直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷
直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：
切線方程的求法1.求過圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為- ,由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或x=a.2.求過圓外一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線時(shí),常用幾何方法求解設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進(jìn)而切線方程即可求出.但要注意,此時(shí)的切線有兩條,若求出的k值只有一個時(shí),則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數(shù)形結(jié)合求出.
求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半
例1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).
分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出點(diǎn)P2的縱坐標(biāo).
解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心在y軸上，由題意，點(diǎn)P,B的坐標(biāo)分別為（0,4),(10,0),設(shè)圓心坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2 .
思考:如果不建立平面直角坐標(biāo)系，你能解決這個問題嗎？由此比較綜合法和坐標(biāo)法的特點(diǎn)。
某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？
解　建立如圖所示的坐標(biāo)系.
依題意,有A(－10,0),B(10,0),P(0,4),D(－5,0)，E(5,0).設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解此方程組，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，所以該船可以從橋下通過.
例4一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險(xiǎn)？
分析：先畫出示意圖,了解小島中心、輪船、港口的方位和距離,如圖,根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定輪船是否有觸礁危險(xiǎn).
解：以小島的中心為原點(diǎn)O,東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運(yùn)算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,3),輪船所在位置的坐標(biāo)為(4,0).
由△=(-72)2-4×25×80

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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