1.如圖,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),AD=CE,CD=BE.
(1)求證:△ACD≌△CBE;
(2)連接DE,求證:四邊形CBED是平行四邊形.
解:(1)證明:∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),∴AC=BC;
在△ADC與△CEB中,,
∴△ADC≌△CEB(SSS).
(2)證明:連接DE,如圖所示:
∵△ADC≌△CEB,∴∠ACD=∠CBE,∴CD∥BE,
又∵CD=BE,∴四邊形CBED是平行四邊形.
2.如圖,在?ABCD中過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC,垂足為E,連接BE,F為BE上一點(diǎn),且∠AFE=∠D.
(1)求證:△ABF∽△BEC;
(2)若AD=5,AB=8,sinD=,求AF的長(zhǎng).
解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,
∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC,
∵∠AFB+∠AFE=180°,∴∠C=∠AFB,∴△ABF∽△BEC;
(2)∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠AED=∠BAE=90°,
在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理得:BE==4,
在Rt△ADE中,AE=AD·sinD=5×=4,∵BC=AD=5,
由(1)得:△ABF∽△BEC,∴,
即,解得:AF=2.
3.如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.求作∠ABC的平分線,分別交AD,AC于P,Q兩點(diǎn);并證明AP=AQ.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)
解:作圖如下,BQ就是所求作的∠ABC的平分線,P、Q就是所求作的點(diǎn).
證明如下:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°,
∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP,
∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.

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