第八章 立體幾何專題訓(xùn)練（二）—球一．單選題1．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，且，，若三棱錐體積的最大值為，則該球的表面積為　　A． B． C． D．2．已知，，為球的球面上三個(gè)點(diǎn)，球心到平面的距離為，，，則球的體積為　　A． B． C． D．3．已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．4．已知三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．5．在三棱錐中，的內(nèi)心到三邊的距離均為1，平面，且的邊上的高為2，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為　　A． B． C． D．6．已知一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面的圓周在半徑為的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱體積的最大值為　　A． B． C． D．7．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，的外接圓圓心為，外接圓面積為，且，則球的表面積為　　A． B． C． D．8．已知三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，是線段上一點(diǎn)，且．若球的表面積為，則過點(diǎn)作球的截面，所得截面圓面積的最小值為　　A． B． C． D．9．已知三棱錐外接球的球心在線段上，若與均為面積是的等邊三角形，則三棱錐外接球的體積為　　A． B． C． D．10．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．二．多選題11．如圖，直三棱柱，為等腰直角三角形，，且，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則　　A．與一定是異面直線 B．三棱錐的體積為定值 C．直線與所成角為 D．若為的中點(diǎn)，則四棱錐的外接球表面積為12．如圖三棱錐，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱錐的外接球，則　　A．球心到平面的距離是 B．球心到平面的距離是 C．球的表面積是 D．球的體積是13．佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一．香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲開竅的功效．因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目．圖1的平行四邊形由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成．將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊．那么在圖2這個(gè)六面體中　　A．與是異面直線 B．與是相交直線 C．存在內(nèi)切球，其表面積為 D．存在外接球，其體積為14．已知球的直徑，、、是球表面上的三個(gè)不同的點(diǎn)，，則　　A． B．線段的最長(zhǎng)長(zhǎng)度為 C．三棱錐的體積最大值為3 D．過作球的截面中，球心到截面距離的最大值為1三．填空題15．已知三棱錐中，，，為其外接球的一條直徑，若該三棱錐的體積為，則外接球的表面積為　　．16．如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐中，大球內(nèi)切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切，則小球的表面積為　　．17．已知四面體，點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，滿足，，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，四面體外接球的表面積為　　．18．如圖，在直角梯形中，，．已知．將沿直線翻折成△，連接．當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為　　；若此時(shí)三棱錐外接球的體積為，則的值為　　．
第八章 立體幾何專題訓(xùn)練（二）—球 答案1．解：根據(jù)題意，當(dāng)為正三角形時(shí)，底面積最大值，．那么的外接圓半徑：，可得，當(dāng)高通過球心時(shí)，最高，三棱錐體積的最大值為，；得，由球心與圓心構(gòu)造勾股定理，可得；解得；該球的表面積；故選：．2．解：，，為球的球面上三個(gè)點(diǎn)，由，圓心在中點(diǎn)上，，，可得和是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為球的半徑，，根據(jù)球心到平面的距離為，那么球的半徑，解得，則球的體積．故選：．3．解：根據(jù)題意，平面平面，面面，，平面．，是等腰三角形，是直角三角形，可得；那么平面和平面的外接圓半徑分別為，；球心到距離相等于，可得；球的表面積．故選：．4．解：由題意，，，，可得是等邊三角形，是直角三角形，將沿折起后，點(diǎn)是的外心，其圓的半徑；點(diǎn)是的外心，其圓的半徑；是二面角的平面角，即，記該幾何體的外接球球心為，連接，，連接，由于四點(diǎn)共圓，，，，在中由余弦定理，可得，在中，，，可得，外接球半徑，外接球表面積；故選：．5．解：如圖，為的內(nèi)心，若，則平面，又平面，即有，故，，若為內(nèi)切球的球心，且，即內(nèi)切球的半徑為，，而，，解得，該三棱錐的內(nèi)切球的體積為．故選：．6．解：如圖，，，，則，圓柱的體積為：．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)上式等號(hào)成立．故選：．7．解：設(shè)的外接圓半徑為，由的外接圓面積為，可得，解得，又，故為正三角形，則，解得，，如圖，設(shè)球與外接圓的其中一個(gè)交點(diǎn)為，則，即，球的半徑為，其表面積為．故選：．8．解：依題意，，，兩兩互相垂直，取中點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，球心在點(diǎn)正上方，且平面，，，，，則，設(shè)球的半徑為，則，解得，由，解得，平面，，又，而，在中，由余弦定理有，故，在中，，要使過作圓的截面面積最小，則此時(shí)截面與垂直，設(shè)此時(shí)截面圓半徑為，則，．故選：．9．解：如圖，依題意，為三棱錐外接球的球心，則，與均為正三角形，且有公共邊，，為等腰三角形，，又，為等腰直角三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為，則其面積，故，解得，，，，即外接球半徑為，體積為．故選：．10．解：如圖，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則三棱錐外接球的球心一定在過點(diǎn)且與平面垂直的直線上，不妨設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則平面，且，過點(diǎn)作平面，則點(diǎn)為外接圓的圓心，在中，由余弦定理有，，，，延長(zhǎng)交于，連接，，為邊長(zhǎng)為1的正三角形，為中點(diǎn)，，由于平面平面，故四邊形為矩形，則，在中，，即，解得，三棱錐的外接球的表面積為．故選：．11．解：對(duì)于，當(dāng)與重合時(shí)，與是相交直線，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由已知可得，又平面平面，平面，在矩形中，的面積，又，，故正確；對(duì)于，由平面，得，又，，平面，得直線與所成角為，故正確；對(duì)于，由題意可知，四邊形為矩形，連接，則矩形的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且，過作，垂足為，連接，，則，，，故，就是四棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，則外接球的表面積為，故正確．故選：．12．解：如圖，由，平面平面，且平面平面，平面，取中點(diǎn)，則為三角形的外心，取的中點(diǎn)，連接，則，可得平面，設(shè)的外心為，三棱錐的外接球的球心為，連接，，則平面，底面，可得四邊形為矩形，則到平面的距離等于，故錯(cuò)誤；在中，由余弦定理可得，則，設(shè)三角形外接圓的半徑為，可得，又，到底面的距離為，故正確；則三棱錐外接球的半徑，則球的表面積是，故正確；球的體積為，故錯(cuò)誤．故選：．13．解：折疊后與重合，與重合，因?yàn)?/span>與是相交直線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確；是等邊三角形，為的中心，則，連結(jié)，則有平面，在中，由勾股定理可得，由對(duì)稱性可得，，由于，所以不是外接球的球心，除點(diǎn)以外的其它點(diǎn)，無法保證到五個(gè)頂點(diǎn)，，，，的距離都相等，故此六面體無外接球，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由對(duì)稱性，到六個(gè)面的距離相等，故為六面體內(nèi)切球的球心，在中，即為內(nèi)切球的半徑，，因?yàn)?/span>，，所以，所以，故，所以，故選項(xiàng)正確．故選：．14．解：選項(xiàng)：因?yàn)?/span>，所以，且平面，所以，故正確，選項(xiàng)：設(shè)平面，則，所以，所以，則，同理，則當(dāng)在上時(shí)，取得最大值為，故正確，選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大，因?yàn)?/span>，則，，則，故錯(cuò)誤，選項(xiàng)：作，則可得為球心到截面距離的最大值，且，故正確，故選：．15．解：三棱錐中，，，三角形是等腰直角三角形，如圖，為其外接球的一條直徑，若該三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為，所以，所以，，所以外接球的半徑為：．所以外接球的表面積為：．故答案為：．16．解：設(shè)為正方形的中心，的中點(diǎn)為，連接，，，則，，，如圖，在截面中，設(shè)為球與平面的切點(diǎn)，則在上，且，設(shè)球的半徑為，則，因?yàn)?/span>，所以，則，，所以，設(shè)球與球相切與點(diǎn)，則，設(shè)球的半徑為，同理可得，所以，故小球的表面積：．故答案為：．17．解：由知，點(diǎn)位于過的外心且垂直于面的直線上，若要四面體體積最大，則、在平面的同側(cè)且點(diǎn)滿足平面，如圖所示，設(shè)外接球球心為，在平面上的投影為，外接球半徑為，設(shè)，則，為圓上的三點(diǎn)，，，設(shè)，則，易知在處取得最大值，，又，，解得，．故答案為：．18．解：在直角梯形中，，，，，，可得，即，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，則，平面平面，且平面平面，平面，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為；，的外接圓的半徑，外接圓的圓心為點(diǎn)，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，設(shè)，由，得，解得，即為三棱錐外接球的球心，可得，由，解得．即的值為．  

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