線；
②函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)；
④方程有四個(gè)根．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖像進(jìn)而可判斷函數(shù)的零點(diǎn)、極值.
【詳解】
由，得，
由，得，或，或，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
而，
所以由零點(diǎn)存在性定理可知，只有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和0，
函數(shù)圖像如圖所示

所以①③正確，②錯(cuò)誤，
方程可轉(zhuǎn)化為或，
，
由圖像可知有兩個(gè)根，也有兩個(gè)根，
所以方程有四個(gè)根，所以④正確，
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3，
故選：C.
18．關(guān)于函數(shù)，，下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè)
①在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②有兩個(gè)零點(diǎn)；
③存在唯一極小值點(diǎn)，且；
④有兩個(gè)極值點(diǎn).
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
①反證，求導(dǎo)并發(fā)現(xiàn)相同區(qū)間的單調(diào)性不一致②轉(zhuǎn)化并數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)③用零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性可求證④轉(zhuǎn)化成用導(dǎo)數(shù)證明恒成立問題，結(jié)合零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】


因?yàn)闀r(shí)，，，所以
所以在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤.
有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)根，即函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)與的圖象，可知在上有兩個(gè)交點(diǎn)，故②正確.
，

∵，
∴，，
∴
∴存在，使得且
∴在上，，在上，，
在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，
∴在上存在唯一極小值點(diǎn).

∵，則
∴，故③正確.
令
則，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，.
∴在恒成立，
∴單調(diào)遞增且，
，
∴存在唯一零點(diǎn)，使得
∴，，即，
，，即，
∴在處取得極小值
故有唯一極小值點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.
故選：C.
19．已知在定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，恒成立，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
結(jié)合已知不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性，列出不等式，即可求解.
【詳解】
由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，則函數(shù)為偶函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞減，
由，
化簡(jiǎn)得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集為.
故選：B.
20．已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先討論不等式在上恒成立，在時(shí)，變形不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求的正數(shù)b即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，而，，原不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，，不等式等價(jià)變形為：，
令，，而，求導(dǎo)得，
令，則，則在上單調(diào)遞增，
，若，則，記，，則，
則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，，不符合題意，
若，，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則有，符合題意，
綜上得，，
所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
21．已知函數(shù)，，當(dāng)，且時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)一定不少于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】
先證明函數(shù)，都為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論在上的單調(diào)性，然后作出兩函數(shù)的部分圖象，根據(jù)圖象可得兩函數(shù)在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用偶函數(shù)的對(duì)稱性可得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)槎x域?yàn)椋?br /> 又，所以為偶函數(shù).
同理可證函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又，
所以時(shí)，；時(shí)，；
時(shí)，；時(shí)，；
時(shí)，；時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又，，，，，
則與的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)；
作出圖象后可以發(fā)現(xiàn)與的圖象在上至少有6個(gè)交點(diǎn)，
根據(jù)對(duì)稱性可知，二者圖象在上至少6個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)，且時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)不小于12．
故選：D．

22．已知函數(shù)，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，把含絕對(duì)值的方程去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后引入新函數(shù)設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為存在，，使得，只要在上不單調(diào)即可得．
【詳解】
，時(shí)，，所以是增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，又，
所以化為，
即，
設(shè)，則，
時(shí)，，是增函數(shù)，不存在，，使得，
時(shí)，要滿足題意，則在上應(yīng)有解，使得在上不單調(diào)．
，，
設(shè)，，，
所以，
在上單調(diào)遞減，，，
所以．
故選：C．
23．設(shè)函數(shù)，下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
①是奇函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，；
③是周期函數(shù)；
④存在無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；
⑤，，使得且
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】
直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)，周期性單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系判斷①②③④⑤的結(jié)論.
【詳解】
函數(shù)，
對(duì)于①：函數(shù)故函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故①正確；
對(duì)于②：令，所以
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)x→0時(shí), →0,當(dāng)x→時(shí),即→+
故當(dāng)時(shí),使得即時(shí), 時(shí),故g(x)在上單調(diào)遞增, g(x)在上單調(diào)遞減,
而x→0和時(shí),→0,所以g(x)>0,
由于中，x取時(shí)，，故，，
所以，所以，故②正確；
對(duì)于③,假設(shè)函數(shù)的周期為T，則對(duì)一切x都成立，
取x=0時(shí),則得到，再取時(shí),則故，所以明顯T無解，故假設(shè)錯(cuò)誤，故不是周期函數(shù).故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④,令解得，取時(shí)，，整理得，故存在無數(shù)個(gè)零點(diǎn).故④正確；
對(duì)于⑤,令，則所以 ,所以，由于k和x1和x2相對(duì)應(yīng),故x1-x2不能取任意值,故并不總成立,故⑤錯(cuò)誤.
故選:C.
24．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
構(gòu)造新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，從而得出相應(yīng)的不等式，判斷各選項(xiàng)即可．
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 設(shè)，，則，
所以在上是增函數(shù)，
，，即，
，，即，
，，即，
故選：C．
25．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，根據(jù)題設(shè)條件，求得，得到函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，再把不等式化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)滿足，
令，則
函數(shù)是定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，
由于，關(guān)于的不等式可化為，
即，所以且，解得，
不等式的解集為.
故選：B

二、填空題26-50題
26．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】.
【分析】
利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷為奇函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷為上的增函數(shù)，則所求不等式等價(jià)于，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以為奇函數(shù)，
因?yàn)?，所以為上的增函?shù)，
由得，則，
因?yàn)?，所以?br /> 令，則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故，所以，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
27．已知函數(shù)，則的最小值是______．
【答案】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最小值.
【詳解】
由題意，得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以時(shí)取得最小值，此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以的最小值是．
28．已知定義在R上的奇函數(shù)的導(dǎo)為數(shù)為，若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_________．
【答案】
【分析】
由導(dǎo)函數(shù)可得在R上單調(diào)遞增，結(jié)合是奇函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，借助單調(diào)性和定義域，列出不等式組，即得解.
【詳解】
解：因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增.
又是奇函數(shù)，由，
得，
所以，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
29．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】或.
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)，由在內(nèi)無變號(hào)零點(diǎn)求解，引入新函數(shù)，結(jié)合兩角差的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】
因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)不存在極值點(diǎn)，所以
在區(qū)間內(nèi)無變號(hào)零點(diǎn)，令
，當(dāng)時(shí)，，
，，故只需滿足或即可，
解得或.
故答案為：或.
30．已知函數(shù).若是的極大值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________________.
【答案】
【分析】
求導(dǎo)可得解析式，令，利用導(dǎo)數(shù)，分別討論和時(shí)，的正負(fù)，可得的單調(diào)性，綜合分析，即可得答案.
【詳解】
由題知，且，
令，則，
①若，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增；
所以.
因此不可能是的極大值點(diǎn).
②若，令，
當(dāng)時(shí)，，
所以即在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?，?br /> 因此存在滿足：，所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)是的極大值點(diǎn)時(shí)，.
故答案為：
31．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍____________________．
【答案】
【分析】
若要恒成立，只要即可，首先利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，進(jìn)行換元可得，再利用導(dǎo)數(shù)即可得解.
【詳解】


，
設(shè)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，，
設(shè)，
，
由，可得，
所以，
即在遞增，可得，
由恒成立，可得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
32．若命題，為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.
【答案】
【分析】
分別畫出函數(shù)和在區(qū)間的圖象，根據(jù)不等式恒成立求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】
不等式等價(jià)于 畫出兩個(gè)函數(shù)和在區(qū)間的圖象，
如圖

設(shè)，，，所以函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程是，
由圖可知，當(dāng)斜率大于切線斜率時(shí)，即時(shí)，恒成立.
故答案為：
33．若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
由，用分離參數(shù)變形，利用三角函數(shù)恒等變換化為的式子，然后換元，引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值得參數(shù)范圍．
【詳解】
因?yàn)?，所以原不等式可變形?br /> 令，則，
.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.又，所以.
故答案為：．
34．設(shè)函數(shù)，，若方程有解，則實(shí)數(shù)的最大值是________．
【答案】
【分析】
由題意得：，設(shè)，，用導(dǎo)數(shù)法求出的最值即可求解
【詳解】
令，，
則，．
設(shè)，，
則．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
又，，，
的值域?yàn)椋?br /> 故實(shí)數(shù)的最大值為．
故答案為：
35．設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則______.
【答案】
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)得出，將化簡(jiǎn)為即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以，，
所以
.
故答案為：.
36．已知函數(shù)，則的最大值為________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意可得函數(shù)的周期為，因此只要求出函數(shù)在上的最大值即可，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的最大值.
【詳解】
由，
則，
所以是函數(shù)的一個(gè)周期，
當(dāng)時(shí)，，



，
設(shè)，且，，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在，上遞增，在上遞減，
，，
因?yàn)?，且，所以?br /> 所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
37．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________________
【答案】
【分析】
先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)在上恒成立即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，
由題意知在上恒成立且不恒為0，
顯然時(shí)，恒成立，
所以只需在 上恒成立且不恒為0，
即在 上恒成立且不恒為0，
所以只需當(dāng)時(shí)，
又當(dāng)時(shí)，有，所以，即有最大值，
所以，即.
故答案為：.
38．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．
【答案】
【分析】
求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可判斷出的單調(diào)性，根據(jù)的變化情況和取值可求出.
【詳解】
由得，等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有唯一的公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，則，
因?yàn)?，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br /> 所以存在唯一的，使得，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有唯一的公共點(diǎn)，
所以，所以的取值范圍是．
故答案為：.
39．若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】
先求導(dǎo)，根據(jù)題意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得結(jié)果.
【詳解】
由知，,
時(shí)，是增函數(shù)，，
又，∴在上恒成立，
而，．
故答案為：．
40．已知函數(shù)，對(duì)于任意都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．
【答案】
【分析】
令，將已知不等式轉(zhuǎn)化為，則只需在上單調(diào)遞增，即恒成立即可；令，分別在、和三種情況下，根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性得到最小值，由此可求得的范圍.
【詳解】
由得：
，
令，則恒成立，
在上單調(diào)遞增，在上恒成立，
令，在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，解得：，；
當(dāng)時(shí)，，解得：，
；
綜上所述：.
故答案為：.
41．函數(shù)在R上單調(diào)增，則a的取值范圍為____________．
【答案】
【分析】
由題意可得對(duì)于恒成立，令，轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系由即可求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以
由題意可得對(duì)于恒成立，
令，
即對(duì)于恒成立，
的對(duì)稱軸為，只需要
當(dāng)即時(shí)在單調(diào)遞減，
此時(shí)可得，此時(shí)不成立，
當(dāng)即時(shí)在單調(diào)遞增，
此時(shí)可得，此時(shí)不成立，
當(dāng)即時(shí)，
解得：此時(shí)符合題意，
所以a的取值范圍為.
故答案為：.
42．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為__________．
【答案】
【分析】
令， 結(jié)合，得到函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)，得到函數(shù)在R上單調(diào)遞減，然后結(jié)合奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.
【詳解】
令， 又，
所以，即，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
因?yàn)椋?br /> 所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，
則，
即，即，
所以，
解得，
所以x的取值范圍為．
故答案為：
43．若函數(shù)在R上是增函數(shù).則實(shí)數(shù)a的最小值是__________.
【答案】
【分析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到恒成立，利用分離參數(shù)的方法，得到，利用導(dǎo)數(shù)的方法求出的最大值，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br /> 又函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
又為使取得最大值，必有；
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.
故答案為：.
44．函數(shù)定義在上，，其導(dǎo)函數(shù)是，且恒成立，則不等式的解集為_____________.
【答案】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
解：
，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞增，
不等式，
即
即，

故不等式的解集為.
故答案為：.
45．已知函數(shù)，若、，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【分析】
根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，分類討論利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在時(shí)的值域，然后根據(jù)存在的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)?，所以，因此在時(shí)，單調(diào)遞減，
所以有.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
，即，
因?yàn)?、，使得?br /> 所以有：，
令，
因?yàn)?，所以，因此函?shù) 單調(diào)遞增，
所以有，因此不等式組的解集為：，而，所以；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
，即，
因?yàn)?、，使得?br /> 所以有：，
令，
因?yàn)?，所以，因此函?shù) 單調(diào)遞減，
所以有，因此不等式組 的解集為空集，
綜上所述：.
故答案為：
46．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【分析】
由題意得，在上恒成立，
設(shè)，，，則在恒成立，
得到然后利用最值分析法求解即可.
【詳解】
將函數(shù)在上單調(diào)遞減，
轉(zhuǎn)化在上恒成立，
即在上恒成立 ，
設(shè)，，，則在恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得，解得
故答案為：
47．在處取得極值，則______.
【答案】
【分析】
對(duì)求導(dǎo)，代入，使得，變形整理得到，利用三角函數(shù)的有界性，可得，再利用倍角公式可求．
【詳解】
解：由已知，
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，

，
即，
因?yàn)?，?br /> ，即，
．
故答案為：．
48．若函數(shù)在上遞增，則的取值范圍___________.
【答案】.
【分析】
根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)在上遞增，則在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在恒成立求解.
【詳解】
由函數(shù)，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，
所以在上恒成立，
令，
所以在恒成立，
令，
所以，
解得，
故答案為：
49．已知函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.
【答案】
【分析】
計(jì)算，可知唯一零點(diǎn)，同時(shí)可知該函數(shù)為奇函數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，利用不等式，以及構(gòu)造函數(shù)，最后有導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判讀即可.
【詳解】
由題可知：函數(shù)定義域?yàn)榍?br /> 因?yàn)楹瘮?shù)存在唯一零點(diǎn)
所以只有一個(gè)零點(diǎn)0
因?yàn)?br /> 所以函數(shù)為奇函數(shù)，故只考慮當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，有，
所以
令，則
因?yàn)?br /> 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又
所以
故答案為：
50．若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.
【答案】
【分析】
由題意轉(zhuǎn)化條件得對(duì)任意恒成立，令，，求導(dǎo)后，求得的最小值即可得解.
【詳解】
由題意
，
不等式對(duì)任意恒成立，
對(duì)任意恒成立，
對(duì)任意恒成立，
令，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
，，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
三、解答題50-100題
51．已知函數(shù).
（1）設(shè)且，求函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)，證明：.
【答案】
（1）
（2）證明見解析
【分析】
（1）通過求導(dǎo)來判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出最值；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明新函數(shù)的最小值大于等于0即可.
（1）
，又，
又，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
的最小值為；
（2）
不等式等價(jià)于，
令，
令，，
又，，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
，所以原不等式成立.
52．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)的最值．
【答案】
（1）在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減
（2）的最大值為1，最小值為
【分析】
(1)結(jié)合已知條件求出，然后求出，進(jìn)而即可求解；(2)首先求出的周期，然后結(jié)合(1)中條件即可求解.
（1）
由題意，，
令，，解得或或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
（2）
由，易知是以為周期的周期函數(shù)，
故可取這一周期討論最值，
因?yàn)樵趨^(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
故在和取得極小值，在取得極大值，
因?yàn)?，，?br /> 所以的最大值為1，最小值為．
53．已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．
【答案】
（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；理由見解析
（2）2個(gè)，理由見解析
【分析】
（1）先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)可知f (x)在上的單調(diào)遞增，進(jìn)而可得在上的單調(diào)性；
（2）由（1）在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)研究f (x)在上的零點(diǎn)即可.
（1）
解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，
綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）
解：由（1）得在上單調(diào)遞增，又，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，令，又，且在上連續(xù)，則存在，使得，
由得，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有，即，則在上單調(diào)遞減，又，，所以在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn).
54．已知函數(shù)，，.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立.
【答案】
（1）極小值為，無極大值；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性，由極值點(diǎn)的定義可求得結(jié)果；
（2）由可將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，進(jìn)而確定，由此可得結(jié)論.
（1）
，
令，即，又，，
則，，變化情況如下表，










極小值

極小值為，無極大值.
（2）
證明：，，，
令，
則，
令，，
在上單調(diào)遞增，，即，
，則在單調(diào)遞增，，
，即在上恒成立.
55．已知函數(shù).
（1）若在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，記在上的最小值為，求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）令，求出其導(dǎo)數(shù)后可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可求其值域，故可求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求出，令，求出，利用題設(shè)條件可得，從而可得在存在唯一的零點(diǎn)且可得的符號(hào)情況，從而可得的單調(diào)性，故可得其最小值，再利用導(dǎo)數(shù)可求其取值范圍.
（1）
由得，令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
，從而.
（2）
令，
因?yàn)椋剩?
所以在上單調(diào)遞增，又，，
所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單減，在上單增，從而的最小值，∵，
∴，故.
令，則，
所以在上單減，
由題意可得，所以，
令，則，
所以在上單減，故的取值范圍為.
56．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】（1）單調(diào)遞減；一個(gè)零點(diǎn)；（2）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
【分析】
(1)利用二次求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)利用三次求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【詳解】
解：（1），，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減.
又因?yàn)?，?br /> 所以，有，所以存在一個(gè)零點(diǎn)
（2）當(dāng)時(shí)，，，
所以單調(diào)遞增，
又，，
所以，有，
且有時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，?br /> 所以，有.
又當(dāng)時(shí)，，，所以.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，有，
當(dāng)時(shí)，，，所以有，
當(dāng)，有.
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
57．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷單調(diào)性，可求出最值．
（2）先得到，時(shí)，，再求出函數(shù)的最小值即得解．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，，，
在，上單調(diào)遞增，
，．
（2）當(dāng)，時(shí)，
，
，，，，
當(dāng)時(shí)，，
在，上單調(diào)遞增，，
，，
的取值范圍為，．
58．已知函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求的值及的單調(diào)區(qū)間；
（2）記，，證明：在上至少有一個(gè)零點(diǎn).
（參考數(shù)據(jù)：）.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得的值，進(jìn)而解導(dǎo)函數(shù)的不等式得到單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可明確函數(shù)圖象與軸的位置關(guān)系.
【詳解】
（1），，
，.
，，
的單調(diào)遞增區(qū)間：，；
單調(diào)遞減區(qū)間：，.
（2）證明：，，
，記
，
在上遞增，在上遞減，，.
①當(dāng)，時(shí)，，，
存在，使，則在上遞增，在上遞減，又，，，則此時(shí)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，，
存在，使，
又，存在，使，
在，上遞減，在上遞增，
，，，
此時(shí)在存在一個(gè)零點(diǎn).
又，
（若不用極小值點(diǎn)，也可取，使.由可得）
在也存在一個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)在上有兩個(gè)零點(diǎn).
故綜上，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，得證.
59．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)得，進(jìn)而解三角不等式即可得答案；
（2）根據(jù)題意得在上有兩個(gè)不等實(shí)根，進(jìn)而令，研究函數(shù)的函數(shù)值的分布，即可求得答案.
【詳解】
解：（1）因?yàn)椋?br /> 所以.
因?yàn)?，?dāng)，
即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
（2）由（1）知，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
由題意在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
即有兩個(gè)實(shí)根且在每個(gè)實(shí)根兩側(cè)的符號(hào)不同.
設(shè)，則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，，，
所以當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)實(shí)根.
即的取值范圍為.
60．已知函數(shù)，
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求其單調(diào)性和最值，進(jìn)而可證明；
（2）分，，，討論，研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】
（1）證明：，，
令，，
，，
在上是增函數(shù)，且，

在上是增函數(shù)，且
；
（2），，
①，，，
是函數(shù)在上的唯一零點(diǎn)，
②，令，則，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，
故是函數(shù)在上的唯一零點(diǎn)；
③，，
設(shè)，則
在上遞增，而
所以，在上遞增，，是唯一零點(diǎn)；
④，，在上遞增，而，
使，
當(dāng)時(shí)，遞減，，遞增，
，
而，
在上有唯一零點(diǎn)，又也是一個(gè)零點(diǎn)，在上有2個(gè)零點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn).
61．已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求的導(dǎo)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的最大值.
注：以下不等式可參考使用：對(duì)任意，，，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）2.
【分析】
（Ⅰ）直接利用導(dǎo)數(shù)公式求解；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）先利用特值縮小的范圍，再構(gòu)造函數(shù)，證明這個(gè)取值符合條件即可．
【詳解】
解：（Ⅰ）因?yàn)?br /> 所以
；
（Ⅱ）令（）
則（）
所以在時(shí)為增函數(shù)，
所以，即.
（Ⅲ）因?yàn)樵跁r(shí)恒成立，
所以可令，得，
可得，所以或2，
當(dāng)時(shí)，令（），
則
所以在時(shí)為增函數(shù)，所以，
即當(dāng)時(shí)，成立，所以的最大值為2.
62．已知函數(shù)，（其中）.
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可證得所證不等式成立；
（2）由參變量分離法可得對(duì)任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
，恒成立，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，都有，
因此，當(dāng)時(shí)，；
（2）即，
由得，
令，，

令，，則，
得在單調(diào)遞減，，
從而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，得.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
63．已知函數(shù)，.
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）若，則，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；
（2）由題知，故令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可得答案.
【詳解】
解：（1）若，則，
∴
∴
令，則，∴
令，則，
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
令，，
則
令，
則.
∵，∴，∴，∴，
∴在上單調(diào)遞減，
∴
∴，∴在上單調(diào)遞減，
∴，故
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
64．已知函數(shù).
（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡(jiǎn)不等式，變形為，即求，令，求的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求出的范圍.
【詳解】
（Ⅰ）由題可知.
令，得，從而，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（Ⅱ）由可得，
即當(dāng)時(shí)，恒成立.
設(shè)，則.
令，則當(dāng)時(shí)，.
∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
∴，
∴.
65．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分和討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，當(dāng)時(shí)，，由再結(jié)合（1）可得當(dāng)時(shí)，，從而令，則，所以在單調(diào)遞增，進(jìn)而可得結(jié)論
【詳解】
（1）由，得.
（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，
此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
（ii）當(dāng)時(shí)，令，解得，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）令，則.
①當(dāng)時(shí)，.
令，則.
所以當(dāng)時(shí)，，即.
由（1）得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，，即，
令，
則，所以在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，.
所以，當(dāng)時(shí)，，即.
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 所以存在，使得當(dāng)，，
則在單調(diào)遞減.
所以，即，與條件矛盾.
綜合①，②，的取值范圍是.
66．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，.
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求的最小值；
（2）若當(dāng)時(shí)，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由求出的值，可得出函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)法可求得函數(shù)的最小值；
（2）由參變量分離法可知，不等式在時(shí)有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）由得.
曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，，
，.
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，則，
在上單調(diào)遞增，；
（2），設(shè)，，
則當(dāng)時(shí)，有解.
，.
當(dāng)時(shí)，，解，可得或，解得，.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
，，且，
，的取值范圍為.
67．已知.
（1）判斷函數(shù)是否存在極值，并說明理由；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，在恒成立.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題意求得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，得到，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；
（2）由題意轉(zhuǎn)化為成立，令，求導(dǎo)數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合（1）求得函數(shù)的額單調(diào)性和最值，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)，則，
可得，
根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，可得，
所以函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值.
（2）由于，即，即，
要證原命題成立，只需證成立，
令，則，
令，
則，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
因此，當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，所以，即，
所以當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，
所以，原命題得證.
68．已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間沒有零點(diǎn)；
（2）若時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞增，，即得解；
（2）由題得，再構(gòu)造函數(shù)，，求函數(shù)的最小值即得解.
【詳解】
證明（1）
∵ ∴恒成立，在上單調(diào)遞增
又 ∴，都有
∴在區(qū)間上沒有零點(diǎn)
（2）即，由得
令，

令，

得在單調(diào)遞減，
從而，，單調(diào)遞減
，，單調(diào)遞增
∴
得.
69．函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為：，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算和即可得單調(diào)區(qū)間；
（2）將代入不等式化簡(jiǎn)得恒成立，通過求導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性并求得最值，從而求的實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）由題可得
令，
得，
∴，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.
同理，令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為
綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為：，
的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由，得，
即.
設(shè)，則.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，，所以.
所以即在上單調(diào)遞增，
則.
若，則，
所以在上單調(diào)遞增.
所以恒成立，符合題意.
若，則，必存在正實(shí)數(shù)，
滿足：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
此時(shí)，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
70．已知函數(shù)，.
（1）求的單調(diào)性；
（2）若對(duì)于任意x∈[0，+∞)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，確定減區(qū)間．
（2）構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論求出在上的最小值，由最小值大于或等于0求得的范圍．
【詳解】
（1）
令
在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
（2）令，則


，令
∴在上遞增，∴，
當(dāng)時(shí)，，∴，單調(diào)遞增，
∴，滿足題意．
當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，
單調(diào)遞減，又，此時(shí)，不合題意．
綜上可得．
71．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；（2）.
【分析】
（1）先用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）規(guī)定新函數(shù)，只需 ，分類討論求求出a的范圍 .
【詳解】
解：（1）
因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)在減函數(shù).
所以
所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.
（2），，，
令，則，
因?yàn)?，所以所以，所以函?shù)在減函數(shù)，
所以
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在減函數(shù)，
所以，滿足題意
當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在增函數(shù)，
所以，不滿足題意
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，且函?shù)在減函數(shù)，所以存在唯一的，使，所以函數(shù)在增函數(shù)，在減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
72．已知函數(shù).
（1）求證：；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）構(gòu)造函數(shù)，利用、研究的單調(diào)性和最值，由此證得不等式成立.
（2）構(gòu)造函數(shù)，由得到.結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得，由此確定的取值范圍.
【詳解】
（1）設(shè)，則.
由知在上遞增，∴.
從而是增函數(shù)，∴，故原不等式成立.
（2）對(duì)恒成立.
設(shè)，
一方面，由.
另一方面，當(dāng)時(shí)，.
利用（1）中的結(jié)論有：.
構(gòu)造函數(shù)，則.∴遞減.
從而，∴，∴恒成立.
綜上得：.
73．已知函數(shù)，．
（1）求在點(diǎn)處的切線方程；
（2）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，在上恒成立．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)得出在上恒成立，由不等關(guān)系得，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其最小值，從而證明在上恒成立.
【詳解】
（1）由題意，設(shè)該切的切線方程為，由
故，由，解得，故該切線的切線方程為．
（2）證明：設(shè)，則，則
故在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增
所以，所以在上恒成立
故
故只需證，即證
設(shè)
則
則在上單調(diào)遞增，
故對(duì)任意的，在上恒成立
74．已知：函數(shù).
（1）求；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）.
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入求的值；（2）首先設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)，（3）首先不等式等價(jià)于對(duì)恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)的最大值.
【詳解】

（1）；
（2）令，則，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則
所以在單調(diào)遞減，
即，所以
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以.
（3）原題等價(jià)于對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
令，則.
易知，即在單調(diào)遞增，
所以，所以，
故在單調(diào)遞減，所以.
綜上所述，的最大值為 .
75．設(shè)函數(shù)（其中，m，n為常數(shù)）
（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)有恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍；
（2）若曲線在處的切線方程為，函數(shù)的零點(diǎn)為，求所有滿足的整數(shù)k的和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由恒成立可知單調(diào)遞增，由此得到，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）由切線方程可確定和，從而構(gòu)造方程求得；將化為，由可確定單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可求得零點(diǎn)所在區(qū)間，進(jìn)而得到所有可能的取值，從而求得結(jié)果.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，對(duì)任意的都成立，
在單調(diào)遞增，，
要使得對(duì)有恒成立，則，解得：，
即的取值范圍為.
（2），，解得：，
又，，，，
顯然不是的零點(diǎn)，可化為，
令，則，在，上單調(diào)遞增.
又，，，，
在，上各有個(gè)零點(diǎn)，在，上各有個(gè)零點(diǎn)，
整數(shù)的取值為或，整數(shù)的所有取值的和為.
76．已知.
（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞減；
（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，求得，即可得到結(jié)論.
（2）當(dāng)時(shí)，可得命題成立，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，分類討論，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)，可得，
由時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，
，所以，
所以在單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，命題成立，
當(dāng)時(shí)，由（1），
設(shè)，則，
因?yàn)樗?，在上單調(diào)遞增，
又， 所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br /> ②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，
所以存在
對(duì)于，恒成立.
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意.
綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，恒成立.
77．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；
（2）若，，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，根據(jù)得，故在上單調(diào)遞增；
（2）等價(jià)于，令，分，，三種情況討論即可得答案.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，.
因?yàn)?，所以，，從而?br /> 所以在上單調(diào)遞增.
（2）等價(jià)于.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以恒成立.
當(dāng)時(shí)，令，得.
當(dāng)時(shí)，，，；，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而.
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，，即，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
則，不合題意.
綜上，，即的取值范圍為.
78．已知函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝ex?f′（x），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線y＝g（x）在點(diǎn)（π，g（π））處的切線方程；
（2）若對(duì)任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x?f（x）+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）試探究當(dāng)?∈[0，]時(shí)，方程g（x）＝x?f（x）的解的個(gè)數(shù)，并說明理由．
【答案】（1），（2）；（3）有一個(gè)，見解析
【分析】
（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得到切線方程；
（2）題目等價(jià)于任意[，不等式恒成立，設(shè)，，求導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間和最大值，即可得的取值范圍；
（3）設(shè)，，討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，判斷單調(diào)性，結(jié)合 零點(diǎn)的存在性定理，即可得到方程解的個(gè)數(shù).
【詳解】
（1）由題意得g（x）＝exf′（x）＝excosx，
g（π）＝eπcosπ＝﹣eπ，
g′（x）＝ex（cosx﹣sinx），g′（π）＝﹣eπ，
所以曲線y＝g（x）在點(diǎn)（π，g（π））處的切線方程：y﹣（﹣eπ）＝﹣eπ（x﹣π），即y＝﹣eπx+（π﹣1）eπ，
（2）若對(duì)任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x?f（x）+m恒成立，
即對(duì)任意?∈[，?]，不等式m≥g（x）﹣x?f（x）恒成立，
只需要m≥[g（x）﹣x?f（x）]max，x∈[，π]
設(shè)h（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[，π]
h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，x∈[，π]，
所以（ex﹣x）cosx≤0，（ex+1）sinx≥0，
故h′（x）≤0，
故h（x）在[，π]上單調(diào)遞減，
故h（x）max＝h（），
所以m.
（3）設(shè)H（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[0，]，
當(dāng)x∈（0，]時(shí)，
設(shè)φ（x）＝ex﹣x，x∈（0，]時(shí)，
則φ′（x）＝ex﹣1≥0，所以φ（x）在[0，]上單調(diào)遞增，
所以x∈（0，]時(shí)，φ（x）＞φ（0）＝1，
所以ex＞x＞0，
又x∈（0，]時(shí)，cosx≥sinx＞0，
所以excosx＞xsinx，
即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0，
故函數(shù)H（x）在（0，]上沒有零點(diǎn).
當(dāng)x∈（，]時(shí)，
H′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣（sinx+xcosx）＜0，
故H（x）在（，]上至多有一個(gè)零點(diǎn)，
又H（）（e）＞0，H（）0，
且函數(shù)H（x）在（，]上是連續(xù)不斷的，
故函數(shù)H（x）在（，]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)?∈[0，]時(shí)，方程g（x）＝x?f（x）的解有一個(gè).
79．已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】
（1）由題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，求導(dǎo)后可得，即可得解；
（2）當(dāng)時(shí)，易得恒成立；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)可得，按照、分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、即可得解.
【詳解】
（1）由已知，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
又，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
（2）①當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，恒成立；
②當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
因?yàn)?，?br /> 所以，在上單調(diào)遞增，
又，所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋院愠闪?，符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，
則存在，對(duì)于，恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，，不合題意.
綜上，所求的取值范圍為.
80．已知.
（1）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間;
（2）若過點(diǎn)能作函數(shù)的兩條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（3）設(shè)，且，求證:
【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.
【分析】
（1）求出，再對(duì)分三種情況討論得解；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出，等價(jià)于直線和函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析即得解；
（3）先求出在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，等價(jià)于，證明，再證明即得證.
【詳解】
解:，
所以.
當(dāng)時(shí)，令，解得或
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)﹐，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
綜上，時(shí)﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br /> 所以
所以切線方程為
且過點(diǎn)，
所以
因?yàn)檫^點(diǎn)能作兩條切線，
所以直線和函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).
因?yàn)?，令?br /> 解得
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
所以.
所以得.
證明:，
則
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
不妨設(shè)，則，
欲證，則，
因?yàn)?，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以只需證明，即，
即，
即
設(shè)
則，
因?yàn)?br /> 所以恒成立，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以
所以
所以原不等式成立.
故.
欲證
即
因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
所以只需證明，即
即
因?yàn)椋?br /> 所以只需證明，即證，顯然成立，
所以原不等式成立，
故
81．設(shè)．
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而有當(dāng)時(shí)，恒成立；
(2) 放縮法構(gòu)造數(shù)列不等式，再利用裂項(xiàng)相消法證明不等式.
【詳解】
(1)由題知，，，故單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，有恒成立.
(2)由(1)知當(dāng)時(shí)，，取
有，
故
即待證不等式成立．
82．已知函數(shù)，.
（1）求證：當(dāng)時(shí)，；
（2）求函數(shù)的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）求出，然后多次求導(dǎo)，通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出其函數(shù)值符號(hào)，最終得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出的最小值，從而得證.
(2)由題意可得，結(jié)合（1）的結(jié)論，討論出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出其最小值，得出答案.
【詳解】
（1）證明：由，得
，，
所以在上單增，，
所以在上單增，，
所以在上單增，，
即當(dāng)時(shí)，.
（2）解：由

，
由（1）知當(dāng).時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)，
則當(dāng)時(shí)，令，得；
令，得，在上單增；
令，得，在上單減，
所以.
83．已知函數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）證明：；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)后可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到即可；
（2）將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造，由，，可知對(duì)分為和討論即可.
【詳解】
（1），于是，.
又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，且.
故當(dāng)時(shí)，，即.
所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.
因此，對(duì)，；
（2）恒成立，
恒成立.
令，，，.
①當(dāng)時(shí)，，
由（1）可知，
在上為增函數(shù)，
恒成立.
時(shí)滿足題意
②當(dāng)時(shí)，由（1）可知
在上單調(diào)遞增，
而∴存在，使得.
∴時(shí)，單調(diào)遞減，
，不合題意，舍去.
綜上，.
84．設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而可得函數(shù)單調(diào)性.
（2）由已知將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，令，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出單調(diào)遞增，求得的最大值，由恒等式的思想可得出的取值范圍.
【詳解】
解：（1），令，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
所以，即，所以單調(diào)遞增.
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
令，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以單調(diào)遞增，
所以，所以.
85．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，曲線在點(diǎn)處的切線l與y軸交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．
【答案】（1），；（2）3．
【分析】
（1）利用幾何意義求出切線方程，再求出，的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求值域即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）作差構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故只需，解不等式即可求的范圍，進(jìn)而求出的最大值．
【詳解】
解：（1），所以，
所以（a），又（a），
所以切線的方程為，
因?yàn)榍芯€與軸交于點(diǎn)，
所以，
令，
（a），
當(dāng)時(shí)，，即（a），
當(dāng)時(shí)，，即（a），
故（a）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（a），當(dāng)時(shí)，（a），
所以（a）的值域?yàn)椋?br /> 即的取值范圍為，．
（2），
令，，
令
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，于是在上單調(diào)遞增，
因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以只需滿足，解得．
故的是大值為3．
86．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
（1）證明：在上沒有零點(diǎn)；
（2）證明：當(dāng)，.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）通過構(gòu)造函數(shù)和二次求導(dǎo)可證得時(shí)，總有；
（2）分和兩種情況證明. 當(dāng)時(shí)，易證；當(dāng)時(shí)，仿（1）可證得，即單調(diào)遞增，進(jìn)而可證得.
【詳解】
證明：（1）因?yàn)?，所?br /> ，
令，則

在上顯然，所以在上單調(diào)遞增，

即時(shí)，總有，
故在上沒有零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由（1）可知，
在上單調(diào)遞增，
，即時(shí)，總有，
所以在上單調(diào)遞增，
.
綜上所述，，.
87．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）存在，，，求證：.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出，當(dāng)時(shí)，的最小值大于零，則在上單調(diào)遞增；
（2）令，，將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明最小值小于0.
【詳解】
（1）(方法一)當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(方法二)當(dāng)時(shí)，，，
由，
結(jié)合函數(shù)與圖象可知：當(dāng)時(shí)，，，
所以兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，且.
所以當(dāng)時(shí)，.
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）證明：不妨設(shè)，由得，
，
.
設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，
，從而，
，
，
要證只要證，
下面證明：，即證，
令，則，即證明，只要證明：，
設(shè)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，從而得證，即，
，即.
88．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，且；
（2）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）首先確定函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而判斷函數(shù)在的單調(diào)性及極值，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，最后證明即可；
（2）根據(jù)題意可得，在上恒成立，參變分離得，構(gòu)造函數(shù)，，判斷函數(shù)在上單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，最后實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
(1)當(dāng)時(shí)，，
，
，，
則，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
又，
，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一零點(diǎn)，
使得，
所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，
又，所以.
(2) 若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，
參變分離得，
令，，
，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一使得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
,
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在使得，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
又因?yàn)?，所?br /> 所以，
綜上：.
89．已知函數(shù)．
（1）求的最小值；
（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，并令，再求導(dǎo)得，注意到，所以得單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性即可解決.
（2）方法1，先驗(yàn)證是不等式成立，再對(duì)時(shí)，利用分離參數(shù)法和洛必達(dá)法則求解即可；方法2，直接移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，求二階導(dǎo)，再分類討論求解即可.
【詳解】
解：（1），，，
∴在上為增函數(shù)，又，
∴，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增，
．
（2）方法1：（分離參數(shù)法）
當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)，，
設(shè)（）

設(shè)，（），
∴單調(diào)遞增，
又，∴，，
∴單調(diào)遞增，∴．
，∴．
方法2：設(shè)，
則，
，
∵，∴，∴單調(diào)遞增，
①當(dāng)時(shí)，，即，
單調(diào)遞增，恒成立，
②當(dāng)時(shí)，，，
，使，
，單調(diào)遞減，
，不合題意.
由①②知實(shí)數(shù)的取值范圍是．
90．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求得的導(dǎo)數(shù)，判斷不成立，設(shè)，，求得導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，得到，的不等式，再運(yùn)用分析法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，
可得切線的斜率為，且，
所以切線的方程為，
即為；
（2）證明：由題意可得，
若，則，所以在遞增，
因此不存在，使得，所以；
設(shè)，，則，
令，，
所以在遞減，又，所以在恒成立，
從而在遞減，從而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因?yàn)?，所以?br /> 因此要證，
只需證明，
即證，③
設(shè)，，則，
所以在上為增函數(shù)，
又因?yàn)?，所以，即③式成?
所以獲證.
91．已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若存在，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案】（1）有極小值，無極大值；（2）證明見解析.
【分析】
(1)首先整理得到，求導(dǎo)得，由此可知導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)跟的取值有關(guān)，所以對(duì)進(jìn)行分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的極值.
(2)首先證明當(dāng)，在上為增函數(shù)，
分析得到當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，
由得到關(guān)系式化簡(jiǎn)得到
，
又根據(jù)
將上式化簡(jiǎn)得，
所以將問題轉(zhuǎn)化成即成立，
接著利用換元法證明上述不等式成立即可.
【詳解】
（1）由，，
當(dāng)，，在上為增函數(shù)，無極值，
當(dāng)，，；，，
在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
，有極小值，無極大值，
綜上知：當(dāng)，無極值，
當(dāng)，有極小值，無極大值.
（2），，
，，，
所以，當(dāng)，在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，恒有，即成立；
當(dāng)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)，在上為增函數(shù)，
這時(shí)，在上為增函數(shù)，
所以不可能存在，，
滿足當(dāng)時(shí)，，
所以有.
設(shè)，得：
，
①，
，
②，
由①②式可得：，
即，
又，，
③，
要證④，所以由③式知，
只需證明：，即證，
設(shè)，只需證，
即證：，令，
由，在上為增函數(shù)，
，成立，
所以由③知，成立.
92．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求證：；
（2）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的最小整數(shù)值.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）2.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，可得解析式，求導(dǎo)可得解析式，根據(jù)x的范圍，分析可得的單調(diào)性，即可得的最大值，分析即可得證.
（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最值，分析不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得，結(jié)合解析式，可得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可求得零點(diǎn)范圍，綜合即可得答案.
（1）
當(dāng)時(shí)，，
則，
因?yàn)椋?所以，
所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以；
（2）
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，
因?yàn)椋裕?br /> 所以，所以函數(shù)無零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，設(shè)， 因?yàn)椋?br /> 所以， 即，
，
所以函數(shù)無零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
又，，
所以在上存在零點(diǎn)，使，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
因?yàn)椋?br /> ，
所以函數(shù)在，各一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，是恰有兩個(gè)零點(diǎn)的最小整數(shù)值 .
93．已知，，．
（1）若，證明：；
（2）對(duì)任意都有，求整數(shù)的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求導(dǎo)求得存在唯一零點(diǎn)，使得，在上恒成立上可以證明在定義域上的單調(diào)性，可知，便可證明結(jié)論.
（2）先判斷整數(shù)可知，接著證明
在區(qū)間上恒成立即可可出結(jié)論.
【詳解】
解：
（1）證明：設(shè)，，則．
因?yàn)椋?br /> 則在，單調(diào)遞減，，
所以存在唯一零點(diǎn)，使得
則在時(shí)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，
所以在上恒成立上，所以在單調(diào)遞增
則，即，
所以．
（2）因?yàn)閷?duì)任意的，
即恒成立
令，則
由（1）知，所以
由于為整數(shù)，則
因此
下面證明，在區(qū)間上恒成立即可.
由（1）知，則
故
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立.
綜上所述, 的最大值為2．
94．已知：
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若，試分析，的根的個(gè)數(shù).
【答案】
（1）
（2）無實(shí)根
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即在上恒成立，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合m的范圍判斷即可.
（1）
解：
由于在上遞增得：在上恒成立，
即在上恒成立
令，，
則，
故在上遞減，于是，
故；
（2）
解：，，故在上遞增，
又，，
故唯一，使得在上遞減，在上遞增.
故且
故，
令，
則
故在上遞減
當(dāng)時(shí)，由遞減知，
故，
即，
從而有在上恒成立.
故時(shí)，無實(shí)根.
95．已知.
（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，分別求、、，結(jié)合，可判斷恒成立，即可求證；
（2）先證明為奇函數(shù)，，只需證明在上無零點(diǎn)，由（1）知，若可知符合題意，再討論，利用單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理即可求解.
（1）
當(dāng)時(shí)，，，
，，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以，所以在上單調(diào)遞增；
（2）
因?yàn)椋?br /> 所以為奇函數(shù)，，
要證明只有一個(gè)零點(diǎn)，只需證明在上無零點(diǎn)，
由（1）知：當(dāng)時(shí)，，故，
令，則時(shí)，無零點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，則，無零點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以在上單調(diào)遞增，且，，
故存在唯一，使得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，
所以，
取，時(shí)，令，
可得，即，且時(shí)，，
由零點(diǎn)存在性定理，在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
綜上所述：的取值范圍為
96．已知函數(shù)，.
（1）討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（2）若存在，使得成立，證明：.
【答案】（1）一個(gè)；（2）證明見解析.
【分析】
（1）分、兩種情況討論，在時(shí)，分析得出，可得出在上無零點(diǎn)，在時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；
（2）利用參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，分析得出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，，
所以，對(duì)任意的，，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
因?yàn)?，?br /> 所以，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）由得，
令，，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br /> 所以，存在，使得，
變形可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，其中，
對(duì)于函數(shù)，，，
所以在遞減，則，
故，所以成立.
97．已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，求在上的最小值；
（2）令（），若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出最值；
（2）首先借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)證得若對(duì)于任意的恒成立，則，接下來只需要驗(yàn)證若，且時(shí)，即可．
（1）
由題意，得到，
令（），則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以，
所以即在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為；
（2）
因?yàn)閷?duì)于任意的恒成立，且，
又，所以．
①，則，
令，則，顯然在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．
當(dāng)，即時(shí)，，又，易證，
所以，所以，使，
所以在上，所以在上單調(diào)遞減，
所以對(duì)，，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，，符合題意，所以．
②若，只需證明當(dāng)時(shí)，即可．
由題意知（），又因?yàn)椋?br /> 所以，
令（），則．
因?yàn)椋?，所以?br /> 因此，在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，可得，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時(shí)，在上恒成立．
故此時(shí)也符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
98．已知函數(shù)（其中為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的最小值；
（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?
【答案】（1）；（2）最小值為；（3）.
【分析】
（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)題意得到，解得答案。
（2）計(jì)算得到，求導(dǎo)得到，令，則，討論和的情況，得到在上單調(diào)遞減和在上單調(diào)遞增，得到函數(shù)的最小值。
（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，考慮和，結(jié)合（2）結(jié)論根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，同理時(shí)類似，計(jì)算得到答案。
【詳解】
解：因?yàn)?，所以?br /> 由題意得解得.
由（1）知
所以，令，則
當(dāng)時(shí)，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，無最小值.
當(dāng)時(shí)，由，得，所以在上單調(diào)遞增，
故，所以在上單調(diào)遞增，所以.
綜上，的最小值為.
對(duì)分情況討論如下：
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，不等式恒成立.
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即
令，則.
當(dāng)時(shí)，由（2）知，
所以單調(diào)遞增，從而，滿足題意.
當(dāng)時(shí).由知在上單調(diào)遞增，
易證，故，
從而.
又，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
同上，令，則.
當(dāng)時(shí)，由（2）可知，所以單調(diào)遞增，故，滿足題意
綜上，可得入的取值范圍是.
99．已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，的取值范圍是.
【分析】
（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，對(duì)x分討論即可得答案；
（2）由題意，將恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立即可，對(duì)求導(dǎo)得，分、、三種情況討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.
【詳解】
（1）證明：，.
當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
又，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
由于當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，.
.
①若，當(dāng)時(shí)，，
故，遞增，此時(shí)，不合題意；
②若，當(dāng)時(shí)，由知，存在，當(dāng)，
，遞增，此時(shí)，不合題意；
③若，當(dāng)時(shí)，由知，對(duì)任意，，遞減，
此時(shí)，符合題意.
綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿足題意，的取值范圍是.
100．已知函數(shù)，．
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）若，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）由題意分類討論當(dāng)、、三種情況即可證得題中的結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)，分析可知，可得出，求出實(shí)數(shù)的值，然后驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的即可.
【詳解】
（1）因?yàn)椋瑒t，.
①當(dāng)時(shí)，，；
②當(dāng)時(shí)，，，，
則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故；
③當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，，
則，對(duì)任意的恒成立，
所以，函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
對(duì)任意的，，即，
，即，
所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
綜上所述，對(duì)任意的，；
（2）因?yàn)?，所以，即?br /> 不妨設(shè)，原條件即．
可得．
因?yàn)榍?，所以時(shí)，取得最小值，
由于函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故.
所以，解得，
下面來檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值點(diǎn)，
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
此時(shí)，，合乎題意.
綜上所述，.

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專題37 導(dǎo)數(shù)證明恒成立問題大題-2022年新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn) 題型專項(xiàng)練習(xí)(新高考適用)：

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