一．選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．直線的傾斜角是（ ）
A． B． C．D．
2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）
A．B．C．D．
3．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則角為（ ）
A．B．或C．D．或
4．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
5．直線與圓交于、兩點(diǎn)，則（ ）
A．2B． C． D．
6．已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是（ ）
A．無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn) B．存在，，使之有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)
C．無(wú)論，，如何，總是無(wú)交點(diǎn) D．存在，，使之無(wú)交點(diǎn)
如圖，在正三棱柱中，，則
直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．
C． D．
8．已知點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二．選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．）
9．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記為，則下列運(yùn)算結(jié)果一定是實(shí)數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
10．如果，那么直線經(jīng)過(guò)（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
11．在菱形中，，分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量的模為 D．
12．在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面平面 B．平面
C．異面直線與所成角的取值范圍是 D．三棱錐的體積不變
三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．）
13．若直線與垂直，則實(shí)數(shù) ．
14．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則直線的方程為 ．
15．已知復(fù)數(shù)滿足，若（為虛數(shù)單位），則 ．
16．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，軸截面是過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的所有截面中面積最大的一個(gè)，則該圓錐的表面積的最大值為 ．
四．解答題（本大題共6小題，共70分．請(qǐng)將正確答案做在答題卷相應(yīng)位置，要有必要的推理或證明過(guò)程．）
17．（10分）設(shè)向量．
（1）若向量，求；
（2）若向量與向量的夾角為，求．
18．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．
（1）求角的大??；
（2）若，求的面積的最大值．
19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，、分別是、中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求與面所成角的正弦值．
20．（12分）如圖，現(xiàn)有兩輛汽車(chē)同時(shí)從地出發(fā)，沿各自路徑勻速前往地．汽車(chē)甲路線為，汽車(chē)乙路線，兩車(chē)在地匯合后共同前往下一個(gè)目的地．已知，，，甲的行駛速度為，乙的行駛速度為．
（1）求乙到達(dá)地這一時(shí)刻的甲、乙兩車(chē)之間的距離；
（2）已知兩車(chē)車(chē)上都配有通話器，通話器的有效通話距離不超過(guò)，從乙到達(dá)地這一時(shí)刻算起，甲乙無(wú)法通話的時(shí)間為多長(zhǎng)？
21．（12分）如圖，已知在三棱柱中，四邊形為正方形，，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
22．（12分）已知圓心在第一象限，半徑為的圓與軸相切，且與軸正半軸交于兩點(diǎn)（在左側(cè)），（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)．
①證明：為定值；②求的最小值．
重慶八中高2023級(jí)高一（下）數(shù)學(xué)期末考試（答案）
1——4．DCAD 5——8．BADC 9．AC 10．ACD 11．ACD 12．ABD
13． 14． 15． 16．
8．當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
所以，又因?yàn)?，所以，即?br>12．對(duì)于A：因?yàn)?，且，所以平面平面，正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，且，所以平面，正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，所以異面直線與所成角即為與這兩條相交直線所成角，記為，在中，易知，錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，因?yàn)椋?，而點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)到面的距離保持不變，所以三棱錐的體積不變，正確．
16．如圖，記母線長(zhǎng)為，底面半徑為，記過(guò)頂點(diǎn)的截面交底面圓周于兩點(diǎn)，
記，軸截面為，則，且，
若，則有，，由，得，從而圓錐表面積：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
17．（1），因?yàn)?，所以，解得；…?分
（2），因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以，解得或．……10分
18．因?yàn)?，由正弦定理得?br>，因?yàn)?，所以，則，即；……6分
（2）由（1）知，由余弦定理得
，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．……12分
19． （1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，
，分別是，的中點(diǎn)，，，
四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，，，
且，四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，平面．……5分
（2）解：平面，平面，，
四邊形是正方形，，設(shè)，
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
故，，，，故，……7分
設(shè)面法向量為，則有：，令，則有……10分
設(shè)直線與平面所成的角為，則 故直線與平面所成的角的正弦值為．……12分
20．（1）由．
設(shè)當(dāng)乙到達(dá)地時(shí)，甲處在點(diǎn)，則，
所以在中，由余弦定理得:
，
，即此時(shí)甲?乙兩車(chē)之間的距離為．……5分
（2）設(shè)乙到達(dá)地后，經(jīng)過(guò)小時(shí)，甲?乙兩車(chē)之間的距離為，
在中， ，
乙從地到達(dá)地，用時(shí)小時(shí)，甲從處到達(dá)地，用時(shí)小時(shí)，
所以當(dāng)乙從地到達(dá)地，此時(shí)，甲從處行進(jìn)到點(diǎn)處，且 ，所以當(dāng)時(shí)，
令或（舍去）……9分
又當(dāng)時(shí)，甲?乙兩車(chē)間的距離
因?yàn)榧?乙間的距離不大于時(shí)方可通過(guò)通話器取得聯(lián)系，
所以，從乙到達(dá)地這一時(shí)刻算起，甲?乙無(wú)法通話的時(shí)間有小時(shí)．……12分
21．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，
，，，△，
，又，，
， 又，，
平面， 又面，．……5分
（2）解：，，，即，
，，，又，
面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
，，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
，， ，……8分
設(shè)面的法向量
由，令，得，……10分
又面的法向量，設(shè)面與面所成角為，
則，即面與面所成銳二面角余弦值為．……12分
22．（1）由題設(shè)，設(shè)圓，對(duì)于圓的方程，令，得，其中為該方程的兩根，所以．又因?yàn)?，所以，解得．故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．……5分
（2）①：由（1）知為方程的兩根，解得，即．設(shè)，則，
，同理，所以為定值；……10分
②：由①知，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值．……12分

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