1．（3分）下列各數(shù)中比﹣1小的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣D．1
2．（3分）如圖是一空心圓柱，其主視圖正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如圖AB∥CD，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，EF平分∠AED交AB于點(diǎn)F，若∠AEC＝42°，則∠AFE的度數(shù)為（ ）
A．42°B．65°C．69°D．71°
4．（3分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3），則此正比例函數(shù)的關(guān)系式為（ ）
A．y＝3xB．y＝﹣3xC．D．
5．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6
C．2x?2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA＝，AE＝3，則tan∠DBE的值是（ ）
A．B．2C．D．
7．（3分）直線y＝2x+1向右平移得到y(tǒng)＝2x﹣1，平移了（ ）個(gè)單位長(zhǎng)度．
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
8．（3分）如圖所示，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么線段AD與AB的比等于（ ）
A．25：24B．16：15C．5：4D．4：3
9．（3分）如圖，在圓O中，直徑AB平分弦CD于點(diǎn)E，且CD＝4，連接AC，OD，若∠A與∠DOB互余，則EB的長(zhǎng)是（ ）
A．2B．4C．D．2
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，則（ ）
A．a(chǎn)＞0且4a+b＝0B．a(chǎn)＜0且4a+b＝0
C．a(chǎn)＞0且2a+b＝0D．a(chǎn)＜0且2a+b＝0
二、填空題（共4小題）
11．（3分）分解因式：x3﹣xy2＝ ．
12．（3分）把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上．若AB＝，則CD＝ ．
13．（3分）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則△OAC與△BAD的面積之差為 ．
14．（3分）如圖，點(diǎn)A是直線y＝﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，則△AOB面積的最大值為 ．
三、解答題（共11小題）
15．計(jì)算：﹣22+（﹣π）0+|1﹣2sin60°|．
16．解分式方程：．
17．已知如圖，△ABC中，AB＝AC，用尺規(guī)在BC邊上求作一點(diǎn)P，使△BPA∽△BAC（保留作圖痕跡，不寫作法）．
18．已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求證：BC＝AE．
19．西安市2016年中考，綜合素質(zhì)測(cè)試滿分為100分．某校為了調(diào)查學(xué)生對(duì)于綜合素質(zhì)的掌握程度，在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行模擬測(cè)試，并將測(cè)試成績(jī)繪制成下面兩幅統(tǒng)計(jì)圖．
試根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的數(shù)據(jù)，回答下面問題：
（1）計(jì)算樣本中，成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生有 分，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（2）樣本中，測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是 分，眾數(shù)是 分．
（3）若該校九年級(jí)共有2000名學(xué)生，根據(jù)此次模擬成績(jī)估計(jì)該校九年級(jí)中考綜合速度測(cè)試將有多少名學(xué)生可以獲得滿分．
20．小明學(xué)校門前有座山，山上有一電線桿PQ，他很想知道電線桿PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同學(xué)小亮帶著測(cè)角器和皮尺來到山下進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小明站在地面上的點(diǎn)A處，測(cè)得電線桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°；然后小明向前走6米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得電線桿頂端點(diǎn)P和電線桿底端點(diǎn)Q的仰角分則是60°和30°，設(shè)小明的眼睛到地面的距離為1.6米，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算電線桿PQ的高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)＝1.7，＝1.4）．
21．“低碳生活，綠色出行”共享單車已經(jīng)成了很多人出行的主要選擇．
（1）考慮到共享單車市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，摩拜公司準(zhǔn)備用不超過60000元的資金再購(gòu)進(jìn)A，B兩種規(guī)格的自行車100輛，且A型車不超過60輛．已知A型的進(jìn)價(jià)為500元/輛，B型車進(jìn)價(jià)為700元/輛，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型車m輛，求出m的取值范圍；
（2）已知A型車每月產(chǎn)生的利潤(rùn)是100元/輛，B型車每月產(chǎn)生的利潤(rùn)是90元/輛，在（1）的條件下，求公司每月的最大利潤(rùn)．
22．車輛經(jīng)過潤(rùn)揚(yáng)大橋收費(fèi)站時(shí)，有A、B、C、D四個(gè)收費(fèi)通道，假設(shè)車輛通過每個(gè)收費(fèi)通道的可能性相同，車輛可隨機(jī)選擇一個(gè)通過．
（1）一輛車經(jīng)過此收費(fèi)站時(shí)，A通道通過的概率為 ；
（2）兩輛車經(jīng)過此收費(fèi)站時(shí)，用樹狀圖或列表法求選擇不同通道通過的概率．
23．如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）試說明DF是⊙O的切線；
（2）若AC＝3AE，求tanC．
24．我們定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同軸二次函數(shù)為y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）請(qǐng)你寫出y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數(shù)；
（2）如圖，二次函數(shù)L1：y＝ax2﹣4ax+1與其友好同軸二次函數(shù)L2都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C分別在L1、L2上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為m（0＜m＜2）它們關(guān)于L1的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為B′，C′，連接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四邊形BB′C′C為正方形，求m的值．
25．問題提出：
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，則四邊形ABCD的面積為 ；
問題探究：
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分別找一點(diǎn)E、F，使得△BEF的周長(zhǎng)最小，并求出△BEF的最小周長(zhǎng)；
問題解決：
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，則在四邊形ABCD中（包含其邊沿）是否存在一點(diǎn)E，使得∠AEC＝30°，且使四邊形ABCE的面積最大．若存在，找出點(diǎn)E的位置，并求出四邊形ABCE的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2019年陜西省西安市高新一中中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題）
1．（3分）下列各數(shù)中比﹣1小的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣D．1
【分析】根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)反而小，可得答案．
【解答】解：A、﹣2＜﹣1，故A正確；
B、﹣1＝﹣1，故B錯(cuò)誤；
C、﹣＞﹣1，故C錯(cuò)誤；
D、1＞﹣1，故D錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)大小比較，利用了正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，注意兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)反而?。?br>2．（3分）如圖是一空心圓柱，其主視圖正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【解答】解：圓柱的主視圖是矩形，里面有兩條用虛線表示的看不到的棱，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖；注意看得到的棱畫實(shí)線，看不到的棱畫虛線．
3．（3分）如圖AB∥CD，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，EF平分∠AED交AB于點(diǎn)F，若∠AEC＝42°，則∠AFE的度數(shù)為（ ）
A．42°B．65°C．69°D．71°
【分析】由平角求出∠AED的度數(shù)，由角平分線得出∠DEF的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可求出∠AFE的度數(shù)．
【解答】解：∵∠AEC＝42°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝138°，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝∠AED＝69°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝69°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．熟練掌握平行線的性質(zhì)，求出∠DEF的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
4．（3分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3），則此正比例函數(shù)的關(guān)系式為（ ）
A．y＝3xB．y＝﹣3xC．D．
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3），
∴﹣3＝k即k＝﹣3，
∴該正比例函數(shù)的解析式為：y＝﹣3x．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此類題目需靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，利用方程解決問題．
5．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6
C．2x?2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
【分析】結(jié)合選項(xiàng)分別進(jìn)行合并同類項(xiàng)、積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、完全平方公式的運(yùn)算，選出正確答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、（﹣b2）3＝﹣b6，故本選項(xiàng)正確；
C、2x?2x2＝4x3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)、積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、完全平方公式，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA＝，AE＝3，則tan∠DBE的值是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】在直角三角形ADE中，csA＝，求得AD，再求得DE，即可得到tan∠DBE＝．
【解答】解：設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為t．
∵BE＝2，
∴AE＝t﹣2．
∵csA＝，
∴．
∴＝．
∴t＝5．
∴BE＝5﹣3＝2，
∴DE＝＝4，
∴tan∠DBE＝＝2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)和解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．
7．（3分）直線y＝2x+1向右平移得到y(tǒng)＝2x﹣1，平移了（ ）個(gè)單位長(zhǎng)度．
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，得出即可．
【解答】解：∵將直線y＝2x+1平移后，得到直線y＝2x﹣1，
∴2（x+a）+1＝2x﹣1，
解得：a＝﹣1，
故向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，正確把握變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．
8．（3分）如圖所示，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么線段AD與AB的比等于（ ）
A．25：24B．16：15C．5：4D．4：3
【分析】先根據(jù)圖形翻折的性質(zhì)可得到四邊形EFGH是矩形，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△AHE≌Rt△CFG，再由勾股定理及直角三角形的面積公式即可解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠HEF＝90°，
同理四邊形EFGH的其它內(nèi)角都是90°，
∴四邊形EFGH是矩形．
∴EH＝FG（矩形的對(duì)邊相等）；
又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠5（等量代換），
同理∠5＝∠7＝∠8，
∴∠1＝∠8，
∴Rt△AHE≌Rt△CFG，
∴AH＝CF＝FN，
又∵HD＝HN，
∴AD＝HF，
在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根據(jù)勾股定理得HF＝＝5．
又∵HE?EF＝HF?EM，
∴EM＝，
又∵AE＝EM＝EB（折疊后A、B都落在M點(diǎn)上），
∴AB＝2EM＝，
∴AD：AB＝5：＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，折疊以后的圖形與原圖形全等．
9．（3分）如圖，在圓O中，直徑AB平分弦CD于點(diǎn)E，且CD＝4，連接AC，OD，若∠A與∠DOB互余，則EB的長(zhǎng)是（ ）
A．2B．4C．D．2
【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AB⊥CD，再由∠A與∠DOB計(jì)算∠DOB＝60°，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得OD和OE的長(zhǎng)，從而得結(jié)論．
【解答】解：∵直徑AB平分弦CD，CD不是直徑，
∴AB⊥CD，
∴∠DOB＝2∠A，
∵∠A與∠DOB互余，
∴∠DOB＝60°，
∵CD＝4，
∴ED＝CD＝2，
∴OE＝2，OD＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣2＝2，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、勾股定理、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，則（ ）
A．a(chǎn)＞0且4a+b＝0B．a(chǎn)＜0且4a+b＝0
C．a(chǎn)＞0且2a+b＝0D．a(chǎn)＜0且2a+b＝0
【分析】利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，則b+4a＝0，然后利用x＝1，y＝n，且n＜m可確定拋物線的開口向上，從而得到a＞0．
【解答】解：∵點(diǎn)（0，m）、（4，m）為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
即﹣＝2，
∴b+4a＝0，
∵x＝1，y＝n，且n＜m，
∴拋物線的開口向上，
即a＞0．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定：△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
二、填空題（共4小題）
11．（3分）分解因式：x3﹣xy2＝ x（x+y）（x﹣y） ．
【分析】首先提取公因式x，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．
故答案為：x（x+y）（x﹣y）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．
12．（3分）把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上．若AB＝，則CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則△OAC與△BAD的面積之差為 3 ．
【分析】根據(jù)△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC＝AC、AD＝BD，設(shè)OC＝a，BD＝b，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a+b，a﹣b），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a2﹣b2＝6，再根據(jù)三角形的面積即可得出△OAC與△BAD的面積之差．
【解答】解：∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OC＝AC，AD＝BD．
設(shè)OC＝a，BD＝b，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a+b，a﹣b），
∵反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝6，
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出a2﹣b2的值是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，點(diǎn)A是直線y＝﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，則△AOB面積的最大值為 +1 ．
【分析】作△AOB的外接圓⊙C，連接CB，CA，CO，過C作CD⊥AB于D，則CA＝CB，連接OD，則OD≤OC+CD，依據(jù)當(dāng)O，C，D在同一直線上時(shí)，OD的最大值為OC+CD＝+1，即可得到△AOB的面積最大值．
【解答】解：如圖所示，作△AOB的外接圓⊙C，連接CB，CA，CO，過C作CD⊥AB于D，則CA＝CB，
由題可得∠AOB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1，AC＝BC＝＝CO，
連接OD，則OD≤OC+CD，
∴當(dāng)O，C，D在同一直線上時(shí)，OD的最大值為OC+CD＝+1，
此時(shí)OD⊥AB，
∴△AOB的面積最大值為AB×OD＝×2（+1）＝+1，
當(dāng)點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸正半軸上時(shí)，同理可得，△AOB面積的最大值為﹣1（舍去）．
故答案為：+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及圓周角定理的運(yùn)用，熟記性質(zhì)并判斷出△AOB面積最大時(shí)圓心的位置是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共11小題）
15．計(jì)算：﹣22+（﹣π）0+|1﹣2sin60°|．
【分析】根據(jù)乘方、零指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝﹣4+1+|1﹣2×|
＝﹣3+﹣1
＝﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握乘方、零指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
16．解分式方程：．
【分析】分式方程變形后去分母得到整式方程，解之，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到答案．
【解答】解：原方程可整理得：﹣1＝，
去分母得：3﹣（x﹣3）＝﹣1，
去括號(hào)得：3﹣x+3＝﹣1，
移項(xiàng)得：﹣x＝﹣1﹣3﹣3，
合并同類項(xiàng)得：﹣x＝﹣7，
系數(shù)化為1得：x＝7，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝7是分式方程的解．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．
17．已知如圖，△ABC中，AB＝AC，用尺規(guī)在BC邊上求作一點(diǎn)P，使△BPA∽△BAC（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【分析】作出AB的垂直平分線，可得BP＝AP，則∠PBA＝∠BAP，進(jìn)而得出△BPA∽△BAC．
【解答】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求，
此時(shí)△BPA∽△BAC．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似變換以及復(fù)雜作圖，正確把握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
18．已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求證：BC＝AE．
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CAB＝∠ADE，然后利用“角邊角”證明△ABC和△DAE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．
【解答】證明：∵DE∥AB，
∴∠CAB＝∠ADE，
∵在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴BC＝AE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．
19．西安市2016年中考，綜合素質(zhì)測(cè)試滿分為100分．某校為了調(diào)查學(xué)生對(duì)于綜合素質(zhì)的掌握程度，在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行模擬測(cè)試，并將測(cè)試成績(jī)繪制成下面兩幅統(tǒng)計(jì)圖．
試根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的數(shù)據(jù)，回答下面問題：
（1）計(jì)算樣本中，成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生有 14 分，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（2）樣本中，測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是 98 分，眾數(shù)是 100 分．
（3）若該校九年級(jí)共有2000名學(xué)生，根據(jù)此次模擬成績(jī)估計(jì)該校九年級(jí)中考綜合速度測(cè)試將有多少名學(xué)生可以獲得滿分．
【分析】（1）先根據(jù)96分人數(shù)及其百分比求得總?cè)藬?shù)，再根據(jù)各組人數(shù)之和等于總數(shù)可得98分的人數(shù)；
（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得；
（3）利用樣本中100分人數(shù)所占比例乘以總?cè)藬?shù)可得．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的人數(shù)共有10÷20%＝50人，
則成績(jī)?yōu)?8分的人數(shù)為50﹣（20+10+4+2）＝14（人），
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：
故答案為：14；
（2）本次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為＝98分，眾數(shù)100分，
故答案為：98，100；
（3）∵2000×＝800，
∴估計(jì)該校九年級(jí)中考綜合速度測(cè)試將有800名學(xué)生可以獲得滿分．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用差生的人數(shù)及所占的比例求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，要學(xué)會(huì)讀圖獲取信息的能力．
20．小明學(xué)校門前有座山，山上有一電線桿PQ，他很想知道電線桿PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同學(xué)小亮帶著測(cè)角器和皮尺來到山下進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小明站在地面上的點(diǎn)A處，測(cè)得電線桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°；然后小明向前走6米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得電線桿頂端點(diǎn)P和電線桿底端點(diǎn)Q的仰角分則是60°和30°，設(shè)小明的眼睛到地面的距離為1.6米，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算電線桿PQ的高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)＝1.7，＝1.4）．
【分析】設(shè)QH＝x米，根據(jù)正切的定義分別用x表示出DH、PH，根據(jù)題意列式求出x，求出電線桿PQ的高度．
【解答】解：設(shè)QH＝x米，
由題意得，∠PDH＝60°，∠QDH＝30°，
∴∠DPH＝30°，
在Rt△QDH中，tan∠QDH＝，
則DH＝＝＝x，
在Rt△PDH中，tan∠PDH＝，
則PH＝＝3x，
∵∠PCH＝45°，
∴CH＝PH，即6+x＝3x，
解得，x＝3+，
則PQ＝3x﹣x＝2x＝6+2≈9，
答：電線桿PQ的高度約為9米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
21．“低碳生活，綠色出行”共享單車已經(jīng)成了很多人出行的主要選擇．
（1）考慮到共享單車市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，摩拜公司準(zhǔn)備用不超過60000元的資金再購(gòu)進(jìn)A，B兩種規(guī)格的自行車100輛，且A型車不超過60輛．已知A型的進(jìn)價(jià)為500元/輛，B型車進(jìn)價(jià)為700元/輛，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型車m輛，求出m的取值范圍；
（2）已知A型車每月產(chǎn)生的利潤(rùn)是100元/輛，B型車每月產(chǎn)生的利潤(rùn)是90元/輛，在（1）的條件下，求公司每月的最大利潤(rùn)．
【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型車m輛，則購(gòu)買B型車（100﹣m）輛，根據(jù)A型車不超過60輛且購(gòu)買資金不超過60000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；
（2）設(shè)公司每月的利潤(rùn)為w元，根據(jù)總利潤(rùn)＝每輛的月利潤(rùn)×數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型車m輛，則購(gòu)買B型車（100﹣m）輛，
依題意，得：，
解得：50≤m≤60．
答：m的取值范圍為50≤m≤60．
（2）設(shè)公司每月的利潤(rùn)為w元，
依題意，得：w＝100m+90（100﹣m）＝10m+9000．
∵10＞0，
∴w值隨m值的增大而增大，
∴當(dāng)m＝60時(shí)，w取得最大值，最大值為9600．
答：公司每月的最大利潤(rùn)為9600元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
22．車輛經(jīng)過潤(rùn)揚(yáng)大橋收費(fèi)站時(shí)，有A、B、C、D四個(gè)收費(fèi)通道，假設(shè)車輛通過每個(gè)收費(fèi)通道的可能性相同，車輛可隨機(jī)選擇一個(gè)通過．
（1）一輛車經(jīng)過此收費(fèi)站時(shí)，A通道通過的概率為 ；
（2）兩輛車經(jīng)過此收費(fèi)站時(shí)，用樹狀圖或列表法求選擇不同通道通過的概率．
【分析】（1）根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論；
（2）畫出樹狀圖即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）選擇A通道通過的概率＝，
故答案為：，
（2）設(shè)兩輛車為甲，乙，畫樹狀圖得：
由樹狀圖可知：兩輛車經(jīng)過此收費(fèi)站時(shí)，會(huì)有16種可能的結(jié)果，其中選擇不同通道通過的有12種結(jié)果，
∴選擇不同通道通過的概率＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，正確的畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）試說明DF是⊙O的切線；
（2）若AC＝3AE，求tanC．
【分析】（1）連接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）由AC＝3AE可得AB＝AC＝3AE，EC＝4AE；連結(jié)BE，由AB是直徑可知∠AEB＝90°，根據(jù)勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可．
【解答】解：（1）連接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，點(diǎn)D在⊙O上，
∴DF是⊙O的切線；
（2）連接BE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，AC＝3AE，
∴AB＝3AE，CE＝4AE，
∴BE＝＝2AE，
在Rt△BEC中，tanC＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)等，是一道綜合題，難度中等．
24．我們定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同軸二次函數(shù)為y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）請(qǐng)你寫出y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數(shù)；
（2）如圖，二次函數(shù)L1：y＝ax2﹣4ax+1與其友好同軸二次函數(shù)L2都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C分別在L1、L2上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為m（0＜m＜2）它們關(guān)于L1的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為B′，C′，連接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四邊形BB′C′C為正方形，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數(shù)即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)L1的解析式找出其友好同軸二次函數(shù)L2的函數(shù)解析式，代入a＝3，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B、C、B′、C′的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出BC、BB′的值，由正方形的性質(zhì)可得出BC＝BB′，即關(guān)于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵1﹣＝，1×（÷）＝2，
∴函數(shù)y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數(shù)為y＝x2+2x﹣5．
（2）二次函數(shù)L1：y＝ax2﹣4ax+1的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，其友好同軸二次函數(shù)L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．
∵a＝3，
∴二次函數(shù)L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函數(shù)L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，3m2﹣12m+1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+8m+1），
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4﹣m，3m2﹣12m+1），點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4﹣m，﹣2m2+8m+1），
∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．
∵四邊形BB′C′C為正方形，
∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，
解得：m1＝，m2＝（不合題意，舍去），
∴m的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、解一元二次方程以及解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）仔細(xì)讀題，掌握友好同軸二次函數(shù)的應(yīng)用；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的一元二次方程；②利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合四邊形相鄰兩邊的關(guān)系，找出關(guān)于a的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程．
25．問題提出：
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，則四邊形ABCD的面積為 3 ；
問題探究：
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分別找一點(diǎn)E、F，使得△BEF的周長(zhǎng)最小，并求出△BEF的最小周長(zhǎng)；
問題解決：
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，則在四邊形ABCD中（包含其邊沿）是否存在一點(diǎn)E，使得∠AEC＝30°，且使四邊形ABCE的面積最大．若存在，找出點(diǎn)E的位置，并求出四邊形ABCE的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）由題意可證△ABD≌△CBD，可得∠ADB＝∠CDB＝30°，可求AB＝BC＝，即可求四邊形ABCD的面積；
（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得BE＝EM，AB＝AM＝2，BF＝FN，BC＝CN＝3，可得△BEF的周長(zhǎng)＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，由勾股定理可求MN的長(zhǎng)，即可得△BEF的最小周長(zhǎng)；
（3）由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠AEC＝30°，由矩形的性質(zhì)可得BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，由勾股定理可得CE＝4+2＝AE，由當(dāng)點(diǎn)E在AC的垂直平分線上時(shí)，S四邊形ABCE最大，即可求四邊形ABCE的最大面積．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°
∴△ABD≌△CBD（SAS）
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ADC＝60°
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，且∠BAD＝∠BCD＝90°
∴AB＝BC＝
∴四邊形ABCD的面積＝2××3×＝3
故答案為：3
（2）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN，交AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MG⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)B，點(diǎn)M關(guān)于AD對(duì)稱
∴BE＝EM，AB＝AM＝2，
∴BM＝4
∵點(diǎn)B，點(diǎn)N關(guān)于CD對(duì)稱
∴BF＝FN，BC＝CN＝3
∴△BEF的周長(zhǎng)＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN
∵∠ABC＝135°，
∴∠GBM＝45°，且GM⊥BG，
∴∠GBM＝∠GMB＝45°
∴BG＝GM，且BG2+GM2＝BM2，
∴BG＝4＝GM，
∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，
∴在Rt△GMN中，MN＝＝＝2
∴△BEF的最小周長(zhǎng)為2
（3）作△ABC的外接圓，交CD于點(diǎn)E，連接AC，AE，過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作BN⊥AM于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形
∴∠ABC+∠AEC＝180°
∴∠AEC＝30°，
∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四邊形BCMN是矩形
∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ABN＝60°，且BN⊥AM
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝1，AN＝BN＝
∴AM＝+2，CM＝1
∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，
∴AE＝2AM＝2+4，ME＝AM＝3+2
∴CE＝CM+ME＝4+2＝AE
∴點(diǎn)E在AC垂直平分線上，
∵S四邊形ABCE＝S△ABC+S△ACE，且S△ABC是定值，AC長(zhǎng)度是定值，點(diǎn)E在△ABC的外接圓上，
∴當(dāng)點(diǎn)E在AC的垂直平分線上時(shí)，S四邊形ABCE最大
∴S四邊形ABCE＝S四邊形ABCM+S△AME＝××1+＝8+4
【點(diǎn)評(píng)】本題四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2020/6/19 16:04:25；用戶：西安萬向思維數(shù)學(xué)；郵箱：xianwanxiang005@xyh.cm；學(xué)號(hào)：24602080

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