【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．集合的運(yùn)算主要包括交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算．這也是高考對(duì)集合部分的主要考查點(diǎn)．對(duì)于較抽象的集合問(wèn)題，解題時(shí)需借助Venn圖或數(shù)軸等進(jìn)行數(shù)形分析，使問(wèn)題直觀化、形象化，進(jìn)而能使問(wèn)題簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解．
2．掌握集合的概念與運(yùn)算，重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

【基礎(chǔ)知識(shí)】


【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：集合的含義與表示
1．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)1】已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3，
故選B
2．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)1】已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由題意，中的元素滿足，且，由，得，
所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4．
故選C．
3．【2017新課標(biāo)3，理1】已知集合A=，B=，則AB中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由題意可得，圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有兩個(gè)元素，
故選B．
4．【2018新課標(biāo)2，理1】已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵x2+y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x=-1，0，1，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1，0，1；
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，0，1；當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1，0，1；所以共有9個(gè)，
選A．
5．【2013山東，理1】已知集合A={0，1，2}，則集合B=中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】C
【解析】；；
．∴中的元素為共5個(gè)，
故選C．
6．【2013江西，理1】若集合中只有一個(gè)元素，則=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，不合，當(dāng)時(shí)，，則，
故選A．
7．【2012江西，理1】若集合，，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，容易看出只能取1，1，3等3個(gè)數(shù)值．故共有3個(gè)元素，
故選C．
8．【2011廣東，理1】已知集合A=為實(shí)數(shù)，且，B=為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由消去，得，解得或，這時(shí)或，即，有2個(gè)元素；
故選C
9．【2011福建，理1】是虛數(shù)單位，若集合={－1，0，1}，則（ ）
A．∈ B．∈ C．∈ D．∈
【答案】B
【解析】∵=－1∈，
故選B．
10．【2012天津，文9】集合中的最小整數(shù)為_(kāi)______．
【答案】
【解析】不等式，即，，所以集合，所以最小的整數(shù)為．

考點(diǎn)二：集合間的關(guān)系
1．【2012新課標(biāo)，文1】已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A=（－1，2），故，
故選B．
2．【2012新課標(biāo)卷1，理1】已知集合，則（ ）
A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B
【答案】B
【解析】A=(-，0)∪(2，+)，∴A∪B=R，
故選B．
3．【2015重慶，理1】已知集合，，則（ ）
A．A＝B B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，故A、B、C均錯(cuò)，D是正確的，
選D．
4．【2012福建，理1】已知集合，，下列結(jié)論成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由M={1，2，3，4}，N={2，2}，可知2∈N，但是2M，則NM，故A錯(cuò)誤．
∵M(jìn)N={1，2，3，4，2}≠M(fèi)，故B錯(cuò)誤．M∩N={2}≠N，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選D
5．【2011浙江，理1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∴，又∵，∴，
故選D．
6．【2011北京，理1】已知集合=，．若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，即，得，解得?br /> 所以的取值范圍是；
故選C
7．【2013新課標(biāo)1，理1】已知集合，則（ ）
A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B
【答案】B
【解析】，∴A∪B=R，
故選B．
8．【2012大綱，文1】已知集合={︱是平行四邊形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，={︱是菱形}，則（ ）
． ． ． ．
【答案】B
【解析】∵正方形一定是矩形，∴是的子集，
故選．
9．【2012年湖北，文1】已知集合，，則滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】求解一元二次方程，，
易知．因?yàn)?，所以根?jù)子集的定義，集合必須含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原題即求集合的子集個(gè)數(shù)，即有個(gè)．
故選D．

考點(diǎn)三：集合間的基本運(yùn)算
1．【2011課標(biāo)，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，則P的子集共有（ ）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
【答案】B
【解析】∵P=M∩N={1，3}，∴P的子集共有=4，
故選B．
2．【2013新課標(biāo)2，理1】已知集合M={|}，，則M∩N=（ ）
A．{0，1，2} B．{，0，1，2}
C．{，0，2，3} D．{0，1，2，3}
【答案】A
【解析】M=(-1，3)，∴M∩N={0，1，2}，
故選A．
3．【2013新課標(biāo)2，文1】已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)榧螹=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，
故選C．
4．【2013新課標(biāo)I，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，，則（ ）
A．｛1，4｝ B．｛2，3｝ C．{9，16} D．｛1，2}
【答案】A；
【解析】依題意，，．
故選A
5．【2014新課標(biāo)1，理1】已知集合，B={|－2≤＜2}，則=（ ）
．[-2，-1] ．[-1，2） ．[-1，1] ．[1，2）
【答案】A
【解析】∵A=，∴=[-2，-1]，
故選A．
6．【2014新課標(biāo)2，理1】設(shè)集合M=｛0，1，2｝，N=，則=（ ）
A．｛1｝ B．｛2｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
【答案】D
【解析】∵，∴，
故選D．
7．【2014新課標(biāo)1，文1】已知集合=，=則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】(-1，1)，
故選B．
8．【2014新課標(biāo)2，文1】設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴；
故選B
9．【2015新課標(biāo)2，理1】已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，，∴，
故選A．
10．【2015新課標(biāo)1，文1】已知集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】由條件知，當(dāng)n=2時(shí)，3n+2=8，當(dāng)n=4時(shí)，3n+2=14，故A∩B={8，14}，
故選D．
11．【2015新課標(biāo)2，文1】已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題知，，
故選A．
12．【2016新課標(biāo)1，理1】設(shè)集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知=（1，3），B=，所以，
故選D．
13．【2016新課標(biāo)2，理2】已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題知={0，1}，所以{0，1，2，3}，
故選C．
14．【2016新課標(biāo)3，理1】設(shè)集合，則（ ）
A．[2，3] B．（-，2][3，+）
C．[3，+） D．（0，2][3，+）
【答案】D
【解析】由題知，，∴=（0，2][3，+），
故選D．
15．【2016新課標(biāo)2，文1】已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知，，∴，
故選D．
16．【2016新課標(biāo)1，文1】設(shè)集合，，則（ ）
A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}
【答案】B
【解析】由題知，，
故選B．
17．【2016新課標(biāo)3，文1】設(shè)集合，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題知，，
故選C．
18．【2017新課標(biāo)1，理1】已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題知，，∴，
故選A．
19．【2017新課標(biāo)1，文1】已知集合A=，B=，則（ ）
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A

20．【2017新課標(biāo)2，理2】設(shè)集合，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，所以，，
故選C．
21．【2017新課標(biāo)2，文1】設(shè)集合則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，
故選A．
22．【2017新課標(biāo)3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由題意可得，，
故選B．
23．【2018新課標(biāo)1，理1】已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題知，A=x|x2，∴CRA=x|-1≤x≤2，
故選B．
24．【2018新課標(biāo)3，理1】已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，A={x≥1}，所以A∩B={1，2}，
故選C．
25．【2018新課標(biāo)1，文1】已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)集合交集中元素的特征，可以求得，
故選A．
26．【2018新課標(biāo)2，文1】已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故選C
27．【2019新課標(biāo)1，理1】已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，，則．
故選C．
28．【2019新課標(biāo)1，文2】已知集合，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，所以，
故選C．
29．【2019新課標(biāo)2，理1】設(shè)集合，則（ ）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由題意得，，則．
故選A．
30．【2019新課標(biāo)2，文1】．已知集合，，則（ ）
A．(–1，+∞) B．(–∞，2) C．(–1，2) D．
【答案】C
【解析】由題知，，
故選C．
31．【2019新課標(biāo)3，理1】已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，，則．
故選A．
32．【2019浙江，1】已知全集，集合，，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，．
故選A．
33．【2019天津，理1】設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知，，所以，
故選D．
34．【2011遼寧，理1】已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，則（ ）
A．M B．N C．I D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可知，是的真子集，所以．
故選A
35．【2018天津，理1】設(shè)全集為R，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?br /> 所以，
故選B．
36．【2017山東，理1】設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域?yàn)?，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，由得，
故，
選D．
37．【2017天津，理1】設(shè)集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
選B．
38．【2017浙江，理1】已知集合，，那么=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，
選A．
39．【2016年山東，理1】設(shè)集合則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合表示函數(shù)的值域，故．由，得，故，所以．
故選C．
40．【2016年天津，理1】已知集合則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，所以，
故選D．
41．【2015浙江，理1】已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故，
故選C．
42．【2015四川，理1】設(shè)集合，集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，∴．
故選A
43．【2015福建，理1】若集合（是虛數(shù)單位），，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，故，
故選C．
44．【2015廣東，理1】若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得或，得．
由得或，得．顯然．
故選D
45．【2015陜西，理1】設(shè)集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，所以，
故選A．
46．【2015天津，理1】已知全集，集合，集合，則集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，
故選A．
47．【2014山東，理1】設(shè)集合則（ ）
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】B
【解析】∵，∴，
故選B．
48．【2014浙江，理1】設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，，所以，
故選B．
49．【2014遼寧，理1】已知全集，則集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，或，故，
故選D．
50．【2013山東，理1】已知集合均為全集的子集，且，，則（ ）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．
【答案】A
【解析】由題意，且，所以中必有3，沒(méi)有4，，故．
故選A
51．【2013陜西，理1】設(shè)全集為R，函數(shù)的定義域?yàn)镸，則為（ ）
A．[－1，1] B．(－1，1)
C． D．
【答案】D
【解析】的定義域?yàn)镸=[1，1]，故=，
故選D．
52．【2013湖北，理1】已知全集為，集合，，則（ ）
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，．
故選C
53．【2011江西，理1】若全集，則集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?=．
故選D
54．【2011遼寧】已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，則（ ）
A．M B．N C．I D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可知，是的真子集，所以．
故選A.
55．【2017江蘇】已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．
【答案】1
【解析】由題意，顯然，此時(shí)，滿足題意，故．
56．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)1】已知集合則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由解得，所以，又因?yàn)椋裕?br /> 故選D．
57．【2020年高考全國(guó)I卷理數(shù)2】設(shè)集合，且，則（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．
故選B．
58．【2020年高考全國(guó)II卷文數(shù)1】已知集合，則（ ）
A． B．{–3，–2，2，3） C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【解析】因?yàn)?，或，所以?br /> 故選D．
59．【2020年高考全國(guó)II卷理數(shù)1】已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得：，則．
故選A．
60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P=，則PQ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知易得，
故選B．
61．【2020年高考北京卷1】已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
故選D．
62．【2020年高考山東卷1】設(shè)集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
故選C．
63．【2020年高考天津卷1】設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：，則，
故選C．
64．【2020年高考上海卷1】已知集合，則___________．
【答案】
【解析】由交集定義可知，故答案為：．
65．【2020年高考江蘇卷1】已知集合，則__________．
【答案】
【解析】由題知，．

考點(diǎn)四：與集合有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題
1．（2012課標(biāo)，理1）．已知集合，則中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）
．3 ．6 ．8 ．10
【答案】D．
【解析】={（2，1），(3，1)，(4，1)，（5，1），（3，2），(4，2)，（5，2），（4，3），（5，3），（5，4）}，含10個(gè)元素，
故選D．
2．【2015湖北】已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【解析】因?yàn)榧?，所以集合中?個(gè)元素（即9個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中的整點(diǎn)，集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形中的整點(diǎn)，集合的元素可看作正方形中的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即個(gè)．
故選C

3．【2013廣東，理8】設(shè)整數(shù)，集合，令集合，且三條件恰有一個(gè)成立，若和都在中，則下列選項(xiàng)正確的是
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】特殊值法，不妨令，，則，，
故選B．
如果利用直接法：因?yàn)?，，所以…①，…②，…③三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立；…④，…⑤，…⑥三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立．配對(duì)后只有四種情況：第一種：①⑤成立，此時(shí)，于是，；第二種：①⑥成立，此時(shí)，于是，；第三種：②④成立，此時(shí)，于是，；第四種：③④成立，此時(shí)，于是，．綜合上述四種情況，可得，．
4．【2012福建，文12】在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]={丨∈Z}，k=0，1，2，3，4．給出如下四個(gè)結(jié)論：
①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件是“∈[0]”．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①2011=2010+1=402×5+1∈[1]，正確；由-3=-5+2∈[2]可知②不正確；根據(jù)題意信息可知③正確；若整數(shù)，屬于同一類，不妨設(shè)，∈[k]={丨n∈Z}，則=5n+k，=5m+k，n，m為整數(shù)，=5(n-m)+0∈[0]正確，故①③④正確，
故選C．
5．【2013渾南，文15】對(duì)于E={}的子集X={}，定義X的“特征數(shù)列”為，其中，其余項(xiàng)均為0，例如子集{}的“特征數(shù)列”為0，1，1，0，0，…，0
子集{}的“特征數(shù)列”的前三項(xiàng)和等于；
若E的子集P的“特征數(shù)列”滿足，，1≤≤99；
E的子集Q的“特征數(shù)列”滿足，，1≤≤98，則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)________．
【解析】(1)子集{}的特征數(shù)列為：1，0，1，0，1，0，0，0……0．所以前3項(xiàng)和等于1+0+1=2．
(2)∵E的子集P的“特征數(shù)列”滿足，，1≤≤99；
∴P的“特征數(shù)列”：1，0，1，0…1，0．所以P=．
∵E的子集Q的“特征數(shù)列”滿足，，1≤≤98，，可知：j=1時(shí)，=1，∵，∴==0；同理=1==…=．Q的“特征數(shù)列”：1，0，0，1，0，0…1，0，0，1．所以Q=．
∴，∵97=1+（17-1）×6，∴共有17個(gè)相同的元素．

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