第八章立體幾何專題訓(xùn)練（九）—探索性問題（3）-【新教材】2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊專項訓(xùn)練

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第八章   立體幾何專題訓(xùn)練（九）—探索性問題（3）1．已知在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，，，為棱上一點，且．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）證明：在矩形中，，，，，即，平面，平面，，又，、平面，平面，平面，平面平面．（2）解：以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，0，，，，，，，，設(shè)，，，則，0，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，，，直線與平面所成的角為，，即，化簡得，解得，，，，．2．如圖，四棱錐中，矩形，其中，，，點為矩形的邊上一動點．（1）為線段上一點，，是否存在點，使得平面，若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）存在點滿足平面，此時證明如下：在線段上取一點，使得，因為，，所以且，又因為且，所以且，故四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因為平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)，因為，解得，即為的中點，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，，所以直線與平面所成角的正弦值為，故直線與平面所成角的余弦值為． 3．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面是直角梯形，，，，，．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由．（1）證明：因為平面平面，且平面平面，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：在平面內(nèi)，過點作交于點，則可知平面，以點為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，由，，，故點，所以，設(shè)為平面的法向量，則有，即，取，則，，故，設(shè)，則，因為直線與平面所成角的正弦值為，則，解得或，故存在點滿足題意，此時或．4．已知正方形的邊長為4，、分別為、的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點在線段上．（1）若為的中點，且直線與由，，三點所確定平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；（2）是否存在點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求線段的長，若不存在，請說明理由．（1）證明：直線平面，故點在平面也在平面內(nèi)，所以點在平面與平面的交線上，如圖所示，因為，為的中點，所以，所以，，所以點在的延長線上，且，連結(jié)交與點，因為四邊形為矩形，所以點是的中點，連結(jié)，因為為的中位線，所以，又因為平面，所以直線平面；（2）解：由已知可得，，，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，取的中點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設(shè)，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，因為直線與平面所成的角為，所以，所以，解得或，故存在點，使得直線與平面所成的角為，當時，，1，，又，0，，所以；當時，，3，，又，0，，所以．所以或3．5．已知正的邊長為3，點、分別是、上的三等分點（點靠近點，點靠近點（如圖，將沿折起到△的位置，使二面角的平面角為，連接，（如圖．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．（1）證明：因為正三角形的邊長為3且，在中，，由余弦定理可得，因為，所以，折疊后，仍有，因為二面角的平面角為，所以平面平面，又平面平面，平面，，所以平面；（2）解：假設(shè)在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，建立空間直角坐標系如圖所示，作軸，交軸于點，設(shè)，則的橫坐標為，點的縱坐標，故，又，0，，所以，又平面的法向量為，因為直線與平面所成的角為，所以，解得，故在線段上存在點，且．6．如圖，四邊形為梯形，，于，于，，，，現(xiàn)沿將折起使為正三角形，且平面平面，過的平面與線段、分別交于、．（1）求證：；（2）在棱上（不含端點）是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，請確定點的位置；若不存在，說明理由．（1）證明：，，，在四棱錐中，平面，平面，平面，又平面平面，，平面平面且交于，，平面，即平面，又平面，；（2）解：存在，為棱上靠近點的四等分點．，，連接，，又平面平面，且平面平面，平面．如圖，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，0，，，，，設(shè)，，則，0，，，0，，設(shè)平面的一個法向量為，則，不妨令，則，，設(shè)直線與平面所成角為，則有，解得或（舍．，即在棱上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，為棱上靠近點的四等分點．