專題突破練18　概率、隨機變量及其分布一、單項選擇題1.(2021·湖南師大附中月考)電視機的使用壽命與顯像管開關(guān)的次數(shù)有關(guān).某品牌的電視機的顯像管開關(guān)了10 000次還能繼續(xù)使用的概率是0.8,開關(guān)了15 000次后還能繼續(xù)使用的概率是0.6,則已經(jīng)開關(guān)了10 000次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到15 000次的概率是(　　)A.0.20 B.0.48 C.0.60 D.0.752.(2021·江蘇泰州考前模擬)馬林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家.他在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上深入地研究了2p-1型的數(shù).人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻,將形如2p-1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).在不超過20的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),至少有一個為梅森素數(shù)的概率是(　　)A. B. C. D.3.(2021·新高考Ⅰ,8)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(　　)A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立二、填空題4.為研究如何提高大氣污染監(jiān)控預(yù)警能力,某學(xué)校興趣小組的成員設(shè)計了一套大氣污染檢測預(yù)警系統(tǒng).該系統(tǒng)設(shè)置了三個控制元件,三個元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,將T2,T3兩個元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路,如圖所示,則該預(yù)警系統(tǒng)的可靠性是　　　　　. 5.(2021·河北衡水模擬)已知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽,比賽規(guī)則如下:①每場比賽有兩位選手參加,并決出勝負(fù);②每場比賽獲勝的選手與未參加此場比賽的選手進行下一場的比賽;③在比賽中,若有一位選手首先獲勝兩場,則本次比賽結(jié)束,該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為,且甲與乙先參加比賽,則甲獲得第一名的概率為　　　　　. 三、解答題6.(2021·江蘇新高考基地學(xué)校聯(lián)考)陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹,產(chǎn)于江蘇蘇州,蟹身青殼白肚,體大膘肥,肉質(zhì)膏膩,營養(yǎng)豐富,深受消費者喜愛.某水產(chǎn)品超市購進一批重量為100 kg的陽澄湖大閘蟹,隨機抽取了50只統(tǒng)計其重量,得到的結(jié)果如下表所示:規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量/g[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280]數(shù)量/只32152073 (1)試用組中值來估計該批大閘蟹有多少只?(所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù))(2)某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機購買了4只,記重量在區(qū)間[260,280]內(nèi)的大閘蟹數(shù)量為X,求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.    
 專題突破練18　概率、隨機變量及其分布1.D　解析: 記事件A:電視機的顯像管開關(guān)了10 000次還能繼續(xù)使用,記事件B:電視機的顯像管開關(guān)了15 000次后還能繼續(xù)使用,則P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已經(jīng)開關(guān)了10 000次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到15 000次的概率為P(B|A)==0.75.2.C　解析: 可知不超過20的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個,其中梅森素數(shù)有3,7,共2個,則在不超過20的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù)共有=28種,其中至少有一個為梅森素數(shù)有=13種,所以至少有一個為梅森素數(shù)的概率是P=.3.B　解析: 由已知得P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,P(甲丙)=0,P(甲丁)=,P(乙丙)=,P(丙丁)=0.由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=,根據(jù)相互獨立事件的性質(zhì),知事件甲與丁相互獨立,故選B.4.　解析: T2,T3并聯(lián)電路正常工作概率為1-1-×,故電路不發(fā)生故障的概率為.5.　解析: 因為每場比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為,所以甲選手獲勝的概率是P(A)=.6.解: (1)50只大閘蟹的平均重量為×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水產(chǎn)品超市購進的100 kg大閘蟹只數(shù)約為100 000÷224≈446.(2)X的可能取值為0,1,2,3,概率分別為:P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.分布列為:X0123P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×.

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