第八章   立體幾何專題訓(xùn)練（七）—探索性問題（1）1．如圖所示的幾何體由平面截棱長(zhǎng)為2的正方體得到，其中、為原正方體的頂點(diǎn)，、、為原正方體側(cè)棱的中點(diǎn)，正方形為原正方體的底面．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使三棱錐的體積恰為幾何體的體積的？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：幾何體由棱長(zhǎng)為2的正方體截得，、為原正方體側(cè)棱的中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，，面，面，平面．（2）解：在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可使三棱錐的體積恰為幾何體的體積的，幾何體的體積為，由正方體的性質(zhì)可知點(diǎn)到面的距離等于點(diǎn)到面的距離，設(shè)，則，，解得：，即，在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可使三棱錐的體積恰為幾何體的體積的．2．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）記平面與底面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明．解：（1）證明：底面是菱形，，，分別為，，的中點(diǎn)．，，，平面，平面，平面；（2）直線與平面平行，證明如下：連接，，分別為，，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，平面與底面的交線為，由線面平行的性質(zhì)得，，，，，且平面，平面，平面．3．在四棱錐中，，．（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)求出，若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，，由為等邊三角形，可得，因?yàn)?/span>，，所以，，即，所以，又平面，平面，所以平面，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面．（2）解：過作，交于，再過作，交于，連接，則即為所求．由，可得，，在直角三角形中，，則，所以，由，可得．證明：當(dāng)時(shí)，可得，平面，平面，可得平面，又，平面，平面，可得平面，又，可得平面平面，而平面，所以平面．4．如圖，四棱錐，平面平面，四邊形為矩形，，，，為上的點(diǎn)，且平面．（1）求證：；（2）設(shè)在線段上，且滿足，試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面，并求的長(zhǎng)．解：（1）證明：四邊形為矩形，．平面平面，平面．．平面，．又，平面，平面，平面，．（2）取的三等分點(diǎn)（近，即，連接，，，在上取點(diǎn)，使，即，矩形中，，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，在中，，，，，．5．如圖（1），在中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，，將沿折起到△的位置，使，如圖（2）．（1）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大小；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？說明理由．解：（1）（如右圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，2，，，，0，，，2，．設(shè)平面的法向量為，則，又，，所以，令，則，所以，設(shè)與平面所成的角為，因?yàn)?/span>，所以，所以與平面所成角的大小為．（2）線段上不存在點(diǎn)，使平面與平面垂直，理由如下：假設(shè)這樣的點(diǎn)存在，設(shè)其坐標(biāo)為，0，，其中，．設(shè)平面的法向量為，則，又，，所以，令，則，所以，平面平面，當(dāng)且僅當(dāng)，即．解得，與，矛盾．所以線段上不存在點(diǎn)，使平面與平面垂直．6．在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，，，，，為線段的中點(diǎn)，過的平面與線段，分別交于點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>，且為線段的中點(diǎn)，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．又平面平面，平面，，平面平面，所以平面，又因?yàn)?/span>，所以平面，又平面，所以．（Ⅱ）解：存在，為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．因?yàn)?/span>，為線段的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?/span>，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，1，，，0，，，0，，所以，，，設(shè)，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，于是有；解得或（舍去），所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，故為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)． 

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第八章立體幾何專題訓(xùn)練（十四）—大題綜合練習(xí)（1）-【新教材】2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：

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第八章立體幾何專題訓(xùn)練（十）—證明平行、垂直（1）-【新教材】2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：

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第八章立體幾何專題訓(xùn)練（九）—探索性問題（3）-【新教材】2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：

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