專題37 導(dǎo)數(shù)證明恒成立問(wèn)題大題-2022年新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn) 題型專項(xiàng)練習(xí)(新高考適用)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題37 導(dǎo)數(shù)證明恒成立問(wèn)題大題必刷100題
1．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）求出的解析式，，當(dāng)時(shí)，，，，由的單調(diào)性即可得最小值；
（2）定義域?yàn)椋?，令，則，分別討論，，和時(shí)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理以及即可求解.
（1）
當(dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)闀r(shí)，，，
所以時(shí)，，
所以在上是單調(diào)減函數(shù)，，
所以在上的最小值是．
（2）
定義域?yàn)椋?br /> 令，則，
若，由（1）知，則，在區(qū)間恒成立．
若，因?yàn)椋?br /> ，，，則，
所以即是增函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，，
所以．又因?yàn)椋?br /> 所以存在正數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，所以，不合題意．
若，因?yàn)?，?br /> ，，．則，
所以是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
．又，
所以存在正數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以，不合題意．
若，因?yàn)?，?br /> ，，，
則，是增函數(shù)．因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的值為．
2．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性：
（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．
【答案】
（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）求導(dǎo)得，在分，兩種情況討論求解即可；
（2）根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)最值即可.
（1）
解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，令，得，令，得；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）
解：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，
所以對(duì)恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立．
設(shè)函數(shù)，則，
設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，
所以，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以；
故，即的取值范圍是．
3．已知函數(shù)，.
（1）若，證明：；
（2）若恒成立，求a的取值范圍.
【答案】
（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）由，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可證明；
（2）先由可得，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)，不等式的性質(zhì)證明最小值恒大于0即可求解.
（1）
當(dāng)時(shí)，，，，
易知在單調(diào)遞增，且，
所以時(shí)，，時(shí)，
∴在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
∴.
（2）
∵，
∴，
∴，
，，易知在單調(diào)遞增，
且，，
∴，且在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
∴，且，
∴，
易證，
∴，∴，
∴，∴
∴.當(dāng)時(shí)，，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
4．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【分析】
（1）根據(jù)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡(jiǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出，分類討論，分別求出，令求解即可.
（1）
，
.
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，令，得.
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是R；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）
，
，
，
∵，
∴，在上單調(diào)遞增，
.
當(dāng)，即時(shí)，
，在上單調(diào)遞增，
則，，
故.
當(dāng)，即時(shí)，
，
，，即或，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
則，
，
∴.
令函數(shù)，且，
，在上單調(diào)遞增，
，
∵（），
∴.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
5．已知，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．
【答案】
（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）
【分析】
(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再進(jìn)行分類討論判斷導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；
(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，再利用（1）的結(jié)論進(jìn)行求解，即可得到答案；
（1）
，，
①當(dāng)時(shí)，，
在恒成立，，在單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，令，則在恒成立，
在單調(diào)遞增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在單調(diào)遞增，
綜上所述：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）
當(dāng)時(shí)，
在恒成立，令，
，令，
由（1）得，在單調(diào)遞增，且，
在恒成立，在單調(diào)遞增，，
.
6．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
（1）求的解析式；
（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出和以及，利用點(diǎn)斜式求出切線方程再根據(jù)多項(xiàng)式相等可得答案；
（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，都有，利用導(dǎo)數(shù)求出、可得答案.
（1）
，，，
所以在點(diǎn)處的切線方程是，
即，化簡(jiǎn)得：，
又切線方程是，故，
，，
所以的解析式為.
（2）
因?yàn)閷?duì)任意，都有，
所以對(duì)任意，都有，
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，
所以，，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
7．已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
（1）只有一個(gè)零點(diǎn)
（2）
【分析】
（1）首先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（2）可通過(guò)討論在的最小值，使恒成立，來(lái)確定實(shí)數(shù)的取值范圍
（1）
因?yàn)椋?，?br /> 因?yàn)椋裕栽谏鲜菃握{(diào)增函數(shù)，
又因?yàn)?，?br /> 所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).
（2）
因?yàn)?，所以?br /> 令，，因?yàn)椋?br /> 所以，為增函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，即，
所以在上為增函數(shù)，，
所以時(shí)滿足時(shí)都有；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
又，
所以，使，
所以時(shí)，即，為減函數(shù)，，與矛盾，所以不成立，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是
8．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在時(shí)取極值，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；（2）
【分析】
（1）由可得的值，進(jìn)而可得表達(dá)式，再分別解不等式和即可得單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)題意可得對(duì)于恒成立，令，只需
，利用導(dǎo)數(shù)討論、、時(shí)的單調(diào)性以及最值即可求解.
【詳解】
（1），
因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取極值，所以，
可得：，所以，
，
由可得：或；由可得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在時(shí)取極大值，符合題意；
所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
（2），
若當(dāng)時(shí)，可得對(duì)于恒成立，
令，只需，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
，所以不成立
當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋灾恍?，解得：，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以，所以恒成立，所以符合題意，
綜上所述：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
9．已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù).
（1）試確定的值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意，不等式有解，求的取值范圍.
【答案】（1）；；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3）
【分析】
（1）由，求得，由，得;
（2）將(1)中得到的的值代入函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而得到．判定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）知，得到函數(shù)最大值，根據(jù)不等式有解得到的不等式求解即得.
【詳解】
（1）由題意知，因此，從而．
由題意求導(dǎo)得，因此，解得；
（2）由（1）知．令，解得．

1

＋
0
－

極大值

因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，而的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3）由（2）知，在處取得極大值，此極大值也是最最值．
要使（）有解，只需．
即，從而．
解得．
所以的取值范圍為.
10．已知函數(shù)，，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.
【答案】
（1）在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
（2）.
【分析】
（1）的定義域?yàn)?，求，分別解不等式，即可得單增區(qū)間和單減區(qū)間即可求解；
（2）求出的解析式以及，討論時(shí)，在上單調(diào)遞減，而不符合題意，當(dāng)時(shí)，對(duì)再求導(dǎo)可判斷在上單調(diào)遞增，，再討論和時(shí)，的單調(diào)性和最值即可求解.
（1）
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 由可得，
由可得，由可得，
所以在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
（2）
由題意得，且，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，故在上不可能恒成立?br /> 當(dāng)時(shí)，令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，則，
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，故在上恒成立；
②當(dāng)，即時(shí)，，，
故存在在使得，
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，
故在上不可能恒成立，故不符合題意.
綜上所述，的取值范圍.
11．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
【答案】
（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，極小值
（2）
【分析】
（1）由題可求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而再求出極值即可；
（2）分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可求解.
（1）
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)椋?br /> .
當(dāng)時(shí)，或，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.
（2）
.
①當(dāng)時(shí)，，，
令，解得，
則當(dāng)時(shí)，，且，
所以函數(shù)恒成立，不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
令，解得，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，
要使得恒成立，則只需，
解得，故.
綜上，的取值范圍是.
12．已知函數(shù).
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
（1）為上的單調(diào)遞減函數(shù)
（2）
【分析】
（1）根據(jù)題意得，再令，求導(dǎo)得，進(jìn)而得函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù).
（2）根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，再令，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可求解.
（1）
解：當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即，
所以函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù).
（2）
解：若恒成立，即恒成立，
顯然，當(dāng)時(shí)成立，
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，得或，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由于時(shí)，由正數(shù)趨近于，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)的草圖如圖，
所以恒成立，只需
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

13．己知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】
（1）答案見(jiàn)解析．
（2）
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得單調(diào)性；
（2）利用（1）的結(jié)論，在時(shí)，由函數(shù)的最小值不小于1得結(jié)論，時(shí)，，題設(shè)不等式不可能成立．由此即得．
（1）
解：函數(shù)定義域是，
，
時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，
的增區(qū)間是，減區(qū)間是和．
同理可得時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是和．
（2）
由（1）知，若，則時(shí)，，恒成立，
則，，
若，時(shí)，，不合題意．
綜上，的取值范圍是．
14．已知函數(shù)，
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在，使得成立，求a的取值范圍．
【答案】
（1）極小值為，無(wú)極大值
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）
【分析】
（1）研究的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出的極值；（2）先求，再解不等式與，求出單調(diào)區(qū)間，注意題干中的的條件；（3）先把題干中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有，再結(jié)合第二問(wèn)研究的的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求出不同范圍下的，求出最后結(jié)果
（1）
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br /> 令得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，的極小值為，無(wú)極大值
（2）
，定義域?yàn)?br />
因?yàn)?，所以，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
綜上：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）
存在，使得成立，等價(jià)于存在，使得，即在上有
由（2）知，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，由得：，因?yàn)?，?
當(dāng)，即時(shí)，由（2）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最小值為
令
因?yàn)?，所以，則，即，不滿足題意，舍去
綜上所述：a的取值范圍為
15．已知函數(shù)()．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出a的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】
（1）答案見(jiàn)解析
（2）存在，a的取值集合為
【分析】
(1)對(duì)求導(dǎo)得，然后結(jié)合的定義域，通過(guò)判別式討論的零點(diǎn)分布，進(jìn)而得到的單調(diào)區(qū)間；(2)通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值和極值問(wèn)題，進(jìn)而求出的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)檢驗(yàn)的值滿足題意即可求解.
（1）
()，
令，其中，
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．
②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，
的兩根分別為，，，
由韋達(dá)定理可知，，，
(i)當(dāng)時(shí)，可知在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．
(ii)當(dāng)時(shí)，由得或；由得．
故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）
設(shè)，則，
依題意，函數(shù)恒成立，又由，進(jìn)而條件轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，
所以是函數(shù)的最大值，也是函數(shù)的極大值，
故，解得，
下面證明當(dāng)時(shí)，滿足題意，
()，
令可得；令可得，
故在上遞增，在上遞減．
因此，即不等式恒成立．
綜上所述，存在且a的取值集合為．
16．已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：；
（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
【答案】
（1）
（2）證明見(jiàn)解析
（3）證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）利用參變量分離法得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明出，即可證得結(jié)論成立；
（3）分析可得，證得，利用基本不等式可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析看可知函數(shù)在上為增函數(shù)，分析得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
（1）
解：由可得，可得，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，；
（2）
解：要證，即證，
由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
因?yàn)楹腿〉鹊臈l件不同，故，即；
（3）
解：由題知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨設(shè)，記.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，則，即，
所以.
因?yàn)?br /> ，
所以，即.
令，，則在上單調(diào)遞增.
又，
所以，即，所以.
17．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求，分別討論不同范圍下的正負(fù)，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.
【詳解】
解：（1）由已知定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若對(duì)任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
當(dāng)時(shí)，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對(duì)任意的恒成立.
所以綜上所述：.
18．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)函數(shù)，求得，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可求得切線方程；
（2）由題意得需，對(duì)求導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，再對(duì)求導(dǎo)函數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性，繼而得的單調(diào)性和函數(shù)值的符號(hào)，由此得函數(shù)的單調(diào)性和值域，由此可求得的取值范圍.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，且定義域?yàn)椋?br /> 所以，在處的切線為，即.
（2）由題，當(dāng)時(shí)，，則只需，又，因?yàn)椋?，有?br /> 設(shè)，則，有，設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，所以，則有在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)，在上，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，有，可得在上單調(diào)遞增，所以符合題意；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以存在，使得，此時(shí)，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在上，，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，不滿足當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，的取值范圍為.
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)的極小值點(diǎn)為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而利于點(diǎn)斜式求出切線方程；
（2）依題意可得，再對(duì)參數(shù)分類討論，當(dāng)不滿足條件，當(dāng)或時(shí)，令，設(shè)方程的兩根為和，則，，，則，，令，利于導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；
【詳解】
解：（1）由，函數(shù)可化為，所以，當(dāng)時(shí)，所以在點(diǎn)處切線的斜率為.又即切點(diǎn)為，所以切線方程為，即所求切線方程為.
（2）因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)即或時(shí)，令，設(shè)方程的兩根為和，因?yàn)闉闃O小值點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，所以則.因?yàn)椋?，令，，所以，所以，，?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.又恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最大值的表達(dá)式；
（2）若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）討論對(duì)稱軸與動(dòng)區(qū)間的位置關(guān)系，即分，，然后簡(jiǎn)單計(jì)算即可.
（2）通過(guò)構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，并分類討論，計(jì)算結(jié)果，最后進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
解：（1），
①當(dāng)即時(shí)，，
②當(dāng)即時(shí)，，

（2）對(duì)于任意的恒成立，
則，
解法一：，兩邊同除以，
即對(duì)于任意的恒成立，
設(shè)，，
，
①當(dāng)，即時(shí)，，為增函數(shù)，
，即，滿足．
②當(dāng)，即時(shí)，，為減函數(shù)，
，即，滿足
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
只需，
即，
設(shè)，其中，
為遞減函數(shù)，，
，
故，，
綜上：．
解法二：設(shè)，，則，
令，則，
在上為增函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，，即，為增函數(shù)．
則只需，得，故時(shí)成立；
當(dāng)時(shí)，，即，為減函數(shù)．
則只需，得，
故時(shí)成立；
當(dāng)時(shí)，

時(shí)成立．
綜上：的取值范圍是．
21．已知函數(shù)，，其中．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可得切線方程；
（2）將不等式對(duì)于任意的恒成立轉(zhuǎn)化為任意的，恒成立，設(shè)，，求導(dǎo)，分，，討論，通過(guò)求求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
解：（1）由題意知：，，即切點(diǎn)為，
，，
故切線方程為：，即．
（2）由題意知：不等式對(duì)于任意的恒成立，
任意的，恒成立，
設(shè)，，
，
①當(dāng)，即時(shí)，，為增函數(shù)，
，即，滿足．
②當(dāng)，即時(shí)，，為減函數(shù)，
，即，滿足
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
只需，
即，
設(shè)，其中，
為遞減函數(shù)，，
故，，
綜上：．
22．已知函數(shù)．
（1）若存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，且有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】
（1）分析可知在上有零點(diǎn)，且，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）分析可知，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，可得出，消去可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，分析得出，由函數(shù)在上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
【詳解】
（1）的定義域?yàn)?，則，
則，設(shè)，
則在上有零點(diǎn)，且，
所以，，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）由題意可得，，
令，解得．
因?yàn)?，所以，?br /> 所以在上有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí),，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
所以．
因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ矣星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)解，
所以，即，
消去并整理得．
令，則，，
在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以．
又，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．
23．已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）若，，證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）由題可知等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可證；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可求函數(shù)的極值，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，，即.
于是當(dāng)時(shí)，.
（2）定義域?yàn)椋?
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
，
所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)；
因?yàn)?，，所以?br /> ∴，
當(dāng)滿足且時(shí)，由（1）可知，
∴函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
24．已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），；（2），.
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線方程，再與題設(shè)中切線方程比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得到兩個(gè)方程，即可解出；
（2）由同構(gòu)思想將整理變形為，構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，由于函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，可得，再分參得，求出函數(shù)的最大值，即解出．
【詳解】
（1）由題意，，，，
則曲線在處的切線斜率，，
故曲線在處的切線方程為：，
結(jié)合題意從而有，，，所以.
所以，．
（2）因?yàn)椋矗?br /> 即，
構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
注意到函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
故，即，所以.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取極大值，即為最大值，所以的最大值為，
所以，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，.
25．已知函數(shù)f（x）=ex﹣alnx（a∈R且為常數(shù)）.
（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）只有1個(gè)極值點(diǎn)；（2）（﹣∞，1].
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），再對(duì)a分情況討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，記，通過(guò)求F（x）的最小值得結(jié)論.
【詳解】
（1）由題設(shè)知：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，
令g（x）=xex，∵（xex）′=ex+xex>0在（0，+∞）上恒成立，
∴函數(shù)g（x）=xex在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?，+∞），
①當(dāng)a≤0時(shí)，xex﹣a>0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；
②當(dāng)a>0時(shí)，方程xex﹣a=0有唯一解為x0（x0>0），
當(dāng)00時(shí)，函數(shù)f（x）只有1個(gè)極值點(diǎn)；
（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，
即xex﹣lnx﹣1≥bx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，
∴對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立
記，則，
記h（x）=x2ex+lnx，則，易知h'（x）>0在（0，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，h（1）=e>0，
∴存在，使得h（x0）=0，且當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)h（x）0，故F（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（x）min=F（x0），即，
又h（x0）=0，故，即，即，
由（1）知函數(shù)g（x）=xex在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴，，
∴b≤1.
綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（﹣∞，1].
26．已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的最值；
（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1），無(wú)最小值；（2），.
【分析】
（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)得最值；
（2）分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出答案.
【詳解】
解：（1），，故其定義域?yàn)椋?br /> ，
令，得，
令，得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，無(wú)最小值；
（2），
，
令，

令，解得，
當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，，變化如下表

，

0

由表知，當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍，.
27．已知函數(shù)，設(shè)在點(diǎn)處的切線為
（1）求直線的方程；
（2）求證：除切點(diǎn)之外，函數(shù)的圖像在直線的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍
【答案】（1）y＝x﹣1；（2）見(jiàn)詳解；（3）（﹣∞，1）.
【分析】
（1）求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義k切＝f′（1），進(jìn)而可得答案．
（2）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求導(dǎo)得h′（x），分析h（x）的單調(diào)性，最值，進(jìn)而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，則除切點(diǎn)（1，0）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．
【詳解】
（1），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義k切＝f′（1）＝1，
所以直線m的方程為y＝x﹣1．
（2）證明：設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，
，
函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，
p′（x）＝﹣﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
所以h（x）max＝h（1）＝0，
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切點(diǎn)（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切點(diǎn)（1，0）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
則若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，
即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，
令g（x）＝，x＞1，
g′（x）＝
＝，
令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）?，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1
q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）單調(diào)遞減，
又q（1）＝0，
所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）單調(diào)遞減，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，
又，
所以a＜1，
所以a的取值范圍為（﹣∞，1）．
28．已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，.
【分析】
（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，對(duì)x分討論即可獲得證明；
（2）由題意，將恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立即可，對(duì)求導(dǎo)得，易得單增，分與兩種情況討論，結(jié)合的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可得到滿足題意的a.
【詳解】
（1），,
當(dāng)時(shí)，，，則；
當(dāng)時(shí)，，，則，
當(dāng)時(shí)，．
所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 由（1）得，當(dāng)時(shí)，，又，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立．
由于當(dāng)時(shí)，恒成立，
故等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，恒成立．
，．
當(dāng)時(shí)，，，故；
當(dāng)時(shí)，，，故．
從而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
①若，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
②若，即，取，
則，且，
故存在唯一，滿足，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，不符合題意；
若，則，符合題意，此時(shí)由得；
若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，不符合題意．
綜上可知：存在唯一實(shí)數(shù)滿足題意．
29．已知函數(shù)，，
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，使成立，求m的取值范圍.
（3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，并且證明：.
【答案】（1）f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增；（2）（0，）；（3）k＞1﹣ln2，證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）求導(dǎo)得，分析的正負(fù)，進(jìn)而可得f（x）的單調(diào)性，即可得出答案．
（2）求出f（x）min，令h（x）＝，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．
（3）當(dāng)m＝2時(shí)，f（x）＝lnx+，分析f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）min，若f（x）＝k有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，則k＞1﹣ln2，且lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，推出lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣，令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，求導(dǎo)分析F（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x1）＜f（1﹣x2），再結(jié)合f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，即可得出答案．
【詳解】
解：（1），
令f′（x）＞0，得x＞，
令f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，
令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），
h′（x）＝＝，
在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
所以h（x）min＝h（2）＝＝，
所以1﹣lnm＞，
所以0＜m＜，
所以m的取值范圍是（0，）．
（3）當(dāng)m＝2時(shí)，f（x）＝lnx+，
由（1）可知f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，
若f（x）＝k有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，
則k＞1﹣ln2，
所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，
得lnx1+＝lnx2+，
所以lnx1＝lnx2+﹣，
f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣
令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，

＝，
因?yàn)閤＞，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
所以F（x）在（，+∞）單調(diào)遞減，
所以F（x）＜F（）＝
所以f（x1）＜f（1﹣x2），
因?yàn)?＜x1＜＜x2，
所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，
所以0＜1﹣x2＜，
因?yàn)閒（x）在（0，）上單調(diào)遞減，
所以x1＞1﹣x2，
所以x1+x2＞1，得證．
30．已知函數(shù)，．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，證明：；
（2）設(shè)，若對(duì)，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）利用條件求出，然后研究函數(shù)的最值即可證明不等式；
（2）原不等式等價(jià)于，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
（1）證明：因?yàn)?，所以切線的斜率．
又因?yàn)榍芯€與直線平行，所以，解得，
所以．
，
由得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
由得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以在處取極大值，也為最大值，
且．所以；
（2）證明：由得，
整理得．
設(shè)，則在上

恒成立，
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，依題意得．滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，
由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在處取極小值，也為最小值．

．
依題意得．可得，解得．
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．
31．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求的導(dǎo)函數(shù)，討論參數(shù)判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)性；
（2）由題設(shè)可知在上恒成立，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可求的取值范圍.
【詳解】
（1）∵，
當(dāng)時(shí)，，由得；由得.
當(dāng)時(shí)，令，令得，.
當(dāng)時(shí)，由得；由得.
當(dāng)，即時(shí)，由得；由得.
當(dāng)，即時(shí)，恒成立.
當(dāng)，即時(shí)，由得，由得.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由，故在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，則，
令，則，
，則，
在上單調(diào)遞減，則，
，則在上單調(diào)遞減，有，

的取值范圍是.
32．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性．
（2）設(shè)，若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）單調(diào)性見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）求得，分和兩種情況分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，結(jié)合，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br /> （?。┊?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令得到，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由，令，則，故，
證明：時(shí)符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
以下證明：，
構(gòu)造函數(shù)，
則．
令，則，
令，可得；令，可得，
于是在上遞減，在上遞增，于是，
可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，故，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍．
33．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）的極大值為，極小值為；（2）．
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值即可.
（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而得到，再解不等式即可.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，
，
令，解得或．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以的極大值為，極小值為．
（2）．
令，即，解得或．
因?yàn)?，所以?dāng)x變化，，的變化情況如下表：

1

+
0
-
0
+

單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，有，，，
所以，從而．
又函數(shù)在處取得極小值，
所以為函數(shù)在R上的最小值．
因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，
所以，解得．
所以a的取值范圍是．
34．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）．
【分析】
（1）兩次求導(dǎo)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而得出的單調(diào)性；
（2）轉(zhuǎn)化為成立，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性可判斷.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
∵，∴在上遞增，即在上遞增，
又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，
①當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得；
②當(dāng)時(shí)，可得恒成立，
設(shè)，則，
設(shè)，可得，，
由，可得恒成立，可得在遞增，
∴，
∴恒成立，即在遞增，∴，
再令，可得，
當(dāng)時(shí)，，在遞增；
當(dāng)時(shí)，，在遞減，
∴，即，
綜上：的取值范圍是.
35．已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求使在區(qū)間上恒成立的的所有值.
【答案】（1）答案不唯一，見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)，分，討論求解即可得答案；
（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故根據(jù)題意得，即，再令，研究函數(shù)最值即可得答案.
【詳解】
（1）由題意得，
①當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）時(shí)，，
∵在區(qū)間上恒成立，
∴，∴.
令，解得，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴.
∴，即.
設(shè)，則，
令，得，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，
∴在區(qū)間上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
∴滿足不等式的的值為．
綜上，使在區(qū)間上恒成立的的所有值為．
36．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到，，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；
（2）由題意得到，，求得，分和類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br /> 可得，所以，又由，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）對(duì)任意的，要使成立，只需任意的，.
又由，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，所以只要，從而，所以滿足題意；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，
從而時(shí)，與矛盾，故不滿足題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
37．已知函數(shù)，，…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求，分別討論、、以及時(shí)，求不等式和的解集即可求解；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，分四類、、以及時(shí)討論時(shí)的范圍，前三類只需舉反例說(shuō)明不成立，當(dāng)時(shí)，分和兩種情況討論即可求解.
【詳解】
（1）由可得
①若，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
②若，由得：或，且，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
③若，由得：，
恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
④若，由得：或，且，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，，，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，所以，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
所以對(duì)恒成立，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
所以，所以，
綜上可知：.
38．已知函數(shù)，其中.
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，分析正負(fù)即得解；
（2）轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)有，，只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可，當(dāng)可轉(zhuǎn)化為，令函數(shù)，即對(duì)恒成立，求導(dǎo)分析單調(diào)性，證明即可.
【詳解】
（1）依題意，，故，
令，解得，故當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）依題意，，
令，得，
①當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，
②當(dāng)時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)，即恒成立，
令函數(shù)，即對(duì)恒成立，
由，得，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
因此
令函數(shù)，其中，則，得，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
又，故當(dāng)時(shí)，恒成立，
因此恒成立，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，均有成立，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
39．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求f(x)的極值點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x的方程f(x)＝a有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1）極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；（2）；（3）.
【分析】
（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得其極值點(diǎn)；
（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析可得的范圍；
（3）由題意分離參數(shù)即在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得到答案.
【詳解】
（1），令，
得，
當(dāng)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)，f′(x)g(1)＝－3，所以所求k的取值范圍是為(－∞，－3].
40．已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）0；（2）.
【分析】
（1）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，由此求得的最小值.
（2）利用二次求導(dǎo)的方法研究的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)的最小值來(lái)求得的取值范圍.
【詳解】
（1）當(dāng) 時(shí)，，
，
令，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
所以.
（2），
，，
設(shè)因?yàn)椋?br /> 故存在，有，
且在時(shí)，在時(shí)，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取到最小值，，
又因?yàn)?，要使得恒成立?br /> 只有才能滿足.
故代入，得，
故所求.
41．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有最大值，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域與，討論時(shí)、時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求解；
（2）根據(jù)（1）可得，得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合即可求解．
【詳解】
（1）的定義域?yàn)椋?br /> 由可得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
即，
因此有，得，
設(shè)，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
又，所以，得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
42．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值
（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若對(duì)，不等式恒成立，求c的取值范圍.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）或
【分析】
（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由題可得即可求出；
（2）求出在的最大值即可建立關(guān)系求解.
【詳解】
（1），，
在與時(shí)都取得極值，
，解得，
，
令可解得或；令可解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2），
由（1）可得當(dāng)時(shí)，為極大值，而，
所以，
要使對(duì)恒成立，則，解得或.
43．已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間中的最大值
（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍
【答案】（1）最大值為；（2）.
【分析】
（1）求出，解方程得其根，列表得出的正負(fù)與的單調(diào)性，求出極值，并求出區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值，從而得出最大值；
（2）不等式分離參數(shù)，引入新函數(shù)，，由導(dǎo)數(shù)求得的最大值，從而得的取值范圍．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
令，得，，
因?yàn)椋?br /> 所以與的情況如下：

負(fù)
0
正

減
極小值
減
又，，
所以，
所以在區(qū)間中的最大值為.
（2）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”，
設(shè)，，
則.
因?yàn)榕c在上都是減函數(shù)，
所以在上是減函數(shù)，
所以時(shí)，，
所以在上增函數(shù)，
所以，
所以的取值范圍是.
44．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，若不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2) .
【分析】
(1)通過(guò)已知條件可轉(zhuǎn)化為在由兩個(gè)解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題即可求解；(2)首先結(jié)合(1)中條件求出，之間的關(guān)系，然后對(duì)不等式進(jìn)行參數(shù)分離，并構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法對(duì)新函數(shù)求最值即可求解.
【詳解】
(1)由題意知，的定義域?yàn)椋?br />
則在上的兩個(gè)根為，，
即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，
即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
易知的對(duì)稱軸為：，且的圖像開(kāi)口向下，
又因?yàn)?，?br /> 又由與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
從而的取值范圍為.
(2)由(1)知，在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，
即有兩個(gè)不等實(shí)根，，
所以，，則，，
由得，
即，
令，，
則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
所以對(duì)于恒成立，
故在上單調(diào)遞減，從而，
故的取值范圍為：.
45．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.
（1）求實(shí)數(shù)的值并判斷的單調(diào)性;
（2）記，若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值.
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）最大值是．
【分析】
（1）求導(dǎo)，利用可得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)值可判斷的單調(diào)性;
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.
【詳解】
解:由題意得，的定義域?yàn)椋?br /> ，

切線與直線平行，
，
故

由得，
此時(shí)在上單調(diào)遞增;
由得，在上單調(diào)遞減;
所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
，

在上恒成立，
令.
則
令，
，
在上單調(diào)遞增.且，
所以方程在上存在唯一的實(shí)數(shù)根，且，
則，
所以①，
當(dāng)時(shí)，，即;
當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以
把①代入得，，，
所以，
故整數(shù)的最大值是．
46．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此求得的極值.
（2）將轉(zhuǎn)化為，采用分離常數(shù)法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無(wú)極大值.
（2）因?yàn)樵谏嫌薪猓?br /> 所以在上有解，
當(dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)在上有解，
令，則，
由（1）知時(shí)，即，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
47．已知函數(shù)的圖象與直線相切.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值為.
【分析】
（1）求導(dǎo)，通過(guò)切線，即可求出參數(shù).
（2）設(shè)，再通過(guò)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，求出最小值，即可求解.
【詳解】
解：
若，則，
的圖象不存在斜率為的切線.
若，令可得，
由題意，
得.
（2）設(shè)，
則

令，可得
易知單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減；
在上，單調(diào)遞增.

根據(jù)題意知恒成立，

故
當(dāng)時(shí)，
即的最小值為.
48．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）最小值為.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，分，，，，，分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）所得的函數(shù)單調(diào)區(qū)間，討論，，，的情況，驗(yàn)證是否滿足題意，可得的最小值.
【詳解】
解：（1），定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)，，所以；，
所以的單增區(qū)間；單減區(qū)間；
當(dāng)，令，得.
當(dāng)，則，所以當(dāng)；，
所以的單增區(qū)間；單減區(qū)間
當(dāng)，則，
若，，所以單增區(qū)間為；
當(dāng)，，
所以當(dāng)；；
所以單增區(qū)間，；單減區(qū)間；
當(dāng)，，
所以當(dāng)；；
所以單增區(qū)間，；單減區(qū)間；
綜述：當(dāng)，單增區(qū)間；單減區(qū)間；
當(dāng)，單增區(qū)間為；
當(dāng)，單增區(qū)間，；單減區(qū)間；
當(dāng)，單增區(qū)間，；單減區(qū)間；
（2）由題，對(duì)任意的，都有恒成立，又.
當(dāng)，在上遞減，所以當(dāng)，，不符合，舍去.
當(dāng)，單減區(qū)間，單增區(qū)間.
所以當(dāng)，，不符合，舍去.
當(dāng)，單增區(qū)間為，所以在上遞增，則恒成立；
當(dāng)，單增區(qū)間，，所以在上遞增，則恒成立；
綜述：，所以的最小值為.
49．設(shè)函數(shù).
（1）若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.
【分析】
（1）先求導(dǎo)，令，檢驗(yàn)即得解；代入，分別令，得到單增區(qū)間和單減區(qū)間；
（2）轉(zhuǎn)化為，分，兩種情況討論即可
【詳解】
（1），
，經(jīng)檢驗(yàn)符合條件
，
令，有或，令，有，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）由題意
當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
，即
當(dāng)時(shí)，不成立.
綜上，.
50．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a＝3時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，關(guān)于x的不等式在[0，+￥）上恒成立，求k的取值范圍．
【答案】（1）減區(qū)間為（－1，2），増區(qū)間為（2，＋∞）；（2）．
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類討論，利用求得的取值范圍.
【詳解】
（1）的定義域?yàn)?br /> 當(dāng)a＝3時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，
是増函數(shù)，
所以，f(x)的減區(qū)間為（－1，2），増區(qū)間為（2，＋∞）．
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，，
，即，
設(shè)，則只需在恒成立即可．
易知，
，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)g(x)在上單調(diào)通減，
所以，與題設(shè)矛盾；
②當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾；
③當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以恒成立．
綜上，．
51．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先根據(jù)求解出的值，然后再代回進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）采用換元法令，化簡(jiǎn)不等式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“，恒成立”，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性以及最小值，根據(jù)求解出的取值范圍.
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)樵谔幦O值，所以，所以，
所以，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，

單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
所以在處取極值，符合題意.
（2）當(dāng)時(shí)，，由題知時(shí)，，
所以時(shí)，，
令，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，且的值域?yàn)?，所以?br /> 故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“，恒成立”，
不妨設(shè)，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，這與題意不符；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以，
記，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
又因?yàn)?，即，所?
（注：也可直接討論函數(shù)的單調(diào)性）
52．已知函數(shù)，，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）原不等式等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，令，求導(dǎo)函數(shù)，分，，，三種情況討論其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出所令函數(shù)的單調(diào)性和最值，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
解：（1），
①當(dāng)時(shí)，恒成立，則在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)為；
時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）對(duì)任意的恒成立，，
即對(duì)任意的恒成立.
令，，
①當(dāng)時(shí)，在恒成立，在上單調(diào)遞減.只需，即，矛盾.
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以只需，即，∴；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
；∴，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
53．已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）求出，再對(duì)分三種情況討論；
（2）由題得，，證明，即得，故，再對(duì)分類討論得解.
【詳解】
（1），，．
①若，則恒成立，故在上單調(diào)遞增．
②若，令，得．

0

極大值

③若，則恒成立，故在上單調(diào)遞減．
綜上所述，若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，在上單調(diào)遞減．
（2）令，故，
所以，令，
，
下面證明，其中．
令，，則．
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以當(dāng)時(shí)，．
所以，
所以在上單調(diào)遞增，故．
①若，即，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)恒成立，所以符合題意．
②若，即，此時(shí)，
，
且據(jù)及可得，故，
所以．
又的圖象在上不間斷，所以存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，其中，與題意矛盾，
所以不符題意，舍去．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
54．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：時(shí)，當(dāng)恒成立.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即可.
（2）由分析法：只需證即可，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論得證.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，
∴，，
∴當(dāng)或時(shí)，，在，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.
（2）要證，只需證，
∵，，
∴，
設(shè)，則，
∴在單調(diào)遞增，，
∴，得證.
55．已知函數(shù).
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；
（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）設(shè)函數(shù)，若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可求得的值；
（2）求得，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變換，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（3）分析可知不等式在上有解，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）的定義域?yàn)椋?
由題意得，，
即，解得，因此，；
（2）.
當(dāng)時(shí)，且不恒為，所以，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，
此時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，
此時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（3）若至少存在一個(gè)，使得成立，則當(dāng)時(shí)，有解.
當(dāng)時(shí)，，即有解，
令，，則.
，
所以，在上單調(diào)遞減，所以，，
所以，，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
56．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求正整數(shù)k的最大值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）3.
【分析】
（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的極值.
（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合的最小值為正數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得正整數(shù)的最大值.
【詳解】
（1）
①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；
②當(dāng)時(shí)，，得，由得
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，沒(méi)有極大值.
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可，
由（1）k＞0時(shí)，f（x）在（﹣1，k﹣1）上單調(diào)遞減，在（k﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，
（a）若k﹣1≤0即k≤1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min＞f（0）＝1滿足題意；
（b）當(dāng)k﹣1＞0即k＞1時(shí)，f（x）在（0，k﹣1）上單調(diào)遞減，在（k﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min＝f（k﹣1）＝lnk﹣k+2＞0，
令g（x）＝lnx﹣x+2，則，
所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0，
所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0，
則g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集為（1，x0），
綜上k的取值范圍（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4），
所以正整數(shù)k的最大值3.
57．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）極小值=f(0)=1，無(wú)極大值；（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)f(x)min≥1，求出k的范圍即可
【詳解】
(1)k=0時(shí)， .所以.
令，解得:x>0；令，解得:x0，
令，解得:；令，解得: ，
故f(x) 遞減，在遞增，
故，
故不合題意.
綜上， .
即的取值范圍為.
58．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，，求的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）先求并將其因式分解，然后對(duì)進(jìn)行分類討論：、、、，分別確定出的單調(diào)區(qū)間，由此確定出的單調(diào)性；
（2）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“，恒成立求解的取值范圍”，通過(guò)導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論的思想分析的單調(diào)性并確定最值，由此求解出的取值范圍.
【詳解】
解：（1）．
若，則當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
若，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
若，則，在區(qū)間上恒成立，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為．
若，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）令，
則等價(jià)于．
．
若，則，在區(qū)間上恒成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，符合條件．
若，則當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，不符合條件．
若，則在區(qū)間上恒成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，不符合條件．
綜上所述，的取值范圍為．
59．已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求a的取值范圍．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)，，轉(zhuǎn)化為分析，結(jié)合定義域即得解；
（2）令，轉(zhuǎn)化為，求導(dǎo)分析單調(diào)性，分類討論，即得解
【詳解】
（1）因?yàn)椋裕?br /> 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）令，
則等價(jià)于．
．
若，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，符合條件．
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，不符合條件．
若，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，不符合條件．
綜上所述，a的取值范圍為．
60．已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．
（1）討論函數(shù)單調(diào)性；
（2）若，，求a的取值范圍．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，分、、、討論可得答案；
（2）原問(wèn)題等價(jià)于對(duì)恒成立；設(shè)，則，討論函數(shù)g(x)的最小值；設(shè)，結(jié)合h(x)的最值可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，的取值范圍是．
【詳解】
（1）的定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，（不恒為零），故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由，得，
當(dāng)時(shí)，，即對(duì)恒成立，
設(shè)，則．
設(shè)，則．
∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，
即，
所以時(shí)，，時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，
∴，∴a的取值范圍是．
61．設(shè)函數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性即可求出函數(shù)的極值；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷滿足的a的范圍.
【詳解】
（1），，
令，得或，令，得，
所以在，單增，單減，
所以極大值，極小值，
（2），，
，，
，，
①當(dāng)，即時(shí)，，所以單增，，
所以單增，，符合題意.
②當(dāng)，即時(shí)，，使得當(dāng)時(shí)，所以在單減，，矛盾，所以舍去.
綜上.
62．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求α的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，由的正負(fù)確定單調(diào)性；
（2）用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得參數(shù)范圍．
【詳解】
解：（1），定義域?yàn)?，且?br /> 當(dāng)，則，單調(diào)遞增
當(dāng)，令，則；若，則，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）若恒成立，則恒成立，
，所以分離變量得恒成立，
設(shè)，其中，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即，所以
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
63．已知函數(shù)，，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）若任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到在時(shí)取得最小值，且，可得.
（2）轉(zhuǎn)化為在恒成立，令,，分
、、討論，利用的單調(diào)性可得答案.
【詳解】
（1）證明：當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，
所以，
所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴在時(shí)取得最小值，又，
所以當(dāng)時(shí)，.
（2）因?yàn)槿我?，恒有，即，?br /> 則令,，所以，
若，則在上恒成立，
所以在是單調(diào)遞增，
所以，即，所以不可能；
若，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，而，所以不可能；
若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使成立，即，解之得.
綜上可得.
64．已知函數(shù)，，.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，按a分類解不等式、即得；
(2)根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，求出，再按a的取
值分類討論使恒成立及在某區(qū)間上可使即可推理計(jì)算作答.
【詳解】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，，
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，由，解得：，而在上單調(diào)遞增，
于是得當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
(2)對(duì)任意的，恒成立，即恒成立，
將，代入，并整理得：，
設(shè)，則原不等式等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立，
則，
令，則，令，解得：，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是得，即，
從而有，
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，恒成立，
即，對(duì)恒成立，
②當(dāng)時(shí)，因，即有，則有時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
而，當(dāng)時(shí)，，于是得在上為減函數(shù)，，
即時(shí)，當(dāng)時(shí)不等式不成立，
綜上得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
65．已知函數(shù)（為常數(shù)）
1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）時(shí)，遞增，時(shí)，在遞減，遞增；（2）.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)得單調(diào)性；
（2）分離參數(shù)法變形不等式，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，得出結(jié)論．
【詳解】
（1）函數(shù)定義域是，
，
時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)；
時(shí)，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增．
（2）即在上恒成立，則，
設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，，所以．
66．若函數(shù)，．
（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）時(shí)無(wú)極值；時(shí)，兩個(gè)極值點(diǎn)；時(shí)，一個(gè)極值點(diǎn)；（2）．
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)作出的大致圖象，進(jìn)而討論符號(hào)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)的極值個(gè)數(shù).
（2）根據(jù)由，求出，討論、、或，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性判斷即可求解.
【詳解】
（1），令，
，
時(shí)，在單調(diào)遞增；
時(shí)，，在單調(diào)遞減．
如圖所示，，

時(shí)，，
，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；
時(shí)，有兩個(gè)根，，
時(shí)，，；
時(shí)，；
時(shí)，，
有兩個(gè)極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，
時(shí)，；
時(shí)，，
有一個(gè)極值點(diǎn)．
綜上：時(shí)無(wú)極值；時(shí)，兩個(gè)極值點(diǎn)；時(shí)，一個(gè)極值點(diǎn)．
（2）由，
當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，成立；
當(dāng)時(shí)，由（1）知有兩個(gè)根，，
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，成立；
當(dāng)時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
，
成立．綜上，．
67．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（2）若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）構(gòu)造，求導(dǎo)分，和三種情況討論單調(diào)性分析最值即可；
（2）化簡(jiǎn)，構(gòu)造出，再根據(jù)三角函數(shù)的范圍，求導(dǎo)討論單調(diào)性與極值點(diǎn)分析即可
【詳解】
解：（1）令，則，
因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，
故，符合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，存在使，當(dāng)，，單調(diào)遞增，
故，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
故，不符合題意；
綜上所述，.
（2）不等式對(duì)恒成立，即，因?yàn)?，?dāng)時(shí)成立，故要當(dāng)時(shí)，證明恒成立
設(shè)（），，
設(shè)，則，，
，
∴在上遞增，∴的值域?yàn)椋?br /> ①當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，
∴，適合條件；
②當(dāng)時(shí)，∵，∴不適合條件；
③當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，
令，，存，
使得時(shí)，．
∴在上單調(diào)遞減，∴，
即在時(shí)，，∴不適合條件
綜上，的取值范圍為．
68．已知函數(shù).
（1）設(shè)，若，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題意，分，，三種情況討論求解即可；
（2）在恒成立在恒成立，進(jìn)而結(jié)合（1）討論函數(shù)值求解即可.
【詳解】
解：（1），
ⅰ)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
ⅱ)時(shí)，恒成立，，故在上單調(diào)遞減，
ⅲ)，兩根為均為正數(shù)，
所以令得，令得
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
（2）在恒成立在恒成立，
由①知時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，顯然不合題意；
當(dāng)，在上單調(diào)遞減，故，顯然符合；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，由于，故存在，，故不滿足.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為
69．設(shè)函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）若，成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；理由見(jiàn)解析；（3）．
【分析】
（1）時(shí)，，求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，又，進(jìn)而可得切線的方程．
（2）函數(shù)，其中，，求導(dǎo)得，令，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，討論的正負(fù)，的正負(fù)，的極值點(diǎn)，即可得出答案．
（3）結(jié)合（2），得，使得，即可得出答案．
【詳解】
（1）時(shí)，，定義域?yàn)椋?br /> ，所以，又，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）函數(shù)，其中，，
，令，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，
②當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，，，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，
若時(shí)，，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，，
因?yàn)?，，由，可得，所以?dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)啊有兩個(gè)極值點(diǎn)．
③當(dāng)時(shí)，，由，可得，
所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（3）由（2）可知：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以時(shí)，，符合題意，
②時(shí)，由，
可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，
所以時(shí)，，符合題意，
③當(dāng)時(shí)，由，可得，
所以時(shí)，單調(diào)遞減，由，
所以時(shí)，，不符合題意，舍去
④當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，即，
可得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題，舍去，
綜上所述，a的取值范圍．
70．已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性
（2）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，再求導(dǎo)分析單調(diào)性即可；
（2）化簡(jiǎn)構(gòu)造可得對(duì)恒成立，再根據(jù)，再求導(dǎo)分析分析的正負(fù)，結(jié)合隱零電腦問(wèn)題，分析函數(shù)的最值判斷即可
【詳解】
（1），，令，
由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立，
令，，則，
，，令，
則對(duì)恒成立，
從而有在上單增，
①當(dāng)時(shí)，，在上單增，
，即對(duì)恒成立，
②當(dāng)時(shí)，，

，使得，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，
當(dāng)時(shí)，，故不成立，
綜上，m的取值范圍是．
71．已知函數(shù)
（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1），單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由求得，然后確定的正負(fù)得單調(diào)區(qū)間；
（2）按，和分類討論，從而得出結(jié)論，在時(shí)應(yīng)用兩個(gè)典型的函數(shù)不等式，，對(duì)不等式放縮可得結(jié)論．
【詳解】
（1）由得.

，令，

在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，令解得，解得，
所以的減區(qū)間是，增區(qū)間是；
（2）當(dāng)時(shí)，，不合題意，
當(dāng)時(shí)，由（1）知，故，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，，易知時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，因此，所以，即，時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)得．
，滿足題意．
綜上，的取舍范圍是．
72．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到答案；
（2）先根據(jù)得到，縮小的取值范圍，再利用放縮法證明在恒成立，即可得到答案；
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
，
切點(diǎn)為，斜率為，
曲線在點(diǎn)處的切線方程：.
（2）恒成立,,
,
令，，
在恒成立，
在單調(diào)遞增，且，
，，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，恒成立，
實(shí)數(shù)的取值范圍.
73．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且在處取得極大值2.
（1）求的解析式；
（2）若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用，結(jié)合單調(diào)區(qū)間、奇偶性求得的解析式.
（2）利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)已知條件，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.
【詳解】
（1）由于為奇函數(shù)，所以，，
，
所以，
所以，
所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在處取得極小值，符合題意.
（2）依題意對(duì)于任意的恒成立，
即①.
當(dāng)時(shí)，①恒成立.
當(dāng)時(shí)，①可化為，
構(gòu)造函數(shù)，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，遞增，
所以在區(qū)間上，，
所以在區(qū)間上，.
所以.
74．已知函數(shù).
（1）若，求在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在處取得極值，且存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)，代入，得到，再結(jié)合點(diǎn)斜式，即得解；
（2）求導(dǎo)，利用，求得，轉(zhuǎn)化存在，使得為
，再列表分析得到，計(jì)算即得解
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，
此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)?，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：

增
極大值
減
極小值
增
因?yàn)榇嬖?，使得，等價(jià)于，
∴在上的最大值為，
∴，解得，
所以的取值范圍是；
故答案為：
75．已知函數(shù)，.
（1）令函數(shù)，
①若函數(shù)的圖象與直線：相切，求實(shí)數(shù)的值；
②若不等式恒成立，求整數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）①；②最大值為2；（2）.
【分析】
（1）①設(shè)出切點(diǎn)，建立方程組，從而得到實(shí)數(shù)的值；②經(jīng)過(guò)參變分離轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)建函數(shù)求出最小值的取值范圍，即可得到整數(shù)的最大值；
（2）由題意可知在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等的正實(shí)根，數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)果.
【詳解】
解：（1）.
①設(shè)切點(diǎn)，，
則，
解得；
②不等式即，，則.
設(shè)函數(shù)，∴，且均在上是增函數(shù)，
∴，且在上是增函數(shù)，
∴存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，
∴在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
，
∴整數(shù)的最大值為2；
（2），
則，
由題意可知在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
由得，∵，∴，
設(shè)（且）
∴，
∴在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減.
∵，∴，得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

76．已知函數(shù)（）.
（1）當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、（），且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）時(shí)，，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；
（2）由函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)判別式可得，不等式恒成立即為，求得，令求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的范圍，即可求得的范圍．
【詳解】
（1）時(shí)，，故.
故，又，故函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即
（2）函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，.
由得，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋蚀藭r(shí)，，，，則可得，，
，
令，則，
因?yàn)?，，又.
所以，即時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
77．已知函數(shù)．
（1）若在點(diǎn)處的切線斜率為．
①求實(shí)數(shù)的值；
②求的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．
【答案】（1）①；②減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；（2）.
【分析】
（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，①根據(jù)題意得到，即可求得的值；
②由①知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，以及極值的概念與計(jì)算，即可求解；
（2）設(shè)，根據(jù)存在，使得成立，得到成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br /> ①因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線斜率為，可得，解得.
②由①得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無(wú)極大值，
綜上可得，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.
（2）因?yàn)?，由，即?br /> 即，設(shè)
根據(jù)題意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
78．已知函數(shù).
（1）如果曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是2，求此時(shí)的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立.
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）求得，由點(diǎn)斜式可求得切線方程；
（2）求導(dǎo)得，分和兩種情況討論可得結(jié)果；
（3）構(gòu)造函數(shù)，，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而證得不等式成立.
【詳解】
（1），由題意知，，即，所以.
又，所以切線方程為，即.
（2）定義域?yàn)镽，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；
時(shí)，，函數(shù)遞減.
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）設(shè)，則，
設(shè)，所以.
因?yàn)闀r(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，，
所以存在唯一的，使得.
列表如下：

0

1

0

0

極小值

當(dāng)時(shí)，.
所以當(dāng)時(shí)，，從而，即恒成立.
79．已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分別求出，根據(jù)倒數(shù)的幾何意義，即為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，從而可得答案；
（2）由對(duì)，恒成立，即恒成立，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)在上的最大值，即可得出答案.
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，所?
所以又
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
即.
（2）由題意知：
，.由，解得，
故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
所以.又

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
80．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）
【分析】
（1），進(jìn)而分，，三種情況討論求解；
（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而，再令，根據(jù)和得，進(jìn)而令，，求函數(shù)最小值即可得答案.
【詳解】
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?
所以當(dāng)，即，成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即或時(shí)，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得且，
所以的解集為，的解集為，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）得是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以
所以
，
令，由于，所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，即，解得或，
所以，
令，，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
所以的最小值為，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，即的最大值為
81．已知函數(shù).
（1）函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間和極值.
（2）求證：對(duì)于，總有.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；極小值，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）寫(xiě)出的函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)求導(dǎo)寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間和極值即可
（2）證明恒成立，結(jié)合（1）得，等價(jià)于恒成立，且已知左式的最小值，只要大于右式的最大值，則不等式恒成立
【詳解】
（1）解：，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
故有一個(gè)極小值，無(wú)極大值．
（2）證明：要證成立，只需證成立，
即證成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
由（1）可知，
，
，
．
82．已知，，對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
【分析】
先把已知等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求解即可
【詳解】
即，
整理可得：
令
則
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
所以
故，實(shí)數(shù)的取值范圍是
83．設(shè)函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，極大值，極小值；（2）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，利用分離參數(shù)法求解．
【詳解】
（1）因?yàn)椋瑒t，令，解得，．
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為．
有極大值為，極小值為；
（2），即．
因?yàn)?，所以在上恒成立?br /> 令，在上是增函數(shù)，所以．
所以的取值范圍是．
84．已知，.
（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：任意，.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解.
【分析】
（1）把與的解析式代入已知不等式，整理后設(shè)，，求出的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷增減性，進(jìn)而求出的最小值，即可確定的取值范圍.
（2）所證不等式兩邊同時(shí)乘以，左邊為，右邊設(shè)為，求出左邊的最小值以及右邊的最大值，比較即可證明.
【詳解】
（1）若，
則，
即，
令，
則，
時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增；
，故，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）若，
等價(jià)于證明，
又，，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
，
所以的最小值為.
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
，
又的最小值為，且與不同時(shí)取到同一個(gè)的值，
從而對(duì)一切，恒成立，
即任意，恒成立.
85．已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）若對(duì)任意成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
（3）證明：.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；
（2）對(duì)一切，恒成立等價(jià)于對(duì)一切恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值為，從而可得結(jié)果；
（3）原不等式等價(jià)于即，由（1）可得的最大值為，利用導(dǎo)數(shù)可證明的最小值為，從而可得結(jié)論.
【詳解】
解析：（1），.
令，解得；，解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）“對(duì)任意成立”等價(jià)于“對(duì)任意恒成立”.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.

又，.
即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）證明：“”等價(jià)于“”.
據(jù)（1）求解知，
令，則.
分析知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
.對(duì)恒成立
即.
86．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若時(shí)有恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）．
【分析】
（1）首先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，在對(duì)參數(shù)分與兩種情況討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）依題意恒成立，參變分離得，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求出參數(shù)的取值范圍；
【詳解】
解：（1）的定義域?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得；得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立．
因?yàn)?，所以?br /> 令，．
令，所以，故在上單調(diào)遞減，且，，故存在使得，
故，即．
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴，
故．
87．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)m的最小值．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）2.
【分析】
（1）給出函數(shù)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)通分，得到時(shí)，對(duì)m進(jìn)行討論，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；
（2）將不等式移項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，即的最大值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)方法求解即可.
【詳解】
（1），，，
①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
②時(shí)，令，
若，解得，．
∴，∴數(shù)在上單調(diào)遞增．
，解得，．
由，解得：，．
時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上：①時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②且時(shí)，數(shù)在上單調(diào)遞增；
時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）不等式，化為：．
令，．
，
時(shí)，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不滿足題意，舍去．
時(shí)，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，
則，
令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又．
因此存在唯一，使得，
∴，∴整數(shù)m的最小值為2．
88．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)恒成立.
【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先由求出的值，再由求出的值，
（2）要證對(duì)恒成立，只需證對(duì)恒成立，所以構(gòu)造函數(shù)（），然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于零即可
【詳解】
（1）解：因?yàn)椋?br /> 所以，
解得，
則，解得.
（2）證明：因?yàn)?，所以要證對(duì)恒成立，
只需證對(duì)恒成立.
設(shè)函數(shù)（），
則.
因?yàn)?，所以?br /> 所以在上單調(diào)遞減，
從而，
則對(duì)恒成立，
故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.
89．已知函數(shù)，
（1）先證明單調(diào)性，再求函數(shù)在上的最小值；
（2）若對(duì)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析（導(dǎo)數(shù)或定義），1；（2）.
【分析】
（1）求出的定義域和，由可得的單調(diào)性及在上的最小值；
（2）轉(zhuǎn)化為，由（1）知，利用單調(diào)性可得在上單調(diào)性求得最值，解不等式可得答案.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?br /> 所以在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為.
（2）若對(duì)，使得，
則，
由（1）知，因?yàn)槭菧p函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
90．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）極大值6，極小值；（2）．
【分析】
（1）求函數(shù)的極值，先求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，判斷是否為極值點(diǎn)，將極值點(diǎn)代入原函數(shù)即可求出極值
（2）恒成立問(wèn)題通過(guò)分參，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，恒成立，等價(jià)于，即，求出在區(qū)間上的最小值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍
【詳解】
（1）由解得：或
列表如下：

0

0

單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

由表格可得：時(shí)，函數(shù)取得極大值，；時(shí)，函數(shù)取得極小值，
（2）若對(duì)恒成立，則，
由表格可得：最小值只能是中的最小值，
，
所以，
所以，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是
91．已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極小值為，極大值為；（2）.
【分析】
（1）求，解不等式和可得單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間，由單調(diào)性即可得極值；
（2）由題意可得：不等式對(duì)于任意恒成立，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求最值，即可求解.
【詳解】
（1）定義域?yàn)椋?br /> 令，可得，，
由，得；由，得或，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，
（2）若，不等式恒成立，
即對(duì)于任意，不等式恒成立，
設(shè)，，則，
因?yàn)?，恒成立?br /> 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
92．已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解即可；
（2）化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用分類討論思想，利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】
（1），設(shè)，.
當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞減.
所以的最大值即的極大值為，
所以在上遞減，即在上遞減，
若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，則.
（2），即，
化簡(jiǎn)，設(shè)，
，，，
（ⅰ），即時(shí)，令，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立，
即恒成立；
（ⅱ），即時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以恒成立，即不成立；
當(dāng)時(shí)，，，
，所以，又，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，
當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即在區(qū)間上不成立.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
93．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）的極小值，無(wú)極大值；（2）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；
（2）對(duì)進(jìn)行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，.由，得.
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表

-
0
+

單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.
（2）對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立.
令，則.由得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，因此.
所以的取值范圍是.
94．已知函數(shù).（）
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）求導(dǎo)可得解析式，令，解得，分別討論和時(shí)，的正負(fù)，可得的單調(diào)區(qū)間.
（2）令，可得，再令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和最值，即可得恒成立，可得的單調(diào)性和最值，即可得證.
【詳解】
解：（1），
當(dāng)時(shí)，令，解得.
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

減
極小值
增
所以時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：令
則.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，即恒成立.
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即當(dāng)時(shí)，恒成立.
95．已知
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值.
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）極小值；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，求得單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值情況.
（2）條件等價(jià)于恒成立，分離參數(shù)得到，令，轉(zhuǎn)化為，令，，，，對(duì)參數(shù)a分類討論，分別求得單調(diào)性，判斷最小值是否滿足題意即可.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，解得，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
所以在處取得的極小值；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
即恒成立，令，則
所以有，令，，，即恒成立，
①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，
所以單調(diào)遞增
又因?yàn)椋?br /> 所以恒成立，
所以函數(shù)，單調(diào)遞增
因?yàn)椋?br /> 所以0恒成立，即滿足要求
②當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br /> 所以時(shí)
單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br /> 所以，使得時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br /> 所以不成立，故不滿足要求
綜上可知的取值范圍為.
96．已知函數(shù)，在處的切線方程為.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若對(duì)定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用切點(diǎn)和斜率求得的值，從而求得的解析式.
（2）將轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，由此求得的取值范圍.
【詳解】
（1）由題可知，，
，
解得，，
∴.
（2）對(duì)定義域內(nèi)恒成立對(duì)任意恒成立，
即求的最大值不大于，
∵且，
又，，在單調(diào)遞減，，
∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
∴，
當(dāng)時(shí)，對(duì)定義域內(nèi)的恒成立.
97．已知函數(shù)．
（1）若軸是曲線的一條切線，求的值；
（2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合切點(diǎn)在曲線上即可求解；
（2）由題意知對(duì)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)
，則，，通過(guò)三次求導(dǎo)，討論的單調(diào)性，即可得最值，進(jìn)而可得的取值范圍．
【詳解】
（1）根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，
由可得，
切線的斜率，
又因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以，
由可得：，解得或（舍），
當(dāng)時(shí)，
所以的值為.
（2）若當(dāng)時(shí)，，
則對(duì)于恒成立，
令，只需，，
，則，
，，
，所以在單調(diào)遞增，
當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
可得在單調(diào)遞增，
所以符合題意，
當(dāng)即時(shí)，，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，
所以存在使得，
此時(shí)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，；
此時(shí)在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
不滿足恒成立，
綜上所述：的取值范圍為.
98．已知函數(shù)，
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）減區(qū)間，增區(qū)間；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合，即可判斷的正負(fù)，即可得的單調(diào)區(qū)間.
（2）原式等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，令，求導(dǎo)可得解析式，令，可得解析式，分別討論和時(shí)，的正負(fù)，可得的單調(diào)性，結(jié)合特殊值，分析討論，可得的單調(diào)性，綜合分析，即可得答案.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，
所以，，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以的單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間.
（2）由題意得：當(dāng)時(shí)，，
令，，
則，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，可得在上為增函數(shù)，
又，所以恒成立，所以在上為增函數(shù)，
又，所以恒成立，即恒成立，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)，
所以存在，當(dāng)時(shí)，，
所以不恒成立，不滿足題意，
綜上，的取值范圍為
99．已知，.
（1）當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，求實(shí)數(shù)關(guān)于的關(guān)系式；
（2）若不等式恒成立，求的最大值；
（3）當(dāng)，時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，得出切線方程，用過(guò)與已知條件對(duì)比列出方程組即可；（2）通過(guò)（1）得出，構(gòu)造函數(shù)然后求導(dǎo)求出此函數(shù)最大值即可；（3）由題意寫(xiě)出此時(shí)，將所求不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，構(gòu)造函數(shù)，利用端點(diǎn)效應(yīng)求出范圍再驗(yàn)證其充分性即可.
【詳解】
（1）設(shè)切點(diǎn)，則由
得切線方程為，即，
所以，，
所以，即.
（2）由（1）知.
令，則，
故得在上遞增，在上遞減，
所以，即的最大值為；
（3）當(dāng)，時(shí)，，而等價(jià)于
，等價(jià)于
，等價(jià)于.
令，
則首先應(yīng)有，
此時(shí)由及易證得可知，
又易得，，所以成立，
所以的取值范圍是.
100．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)
（1）求；
（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）由題設(shè)可得，且求參數(shù)，并驗(yàn)證極值點(diǎn).
（2）由（1）可知：在是增函數(shù)且，再討論、時(shí)，構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷題設(shè)函數(shù)不等式是否在恒成立，即可求的取值范圍.
【詳解】
（1）∵，
∴，，則，
由是的極值點(diǎn)，則，即.
當(dāng)時(shí)，，若，得，

0

-
0
+

遞減
極小值
遞增
∴是的極值點(diǎn).
綜上，.
（2）由（1）知，，可得.
∴，故在是增函數(shù)，
∴時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，故恒成立.
②當(dāng)時(shí)，令，，則.
若，，則，
∴在在上是增函數(shù)，，即時(shí)，恒成立.
若，則，故在上，
∴在上是增函數(shù)，又，，且在上圖象不間斷，
∴在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
∴時(shí)，，是減函數(shù)，故，此時(shí)有，與題設(shè)矛盾.
綜上，的范圍為.

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