A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）
2．（2021?紹興）關(guān)于二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6
3．（2018?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)第三象限的點(diǎn)P．若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣1，則一次函數(shù)y＝（a﹣b）x+b的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2018?紹興）若拋物線(xiàn)y＝x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，稱(chēng)此拋物線(xiàn)為定弦拋物線(xiàn)，已知某定弦拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，將此拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（ ）
A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）
5．（2017?杭州）設(shè)直線(xiàn)x＝1是函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是實(shí)數(shù)，且a＜0）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，（ ）
A．若m＞1，則（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，則（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，則（m+1）a+b＞0D．若m＜1，則（m+1）a+b＜0
6．（2021?杭州）在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學(xué)們探索了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為（ ）
A．B．C．D．
7．（2019?紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝（x+5）（x﹣3）經(jīng)變換后得到拋物線(xiàn)y＝（x+3）（x﹣5），則這個(gè)變換可以是（ ）
A．向左平移2個(gè)單位B．向右平移2個(gè)單位
C．向左平移8個(gè)單位D．向右平移8個(gè)單位
8．（2019?衢州）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
9．（2020?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1．則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．a(chǎn)bc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．c﹣a＞0
D．當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，y≥c
10．（2020?溫州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是拋物線(xiàn)y＝﹣3x2﹣12x+m上的點(diǎn)，則（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
11．（2019?湖州）已知a，b是非零實(shí)數(shù)，|a|＞|b|，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y1＝ax2+bx與一次函數(shù)y2＝ax+b的大致圖象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2018?湖州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（﹣1，2），（2，1），若拋物線(xiàn)y＝ax2﹣x+2（a≠0）與線(xiàn)段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≤﹣1或≤a＜B．≤a＜
C．a(chǎn)≤或a＞D．a(chǎn)≤﹣1或a≥
13．（2017?紹興）矩形ABCD的兩條對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），一張透明紙上畫(huà)有一個(gè)點(diǎn)和一條拋物線(xiàn)，平移透明紙，使這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A重合，此時(shí)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2，再次平移透明紙，使這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)C重合，則該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋? ）
A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3
14．（2021?湖州）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)為A（1，0）和B（3，0），點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線(xiàn)上不同于A，B的兩個(gè)點(diǎn)，記△P1AB的面積為S1，△P2AB的面積為S2，有下列結(jié)論：①當(dāng)x1＞x2+2時(shí)，S1＞S2；②當(dāng)x1＜2﹣x2時(shí)，S1＜S2；③當(dāng)|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時(shí)，S1＞S2；④當(dāng)|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時(shí)，S1＜S2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．（2020?嘉興）已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)a≤x≤b時(shí)m≤y≤n，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)n﹣m＝1時(shí)，b﹣a有最小值
B．當(dāng)n﹣m＝1時(shí)，b﹣a有最大值
C．當(dāng)b﹣a＝1時(shí)，n﹣m無(wú)最小值
D．當(dāng)b﹣a＝1時(shí)，n﹣m有最大值
16．（2019?舟山）小飛研究二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）性質(zhì)時(shí)得到如下結(jié)論：
①這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線(xiàn)y＝﹣x+1上；
②存在一個(gè)m的值，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形；
③點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2；
④當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為m≥2．
其中錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二．填空題（共4小題）
17．（2018?湖州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx（a＞0）的頂點(diǎn)為C，與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)y＝ax2（a＞0）交于點(diǎn)B．若四邊形ABOC是正方形，則b的值是 ．
18．（2017?金華）在一空曠場(chǎng)地上設(shè)計(jì)一落地為矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m長(zhǎng)的繩子一端固定在B點(diǎn)處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動(dòng)，其可以活動(dòng)的區(qū)域面積為S（m2）．
（1）如圖1，若BC＝4m，則S＝ m2．
（2）如圖2，現(xiàn)考慮在（1）中的矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△CDE區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC的變化過(guò)程中，當(dāng)S取得最小值時(shí)，邊BC的長(zhǎng)為 m．
19．（2021?臺(tái)州）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過(guò)程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝vt﹣4.9t2．現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝ ．
20．（2021?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），M是拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)闹荡_定時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上能使△AOM為直角三角形的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)也隨之確定，若拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M，使△AOM為直角三角形，則的值是 ．
三．解答題（共3小題）
21．（2021?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
22．（2021?杭州）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）．
（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1，0）和（2，1）兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）寫(xiě)出一組a，b的值，使函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
（3）已知a＝b＝1，當(dāng)x＝p，q（p，q是實(shí)數(shù)，p≠q）時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q．若p+q＝2，求證：P+Q＞6．
23．（2020?金華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+4圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，異于頂點(diǎn)A的點(diǎn)C（1，n）在該函數(shù)圖象上．
（1）當(dāng)m＝5時(shí)，求n的值．
（2）當(dāng)n＝2時(shí)，若點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，結(jié)合圖象，求當(dāng)y≥2時(shí)，自變量x的取值范圍．
（3）作直線(xiàn)AC與y軸相交于點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方，且在線(xiàn)段OD上時(shí)，求m的取值范圍．
2017-2021年浙江中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編之二次函數(shù)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共16小題）
1．（2018?臨安區(qū)）拋物線(xiàn)y＝3（x﹣1）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【分析】已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝3（x﹣1）2+1是頂點(diǎn)式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）．故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)式寫(xiě)出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，比較容易．
2．（2021?紹興）關(guān)于二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí)．
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)有最小值，最小值為6，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，有最小值，當(dāng)x＝4取得最小值6，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求函數(shù)的最值．
3．（2018?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)第三象限的點(diǎn)P．若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣1，則一次函數(shù)y＝（a﹣b）x+b的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的圖象．
【專(zhuān)題】函數(shù)及其圖象．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以判斷a、b、a﹣b的正負(fù)情況，從而可以得到一次函數(shù)經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限，本題得以解決．
【解答】解：由二次函數(shù)的圖象可知，
a＜0，b＜0，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b＜0，
∴y＝（a﹣b）x+b的圖象在第二、三、四象限，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)的思想解答．
4．（2018?紹興）若拋物線(xiàn)y＝x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，稱(chēng)此拋物線(xiàn)為定弦拋物線(xiàn)，已知某定弦拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，將此拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（ ）
A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）
【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．
【分析】根據(jù)定弦拋物線(xiàn)的定義結(jié)合其對(duì)稱(chēng)軸，即可找出該拋物線(xiàn)的解析式，利用平移的“左加右減，上加下減”找出平移后新拋物線(xiàn)的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可找出結(jié)論．
【解答】解：∵某定弦拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，
∴該定弦拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，0）、（2，0），
∴該拋物線(xiàn)解析式為y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．
將此拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到新拋物線(xiàn)的解析式為y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝（x+1）2﹣4＝0，
∴得到的新拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象與幾何變換以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)定弦拋物線(xiàn)的定義結(jié)合其對(duì)稱(chēng)軸，求出原拋物線(xiàn)的解析式是解題的關(guān)鍵．
5．（2017?杭州）設(shè)直線(xiàn)x＝1是函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是實(shí)數(shù)，且a＜0）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，（ ）
A．若m＞1，則（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，則（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，則（m+1）a+b＞0D．若m＜1，則（m+1）a+b＜0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【分析】由對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝1得：b＝﹣2a，根據(jù)有理數(shù)的乘法，可得答案．
【解答】解：由對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝1得：b＝﹣2a．
（m+1）a+b＝ma+a﹣2a＝（m﹣1）a，
當(dāng)m＞1時(shí)，（m﹣1）a+b＝（m﹣1）a﹣2a＝（m﹣3）a，（m﹣1）a+b與0無(wú)法判斷．
當(dāng)m＜1時(shí)，（m+1）a+b＝（m+1）a﹣2a＝（m﹣1）a＞0．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用對(duì)稱(chēng)軸得出b＝﹣2a是解題關(guān)鍵．
6．（2021?杭州）在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學(xué)們探索了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【專(zhuān)題】函數(shù)思想；應(yīng)用意識(shí)．
【分析】比較任意三個(gè)點(diǎn)組成的二次函數(shù)，比較開(kāi)口方向，開(kāi)口向下，則a＜0，只需把開(kāi)口向上的二次函數(shù)解析式求出即可．
【解答】解：由圖象知，A、B、D組成的二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，a＞0；
A、B、C組成的二次函數(shù)開(kāi)口向上，a＞0；
B、C、D三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開(kāi)口向下，a＜0；
A、D、C三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開(kāi)口向下，a＜0；
即只需比較A、B、D組成的二次函數(shù)和A、B、C組成的二次函數(shù)即可．
設(shè)A、B、C組成的二次函數(shù)為y1＝a1x2+b1x+c1，
把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，
，
解得a1＝；
設(shè)A、B、D組成的二次函數(shù)為y＝ax2+bx+c，
把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，
，
解得a＝，
即a最大的值為，
也可以根據(jù)a的絕對(duì)值越大開(kāi)口越小直接代入ABD三點(diǎn)計(jì)算，即可求求解．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解本題的關(guān)鍵要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．
7．（2019?紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝（x+5）（x﹣3）經(jīng)變換后得到拋物線(xiàn)y＝（x+3）（x﹣5），則這個(gè)變換可以是（ ）
A．向左平移2個(gè)單位B．向右平移2個(gè)單位
C．向左平移8個(gè)單位D．向右平移8個(gè)單位
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．
【分析】根據(jù)變換前后的兩拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)找變換規(guī)律．
【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣16）．
所以將拋物線(xiàn)y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝（x+3）（x﹣5），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
8．（2019?衢州）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．
【分析】由拋物線(xiàn)頂點(diǎn)式可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對(duì)稱(chēng)軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．
9．（2020?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1．則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．a(chǎn)bc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．c﹣a＞0
D．當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，y≥c
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【分析】由圖象開(kāi)口向上，可知a＞0，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A錯(cuò)誤；根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程得到b＝2a，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，代入解析式得到y(tǒng)＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y(tǒng)＝an2（n2+2）+c≥c，故D正確．
【解答】解：由圖象開(kāi)口向上，可知a＞0，
與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，
又對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故A錯(cuò)誤；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故B錯(cuò)誤；
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴c﹣a＜0，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正確，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)D象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．（2020?溫州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是拋物線(xiàn)y＝﹣3x2﹣12x+m上的點(diǎn)，則（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【分析】求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣2，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱(chēng)性解答即可．
【解答】解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2時(shí)，函數(shù)值最大，
又∵﹣3到﹣2的距離比1到﹣2的距離小，
∴y3＜y1＜y2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱(chēng)性，求出對(duì)稱(chēng)軸是解題的關(guān)鍵．
11．（2019?湖州）已知a，b是非零實(shí)數(shù)，|a|＞|b|，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y1＝ax2+bx與一次函數(shù)y2＝ax+b的大致圖象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
【專(zhuān)題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）可以求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的正負(fù)情況，從而可以解答本題．
【解答】解：解得或．
故二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)在x軸上為（﹣，0）或點(diǎn)（1，a+b）．
在A中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故選項(xiàng)A有可能；
在B中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，則a+b＞0，故選項(xiàng)B有可能；
在C中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故選項(xiàng)C有可能；
在D中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，故選項(xiàng)D不可能；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)．
12．（2018?湖州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（﹣1，2），（2，1），若拋物線(xiàn)y＝ax2﹣x+2（a≠0）與線(xiàn)段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≤﹣1或≤a＜B．≤a＜
C．a(chǎn)≤或a＞D．a(chǎn)≤﹣1或a≥
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分兩種情形討論求解即可；
【解答】解：∵拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2﹣x+2．
觀察圖象可知當(dāng)a＜0時(shí)，x＝﹣1時(shí)，y≤2時(shí)，且﹣≥﹣，滿(mǎn)足條件，可得a≤﹣1；
當(dāng)a＞0時(shí)，x＝2時(shí)，y≥1，且拋物線(xiàn)與直線(xiàn)MN有交點(diǎn)，且﹣≤2滿(mǎn)足條件，
∴a≥，
∵直線(xiàn)MN的解析式為y＝﹣x+，
由，消去y得到，3ax2﹣2x+1＝0，
∵Δ＞0，
∴a＜，
∴≤a＜滿(mǎn)足條件，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的a的值為a≤﹣1或≤a＜，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
13．（2017?紹興）矩形ABCD的兩條對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），一張透明紙上畫(huà)有一個(gè)點(diǎn)和一條拋物線(xiàn)，平移透明紙，使這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A重合，此時(shí)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2，再次平移透明紙，使這個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)C重合，則該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋? ）
A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【分析】先由對(duì)稱(chēng)計(jì)算出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)平移規(guī)律求出新拋物線(xiàn)的解析式即可解題．
【解答】解：∵矩形ABCD的兩條對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，
∴矩形ABCD關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∵A點(diǎn)C點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，
∴A點(diǎn)、C點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）；
∴透明紙由A點(diǎn)平移至C點(diǎn)，拋物線(xiàn)向左平移了4個(gè)單位，向下平移了2個(gè)單位；
∵透明紙經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y＝x2，
∴透明紙經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
14．（2021?湖州）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)為A（1，0）和B（3，0），點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線(xiàn)上不同于A，B的兩個(gè)點(diǎn)，記△P1AB的面積為S1，△P2AB的面積為S2，有下列結(jié)論：①當(dāng)x1＞x2+2時(shí)，S1＞S2；②當(dāng)x1＜2﹣x2時(shí)，S1＜S2；③當(dāng)|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時(shí)，S1＞S2；④當(dāng)|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時(shí)，S1＜S2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【分析】不妨假設(shè)a＞0，利用圖象法一一判斷即可．
【解答】解：方法一：不妨假設(shè)a＞0．
①如圖1中，P1，P2滿(mǎn)足x1＞x2+2，
∵P1P2∥AB，
∴S1＝S2，故①錯(cuò)誤．
②當(dāng)x1＝﹣2，x2＝﹣1，滿(mǎn)足x1＜2﹣x2，
則S1＞S2，故②錯(cuò)誤，
③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴P1，P2在x軸的上方，且P1離x軸的距離比P2離x軸的距離大，
∴S1＞S2，故③正確，
④如圖2中，P1，P2滿(mǎn)足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④錯(cuò)誤．
故選：A．
方法二：解：∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A（1，0）和B（3，0），
∴該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，
當(dāng)x1＞x2+2時(shí)與當(dāng)x1＜2﹣x2時(shí)無(wú)法確定P1（x1，y1），P2（x2，y2）在拋物線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)位置，
故①和②都不正確；
當(dāng)|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時(shí)，P1（x1，y1）比P2（x2，y2）離對(duì)稱(chēng)軸更遠(yuǎn)，且同在x軸上方或者下方，
∴|y1|＞|y2|，
∴S1＞S2，故③正確；
當(dāng)|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時(shí)，即在x軸上x(chóng)1到2的距離比x2到﹣2的距離大，且都大于1，
可知在x軸上x(chóng)1到2的距離大于1，x2到﹣2的距離大于1，但x2到2的距離不能確定，
所以無(wú)法比較P1（x1，y1）比P2（x2，y2）誰(shuí)離對(duì)稱(chēng)軸更遠(yuǎn)，故無(wú)法比較面積，故④錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
15．（2020?嘉興）已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)a≤x≤b時(shí)m≤y≤n，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)n﹣m＝1時(shí)，b﹣a有最小值
B．當(dāng)n﹣m＝1時(shí)，b﹣a有最大值
C．當(dāng)b﹣a＝1時(shí)，n﹣m無(wú)最小值
D．當(dāng)b﹣a＝1時(shí)，n﹣m有最大值
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．
【專(zhuān)題】函數(shù)的綜合應(yīng)用；幾何直觀；運(yùn)算能力．
【分析】方法1、①當(dāng)b﹣a＝1時(shí)，當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，先判斷出四邊形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，進(jìn)而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判斷出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范圍，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，m＝0，當(dāng)a＝﹣，b＝時(shí)，n最?。?，即可得出n﹣m的范圍；
②當(dāng)n﹣m＝1時(shí)，當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，進(jìn)而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判斷出45°≤∠MNH＜90°，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，m＝0，則n＝1，即可求出a，b，即可得出結(jié)論．
方法2、根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)判斷，即可得出結(jié)論．
【解答】解：方法1、①當(dāng)b﹣a＝1時(shí)，當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，如圖1，
過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四邊形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)y＝x2上，且a，b同號(hào)，
∴45°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥1，
∴n﹣m≥1，
當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，m＝0，
當(dāng)a＝﹣，b＝時(shí)，n＝，此時(shí)，n﹣m＝，
∴≤n﹣m＜1，
即n﹣m≥，
即n﹣m無(wú)最大值，有最小值，最小值為，故選項(xiàng)C，D都錯(cuò)誤；
②當(dāng)n﹣m＝1時(shí)，如圖2，
當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，
∵點(diǎn)M，N在拋物線(xiàn)y＝x2上，
∴m≥0，
當(dāng)m＝0時(shí)，n＝1，
∴點(diǎn)N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此時(shí)，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，
當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，m＝0，
∴n＝1，
∴a＝﹣1，b＝1，
即b﹣a＝2，
∴b﹣a無(wú)最小值，有最大值，最大值為2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
故選：B．
方法2、當(dāng)n﹣m＝1時(shí)，
當(dāng)a，b在y軸同側(cè)時(shí)，a，b都越大時(shí)，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a沒(méi)有最小值，
當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，當(dāng)a＝﹣1，b＝1時(shí)，b﹣a＝2最大，
當(dāng)b﹣a＝1時(shí)，當(dāng)a，b在y軸同側(cè)時(shí)，a，b離y軸越遠(yuǎn)，n﹣m越大，但取不到最大，
當(dāng)a，b在y軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)a＝﹣，b＝時(shí)，n﹣m取到最小，最小值為，
因此，只有選項(xiàng)B正確，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，確定出∠MNH的范圍是解本題的關(guān)鍵．
16．（2019?舟山）小飛研究二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）性質(zhì)時(shí)得到如下結(jié)論：
①這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線(xiàn)y＝﹣x+1上；
②存在一個(gè)m的值，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形；
③點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2；
④當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為m≥2．
其中錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；等腰直角三角形；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸以及增減性依次對(duì)4個(gè)結(jié)論作出判斷即可．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）
①∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m+1）且當(dāng)x＝m時(shí)，y＝﹣m+1
∴這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線(xiàn)y＝﹣x+1上
故結(jié)論①正確；
②假設(shè)存在一個(gè)m的值，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形
令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1
解得：x1＝m﹣，x2＝m+
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m+1），且頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形
∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|
解得：m＝0或1，
當(dāng)m＝1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2，此時(shí)頂點(diǎn)為（1，0），與x軸的交點(diǎn)也為（1，0），不構(gòu)成三角形，舍去；
∴存在m＝0，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形
故結(jié)論②正確；
③∵x1+x2＞2m
∴
∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝m
∴點(diǎn)A離對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)B離對(duì)稱(chēng)軸的距離
∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0
∴y1＞y2
故結(jié)論③錯(cuò)誤；
④當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，且a＝﹣1＜0
∴m的取值范圍為m≥2．
故結(jié)論④正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的系數(shù)的關(guān)系，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，需要利用數(shù)形結(jié)合思想解決本題．
二．填空題（共4小題）
17．（2018?湖州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx（a＞0）的頂點(diǎn)為C，與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)y＝ax2（a＞0）交于點(diǎn)B．若四邊形ABOC是正方形，則b的值是 ﹣2 ．
【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；矩形 菱形 正方形．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合題意，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，﹣），再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于b的方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABOC是正方形，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．
∵拋物線(xiàn)y＝ax2過(guò)點(diǎn)B，
∴﹣＝a（﹣）2，
解得：b1＝0（舍去），b2＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐特征以及正方形的性質(zhì)，利用正方形的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于b的方程是解題的關(guān)鍵．
18．（2017?金華）在一空曠場(chǎng)地上設(shè)計(jì)一落地為矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m長(zhǎng)的繩子一端固定在B點(diǎn)處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動(dòng)，其可以活動(dòng)的區(qū)域面積為S（m2）．
（1）如圖1，若BC＝4m，則S＝ 88π m2．
（2）如圖2，現(xiàn)考慮在（1）中的矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△CDE區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC的變化過(guò)程中，當(dāng)S取得最小值時(shí)，邊BC的長(zhǎng)為 m．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
【分析】（1）小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的圓，以C為圓心、6為半徑的圓和以A為圓心、4為半徑的圓的面積和，據(jù)此列式求解可得；
（2）此時(shí)小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的圓，以A為圓心、x為半徑的圓、以C為圓心、10﹣x為半徑的圓的面積和，列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）如圖1，拴住小狗的10m長(zhǎng)的繩子一端固定在B點(diǎn)處，小狗可以活動(dòng)的區(qū)域如圖所示：
由圖可知，小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的圓，以C為圓心、6為半徑的圓和以A為圓心、4為半徑的圓的面積和，
∴S＝×π?102+?π?62+?π?42＝88π，
故答案為：88π；
（2）如圖2，
設(shè)BC＝x，則AB＝10﹣x，
∴S＝?π?102+?π?x2+?π?（10﹣x）2
＝（x2﹣5x+250）
＝（x﹣）2+，
當(dāng)x＝時(shí)，S取得最小值，
∴BC＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)繩子的長(zhǎng)度結(jié)合圖形得出其活動(dòng)區(qū)域及利用扇形的面積公式表示出活動(dòng)區(qū)域面積．
19．（2021?臺(tái)州）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過(guò)程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝vt﹣4.9t2．現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝ ：1 ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；解直角三角形．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)的應(yīng)用；推理能力．
【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根據(jù)h1＝2h2，求出v1＝v2，可得結(jié)論．
【解答】解：由題意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h(yuǎn)1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案為：：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出t1，t2，證明v1＝v2即可．
20．（2021?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），M是拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)闹荡_定時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上能使△AOM為直角三角形的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)也隨之確定，若拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M，使△AOM為直角三角形，則的值是 2或﹣8 ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；勾股定理的逆定理．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【分析】由題意△AOM是直角三角形，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x≠0或x≠3時(shí)，可知一定存在兩個(gè)以A，O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x＝0或x＝3時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，當(dāng)以O(shè)A為直徑的圓與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣相切時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸上存在1個(gè)以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M，使△AOM為直角三角形，利用圖象法求解即可．
【解答】解：∵△AOM是直角三角形，
∴當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x≠0或x≠3時(shí)，一定存在兩個(gè)以A，O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上的直角三角形，
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x＝0或x＝3時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，
∴當(dāng)以O(shè)A為直徑的圓與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣相切時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸上存在1個(gè)以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M，使△AOM為直角三角形（如圖所示）．
觀察圖象可知，﹣＝﹣1或4，
∴＝2或﹣8，
故答案為：2或﹣8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的判定，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷出對(duì)稱(chēng)軸的位置，屬于中考填空題中的壓軸題．
三．解答題（共3小題）
21．（2021?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式得到拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求得a的值即可．
（2）將a的值代入，結(jié)合拋物線(xiàn)解析式求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
【解答】解：（1）由二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）知，該拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）和（a，0）．
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，則該拋物線(xiàn)解析式是：y＝x2﹣4x+3．
∴拋物線(xiàn)向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2﹣4x．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵．
22．（2021?杭州）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）．
（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1，0）和（2，1）兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）寫(xiě)出一組a，b的值，使函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
（3）已知a＝b＝1，當(dāng)x＝p，q（p，q是實(shí)數(shù)，p≠q）時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q．若p+q＝2，求證：P+Q＞6．
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專(zhuān)題】運(yùn)算能力；模型思想．
【分析】（1）考查使用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，解二元一次方程組即可；
（2）寫(xiě)出一組a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，則y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入對(duì)代數(shù)式P+Q進(jìn)行化簡(jiǎn)，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q條件判斷q≠1，得證．
【解答】解：（1）由題意，得，
解得，
所以，該函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x+1．
并且該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此時(shí)y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函數(shù)y＝x2+3x+1的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（3）由題意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由條件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得證．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式，以及二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代數(shù)式的化簡(jiǎn)，并利用配方法判斷代數(shù)式的取值范圍，以及利用b2﹣4ac判斷二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法．第（3）小問(wèn)的關(guān)鍵是利用p+q＝2，首先對(duì)代數(shù)式P+Q化簡(jiǎn)，然后配方說(shuō)明P+Q的范圍，另外注意q≠1．
23．（2020?金華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+4圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，異于頂點(diǎn)A的點(diǎn)C（1，n）在該函數(shù)圖象上．
（1）當(dāng)m＝5時(shí)，求n的值．
（2）當(dāng)n＝2時(shí)，若點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，結(jié)合圖象，求當(dāng)y≥2時(shí)，自變量x的取值范圍．
（3）作直線(xiàn)AC與y軸相交于點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方，且在線(xiàn)段OD上時(shí)，求m的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【專(zhuān)題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）求出y＝2時(shí)，x的值即可判斷．
（3）由題意點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣m2+4），求出幾個(gè)特殊位置m的值即可判斷．
【解答】解：（1）當(dāng)m＝5時(shí)，y＝﹣（x﹣5）2+4，
當(dāng)x＝1時(shí)，n＝﹣×42+4＝﹣4．
（2）當(dāng)n＝2時(shí)，將C（1，2）代入函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝﹣（x﹣m）2+4，得2＝﹣（1﹣m）2+4，
解得m＝3或﹣1（舍去），
∴此時(shí)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x＝3，
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)y＝2時(shí)，x＝1或5，
∴x的取值范圍為1≤x≤5．
（3）∵點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合，
∴m≠1，
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m，4），
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在直線(xiàn)y＝4上，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣m2+4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣m2+4），
如圖，拋物線(xiàn)從圖1的位置向左平移到圖2的位置前，m逐漸減小，點(diǎn)B沿y軸向上移動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)B與O重合時(shí)，﹣m2+4＝0，
解得m＝2或﹣2（不合題意舍去），
當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖2，頂點(diǎn)A也與B，D重合，點(diǎn)B到達(dá)最高點(diǎn)，
∴點(diǎn)B（0，4），
∴﹣m2+4＝4，解得m＝0，
當(dāng)拋物線(xiàn)從圖2的位置繼續(xù)向左平移時(shí)，如圖3點(diǎn)B不在線(xiàn)段OD上，
∴B點(diǎn)在線(xiàn)段OD上時(shí)，m的取值范圍是：0≤m＜1或1＜m＜2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于中考常壓軸題．

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