第八章立體幾何專題訓(xùn)練（十四）—大題綜合練習(xí)（1）-【新教材】2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練

這是一份第八章立體幾何專題訓(xùn)練（十四）—大題綜合練習(xí)（1）-【新教材】2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練，共7頁。試卷主要包含了如圖，長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第八章  立體幾何專練（十四）—大題綜合練習(xí)（1）1．如圖，長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的大?。?/span>（1）證明：設(shè)和交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．連結(jié)，又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?/span>平面，平面所以直線平面．（2）解：由（1）知，，所以即為異面直線與所成的角．因?yàn)?/span>，且，所以．又，，所以故異面直線與所成角的大小為．2．如圖，已知三棱錐為正三棱錐，設(shè)其底面的邊長為，側(cè)棱長為．（1）設(shè)底邊的中點(diǎn)為，若，求異面直線與所成角的大?。?/span>（2）設(shè)過底邊的截面交側(cè)棱于點(diǎn)，若，求截面面積的最小值．解：（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，在等邊中，，，所以為異面直線與所成的角，在等邊中，，在等邊中，，在中，由余弦定理可知，，故異面直線與所成角的大小為；（2），，所以，所以，設(shè)，在等腰中，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由等面積法，解得，又，所以，則等腰中，，，所以截面的面積的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．3．空間四邊形中，，點(diǎn)、分別為對(duì)角線、的中點(diǎn)．（1）若直線與所成角為，求直線與所成角的大小；（2）若直線與所成角為，求直線與所成角的大小．解：取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為對(duì)角線，的中點(diǎn)，所以，，且，則為直線與所成的角或所成角的補(bǔ)角，為直線與所成角或所成角的補(bǔ)角，又，所以，即為等腰三角形．（1）若直線與所成角為，即，則，所以直線與所成的角為；（2）若直線與所成的角為，則或，若，則，即直線與所成角為；若，則，即直線與所成角為；綜上所述，直線與所成角為或．4．如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由．（1）證明：四邊形是正方形，．又，，平面，面，平面平面． （2）存在．，面，面，并且面面，．取中點(diǎn)，中點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，，，可得，且，故四邊形為平行四邊形，．又為中點(diǎn)，在中，，，，面面，在棱上，故當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，面，．5．在四棱錐中，平面，，底面是梯形，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）為棱上的中點(diǎn)，求到面的距離．證明：平面，平面，平面，，，在梯形中，過點(diǎn)作作于，在中，，，又在中，，，，，，①，，，平面，平面，平面，平面，，由①②，，平面，平面，平面，平面，平面平面．解：由（Ⅰ）可知平面且，，由等積法得到到面的距離．6．如圖所示，幾何體中，四邊形為菱形，平面，，，，，平面與平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）若直線與平面交于點(diǎn)，求四邊形周長的范圍．（1）證明：如圖，連接與交于點(diǎn)，由條件可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?/span>與平面的交線為，所以，因?yàn)?/span>平面，所以，又因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，又因?yàn)?/span>，所以平面，所以直線平面．（2）解：因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，同理，因?yàn)?/span>，所以平面平面，由平面與平面平行的性質(zhì)定理可得，同理，所以四邊形為平行四邊形，由題意可知，所以四邊形為菱形，設(shè)，，則，在中，，①在中，，因?yàn)?/span>，所以，②①②得，得，在中，，即，得，所以，在中，，，所以，，所以菱形的周長的范圍為，．