A．B．C．3D．﹣3
2．（3分）如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E，若∠C＝50°，則∠AED＝（ ）
A．65°B．115°C．125°D．130°
3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a(chǎn)2?a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
4．（3分）發(fā)展工業(yè)是強(qiáng)國(guó)之夢(mèng)的重要舉措，如圖所示零件的左視圖是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝﹣6x的圖象平行且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣3），則這個(gè)一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分線，AC＝6，則點(diǎn)D到AB的距離為（ ）
A．B．C．2D．3
7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E在邊BC上，若AE平分∠BED，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．4﹣
8．（3分）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD中BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE交CD于F，交BD于M，則圖中共有相似三角形（不含全等的三角形）（ ）對(duì)．
A．4B．5C．6D．7
9．（3分）已知，如圖，點(diǎn)C、D在⊙O上，直徑AB＝6cm，弦AC、BD相交于點(diǎn)E．若CE＝BC，則陰影部分面積為（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，過(guò)A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）四點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
二．填空題（共4小題）
11．（3分）在實(shí)數(shù)﹣3，0，π，﹣，中，最大的一個(gè)數(shù)是 ．
12．（3分）菱形ABCD的邊AB＝6，∠ABC＝60°，則菱形ABCD的面積為 ．
13．（3分）如圖，矩形ABCD的邊AB與y軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），C（3，m+6），那么圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)D的反比例函數(shù)表達(dá)式為 ．
14．（3分）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝，則四邊形ABCD面積的最小值是 ．
三．解答題（共11小題）
15．（5分）計(jì)算：﹣×（﹣）﹣3+|2﹣3|﹣（﹣）0
16．（5分）化簡(jiǎn)求值：÷（﹣1）+1，其中x選取﹣2，0，1，4中的一個(gè)合適的數(shù)．
17．（5分）尺規(guī)作圖：已知點(diǎn)D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，用尺規(guī)在△ABC的邊上找一點(diǎn)E，使S△ADE：S△ABC＝1：4．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
18．（5分）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．證明：AB＝DF．
19．（7分）某學(xué)校為了了解本校1800名學(xué)生的課外閱讀的情況，現(xiàn)從各年級(jí)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生對(duì)他們一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，并繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②，根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：
（1）本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 圖①中m的值為 ；
（2）本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 小時(shí)，中位數(shù)是 小時(shí)；
（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校一周的課外閱讀時(shí)間大于6h的學(xué)生人數(shù)．
20．（7分）如圖，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE，而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25米的距離（B，F(xiàn)，C在一條直線上）．
（1）求辦公樓AB的高度；
（2）若要在A，E之間掛一些彩旗，請(qǐng)你求出A，E之間的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cs22°，tan22）
21．（7分）某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采用分段計(jì)費(fèi)的方法按月計(jì)算每戶家庭的水費(fèi)，月用水量不超過(guò)20立方米時(shí)，按2元/立方米計(jì)費(fèi)；月用水量超過(guò)20立方米時(shí)，其中的20立方米仍按2元/立方米收費(fèi)，超過(guò)部分按2.6元/立方米計(jì)費(fèi)．設(shè)每戶家庭用水量為x立方米時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)y元．
（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）小明家第二季度交納水費(fèi)的情況如下：
小明家這個(gè)季度共用水多少立方米？
22．（7分）如圖，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被它的兩條直徑分成了四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域，其中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形的圓心角為120°．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，此時(shí)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的交線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，求轉(zhuǎn)出的數(shù)字是1的概率；
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，用樹(shù)狀圖或列表法求這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為正數(shù)的概率．
23．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FG，交AB于點(diǎn)G．
（1）求證：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的長(zhǎng)．
24．（10分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為D′．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方，且△OBD的面積等于△OBC的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)D'剛好落在第四象限的拋物線上時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）點(diǎn)P在拋物線上（不與點(diǎn)B、C重合），連接PD、PD′、DD′，是否存在點(diǎn)P，使△PDD′是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（12分）問(wèn)題背景
（1）如圖（1）△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)A作⊙O的切線l，在l上任取一個(gè)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)P，連接PB、PC，比較∠BPC與∠BAC的大小，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決
（2）如圖（2），A（0，2），B（0，4），在x軸正半軸上是否存在一點(diǎn)P，使得cs∠APB最??？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
拓展應(yīng)用
（3）如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AD，P是DE右側(cè)四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值．
2020年陜西省西安市高新一中中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（3分）﹣3的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．3D．﹣3
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱互為相反數(shù)計(jì)算即可．
【解答】解：（﹣3）+3＝0．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)的定義做出判斷，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．
2．（3分）如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E，若∠C＝50°，則∠AED＝（ ）
A．65°B．115°C．125°D．130°
【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠AED的度數(shù)即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣65°＝115°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和平行線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，②兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a(chǎn)2?a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及完全平方公式、積的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、a2?a3＝a5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了合并同類項(xiàng)以及完全平方公式、積的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
4．（3分）發(fā)展工業(yè)是強(qiáng)國(guó)之夢(mèng)的重要舉措，如圖所示零件的左視圖是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．
【解答】解：如圖所示零件的左視圖是．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，注意看到的線畫(huà)實(shí)線．
5．（3分）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝﹣6x的圖象平行且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣3），則這個(gè)一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限
【分析】根據(jù)兩條直線相交或平行問(wèn)題由一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象平行得到k＝2，然后把點(diǎn)A（1，﹣3）代入一次函數(shù)解析式可求出b的值，根據(jù)k、b的值即可判斷一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的象限．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝﹣6x的圖象平行，
∴k＝﹣6，
∴y＝﹣6x+b，
把點(diǎn)A（1，﹣3）代入y＝﹣6x+b得﹣6+b＝﹣3，解得b＝3，
∵k＝﹣6＜0，b＝3＞0，
∴一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題：若直線y＝k1x+b1與直線y＝k2x+b2平行，則k1＝k2；若直線y＝k1x+b1與直線y＝k2x+b2相交，則由兩解析式所組成的方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)．
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分線，AC＝6，則點(diǎn)D到AB的距離為（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD＝5，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD＝30°，
∵AC＝6，
∴CD＝AC，
又AC＝6，
∴CD＝2，
∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E在邊BC上，若AE平分∠BED，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．4﹣
【分析】由已知條件和矩形的性質(zhì)易證△ADE是等腰三角形，所以AD＝DE＝4，在直角三角形DEC中利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BE的長(zhǎng)．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BED，
∴∠AEB＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
在Rt△DCE中，CD═3，
∴CE＝＝
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，證明AD＝DE是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD中BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE交CD于F，交BD于M，則圖中共有相似三角形（不含全等的三角形）（ ）對(duì)．
A．4B．5C．6D．7
【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，再根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似找出相似三角形即可得解．
【解答】：在?ABCD中，
∵AB∥CD，
∴△ABM∽△FDM，△ABE∽△FCE，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△EBM，△FDA∽△FCE，
∴△ABE∽△FDA，
∴圖中相似三角形有5對(duì)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，要注意△ABG與△FDA都與△FCG相似，所以也相似，這也是本題容易出錯(cuò)的地方．
9．（3分）已知，如圖，點(diǎn)C、D在⊙O上，直徑AB＝6cm，弦AC、BD相交于點(diǎn)E．若CE＝BC，則陰影部分面積為（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
【分析】連接OD、OC，根據(jù)CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB，進(jìn)而得出∠DBC＝∠A+∠ABD，從而求得+＝，得出∠DOC＝90°，根據(jù)S陰影＝S扇形﹣S△ODC即可求得．
【解答】解：連接OD、OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴的度數(shù)為90°，
∴∠DOC＝90°，
∴S陰影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角和弧之間的關(guān)系，扇形的面積等，有一定的難點(diǎn)，求得∠DOC＝90°是本題的關(guān)鍵．
10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，過(guò)A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）四點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
【分析】由題意可知拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝＝﹣1，然后根據(jù)點(diǎn)A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近可判斷y1、y2、y3大小關(guān)系．
【解答】解：令x＝0，則y＝﹣2，即該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣2），
∵拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸交于負(fù)半軸，且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|+1|
∴y1＞y2＞y3，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
二．填空題（共4小題）
11．（3分）在實(shí)數(shù)﹣3，0，π，﹣，中，最大的一個(gè)數(shù)是 π ．
【分析】正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：∵π＞＞0＞﹣＞﹣3，
∴在實(shí)數(shù)﹣3，0，π，﹣，中，最大的一個(gè)數(shù)是π．
故答案為：π．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?br>12．（3分）菱形ABCD的邊AB＝6，∠ABC＝60°，則菱形ABCD的面積為 18 ．
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AE的長(zhǎng)，即可得出菱形的面積．
【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，
∴∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝4cm，
∴AE＝AD?sin60°＝3，
∴菱形ABCD的面積S＝AE×DC＝6×3＝18，
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的面積以及其性質(zhì)，得出AE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，矩形ABCD的邊AB與y軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，m），C（3，m+6），那么圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)D的反比例函數(shù)表達(dá)式為 y＝ ．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式．
【解答】解：∵矩形ABCD的邊AB與y軸平行，A（1，m），C（3，m+6），
∴B（1，m+6）、D（3，m），
∵B、D在反比例函數(shù)圖象上，
∴1×（m+6）＝3m，
解得：m＝3，
∴B（1，9），
故反比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝．
故答案為：y＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，正確得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝，則四邊形ABCD面積的最小值是 8﹣8 ．
【分析】將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ABP，AD旋轉(zhuǎn)至AB處，易得△APC為等邊三角形，可得AP＝CP＝AC＝2，易得S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△ABP＝S△APC﹣S△BPC，由已知條件可得∠PBC＝360°﹣∠ABP﹣∠ABC，所以點(diǎn)B在以PC為直徑的圓弧MN上（不含點(diǎn)M，N）．連接圓心O與點(diǎn)B，當(dāng)OB⊥PC時(shí)，點(diǎn)B到PC的距離最大，分析知當(dāng)S△CPB的最大值，四邊形ABCD面積的最小，即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ABP，AD旋轉(zhuǎn)至AB處，
∵AC＝AP，∠CAP＝60°，
∴△APC為等邊三角形
∴AP＝CP＝AC＝4，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△ABP＝S△APC﹣S△BPC，
∵∠BCD＝30°，
∴∠PBC＝360°﹣∠ABP﹣∠ABC，
＝360°﹣∠ADC﹣∠ABC，
＝∠BAD+∠BCD，
＝60°+30°，
＝90°，
∴點(diǎn)B在以PC為直徑的圓弧MN上（不含點(diǎn)M，N）．
連接圓心O與點(diǎn)B，當(dāng)OB⊥PC時(shí)，點(diǎn)B到PC的距離最大，
∴S△CPB的最大值為×4×2＝8，
∵S△APC＝×4×4sin60°＝8，
∴S四邊形ABCD的最小值＝S△APC﹣S△CBP的最大值＝8﹣8．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及多邊形面積的求法，作出輔助線，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
三．解答題（共11小題）
15．（5分）計(jì)算：﹣×（﹣）﹣3+|2﹣3|﹣（﹣）0
【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、零次冪的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可．
【解答】解：原式＝3﹣×（﹣8）+3﹣2﹣1，
＝3+1+3﹣2﹣1，
＝+3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
16．（5分）化簡(jiǎn)求值：÷（﹣1）+1，其中x選取﹣2，0，1，4中的一個(gè)合適的數(shù)．
【分析】可先把分式化簡(jiǎn)，再把x的值代入計(jì)算求值．
【解答】解：原式＝÷（﹣）+1
＝?+1
＝+
＝
當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，難度不大，主要考查了因式分解和分式的混合計(jì)算；注意代入求值時(shí)保證所有分母不能為0．
17．（5分）尺規(guī)作圖：已知點(diǎn)D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，用尺規(guī)在△ABC的邊上找一點(diǎn)E，使S△ADE：S△ABC＝1：4．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可在在△ABC的邊上找一點(diǎn)E，使S△ADE：S△ABC＝1：4．
【解答】解：如圖，作∠ADE＝∠B，交AC于點(diǎn)E．
點(diǎn)E即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方．
18．（5分）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．證明：AB＝DF．
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)推出BC＝AD＝AE，AD∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠DAE＝∠AEB，根據(jù)AAS證出△ABE≌△DFA即可．
【解答】證明：在矩形ABCD中
∵BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，AE＝BC＝AD，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝DF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用，關(guān)鍵是求出∠DAF＝AEB和AE＝AD，進(jìn)一步推出△ABE≌△DFA．
19．（7分）某學(xué)校為了了解本校1800名學(xué)生的課外閱讀的情況，現(xiàn)從各年級(jí)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生對(duì)他們一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，并繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②，根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：
（1）本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 40 圖①中m的值為 25 ；
（2）本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 5 小時(shí)，中位數(shù)是 6 小時(shí)；
（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校一周的課外閱讀時(shí)間大于6h的學(xué)生人數(shù)．
【分析】（1）利用課外閱讀時(shí)間為5小時(shí)的人數(shù)除以所占百分比可得本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，然后再求m的值即可；
（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)定義可得答案；
（3）利用樣本估計(jì)總體的方法可得答案．
【解答】解：（1）接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)：12÷30%＝40（人），
m%＝10÷40×100%＝25%，
則m＝25，
故答案為：40；25；
（2）本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5小時(shí)，中位數(shù)是6小時(shí)，
故答案為：5；6；
（3）1800×＝540（人），
答：該校一周的課外閱讀時(shí)間大于6h的學(xué)生人數(shù)為540人．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br>20．（7分）如圖，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE，而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25米的距離（B，F(xiàn)，C在一條直線上）．
（1）求辦公樓AB的高度；
（2）若要在A，E之間掛一些彩旗，請(qǐng)你求出A，E之間的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cs22°，tan22）
【分析】（1）首先構(gòu)造直角三角形△AEM，利用tan22°＝，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cs22°＝，求出AE即可
【解答】解：（1）如圖，
過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M．
設(shè)AB為x．
Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x，
∴BC＝BF+FC＝x+25，
在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，
tan22°＝，
則＝，
解得：x＝20．
即教學(xué)樓的高20m．
（2）由（1）可得ME＝BC＝x+25＝20+25＝45．
在Rt△AME中，cs22°＝．
∴AE＝≈＝48m，
即A、E之間的距離約為48m
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知得出tan22°＝是解題關(guān)鍵
21．（7分）某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采用分段計(jì)費(fèi)的方法按月計(jì)算每戶家庭的水費(fèi)，月用水量不超過(guò)20立方米時(shí)，按2元/立方米計(jì)費(fèi)；月用水量超過(guò)20立方米時(shí)，其中的20立方米仍按2元/立方米收費(fèi)，超過(guò)部分按2.6元/立方米計(jì)費(fèi)．設(shè)每戶家庭用水量為x立方米時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)y元．
（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）小明家第二季度交納水費(fèi)的情況如下：
小明家這個(gè)季度共用水多少立方米？
【分析】（1）根據(jù)題意，可以寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和表格中的數(shù)據(jù)，可以求得四月、五月和六月的用水量，從而可以解答本題．
【解答】解：（1）由題意可得，
當(dāng)0≤x≤20時(shí)，y＝2x，
當(dāng)x＞20時(shí)，y＝20×2+（x﹣20）×2.6＝2.6x﹣12，
由上可得，y＝；
（2）∵x＝20時(shí)，y＝40，
∴令30＝2x，得x＝15，
令34＝2x，得x＝17，
令47.8＝2.6x﹣12，得x＝23，
即四月份用水15立方米，五月份用水17立方米，六月份用水23立方米，
15+17+23＝55（立方米），
答：小明家這個(gè)季度共用水55立方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
22．（7分）如圖，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被它的兩條直徑分成了四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域，其中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形的圓心角為120°．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，此時(shí)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的交線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，求轉(zhuǎn)出的數(shù)字是1的概率；
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，用樹(shù)狀圖或列表法求這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為正數(shù)的概率．
【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求解即可；
（2）根據(jù)題意列出圖表得出所有等情況數(shù)，找出兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為正數(shù)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形的圓心角為120°，
∴轉(zhuǎn)出的數(shù)字是1的概率是＝；
（2）根據(jù)題意列表如下：
由表可知共有36種等可能結(jié)果，其中兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為正數(shù)的有24種，
則兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為正數(shù)的概率是＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．注意列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FG，交AB于點(diǎn)G．
（1）求證：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OF，利用已知條件證明∠BFG+∠B＝90°，即可得到FG⊥AB；
（2）連接DF，先利用勾股定理求出AB＝10，進(jìn)而求出CD＝BD＝5，再求出CF＝4，進(jìn)而求出DF＝3，利用面積法即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）證明：連接OF，
∵OC＝OD，CF＝BF，
∴OF是△CDB的中位線，
∴OF∥BD，
∴∠OFC＝∠B，
∵FG是⊙O的切線，
∴∠OFG＝90°，
∴∠OFC+∠BFG＝90°，
∴∠BFG+∠B＝90°，
∴∠FGB＝90°，
∴FG⊥AB；
（2）解：連接DF，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB＝10，
∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴CD＝BD＝AB＝5，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CFD＝90°，
∴BF＝CF＝BC＝4，
∴DF＝＝3，
∴S△BDF＝DF×BF＝BD×FG，
∴FG＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的面積公式，判斷出FG⊥AB是解本題的關(guān)鍵．
24．（10分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為D′．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方，且△OBD的面積等于△OBC的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)D'剛好落在第四象限的拋物線上時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）點(diǎn)P在拋物線上（不與點(diǎn)B、C重合），連接PD、PD′、DD′，是否存在點(diǎn)P，使△PDD′是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由待定系數(shù)法可求解析式；
（2）由三角形面積關(guān)系可求點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）由對(duì)稱性可求∠DCD'＝90°，可得CD'∥OB，可得點(diǎn)D'的縱坐標(biāo)為﹣4，代入解析式可求點(diǎn)D'坐標(biāo)，可得CD'＝CD＝3，可求點(diǎn)D坐標(biāo)；
（4）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（4，0）
∴
解得，
∴拋物線解析式為：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵拋物線y＝x2﹣3x﹣4與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C（0，﹣4），
∴OC＝4，
設(shè)點(diǎn)D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面積等于△OBC的面積，
∴×OB×y＝OB×4，
∴y＝4，
∴點(diǎn)D（0，4）
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為D′．
∴∠DCB＝∠D'CB＝45°，CD＝CD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴CD'∥OB，
∴點(diǎn)D'的縱坐標(biāo)為﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴CD＝CD'＝3，
∴點(diǎn)D（0，﹣1）
（4）若點(diǎn)D在點(diǎn)C上方，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸，
∵∠DCD'＝90°，CD＝CD'，
∴∠CDD'＝45°，
∵∠D'DP＝90°
∴∠HDP＝45°，且PH⊥y軸，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD'＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD'＝90°，DP＝DD'，
∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD＝CD'＝HD＝HP，
設(shè)CD＝CD'＝HD＝HP＝a，
∴點(diǎn)P（a，﹣4+2a）
∴a2﹣3a﹣4＝﹣4+2a，
∴a＝5，a＝0（不合題意舍去），
∴點(diǎn)P（5，6）
若點(diǎn)D在點(diǎn)C下方，如圖2，
∵DD'＝DP，∠DCD'＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COB，
∴CP∥AB，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴點(diǎn)P（3，﹣4）
綜上所述：點(diǎn)P（5，6）或（3，﹣4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，三角形的面積求法，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．
25．（12分）問(wèn)題背景
（1）如圖（1）△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)A作⊙O的切線l，在l上任取一個(gè)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)P，連接PB、PC，比較∠BPC與∠BAC的大小，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題解決
（2）如圖（2），A（0，2），B（0，4），在x軸正半軸上是否存在一點(diǎn)P，使得cs∠APB最??？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
拓展應(yīng)用
（3）如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AD，P是DE右側(cè)四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值．
【分析】（1）問(wèn)題背景：設(shè)直線BP交⊙O于點(diǎn)A′，連接CA′，由外角的知識(shí)即可求解；
（2）問(wèn)題解決：過(guò)點(diǎn)B、A作⊙C與x軸相切于點(diǎn)P，連接AC、PC、BC，x軸的坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除了點(diǎn)P外都在圓外，即可求解；
（3）拓展應(yīng)用：求出S△ADE＝×AD×AE＝18，而S△P′ED＝S△DEN＝9＝S△DEP，從面積看，點(diǎn)P′符合點(diǎn)P的條件，即點(diǎn)P可以和點(diǎn)P′重合；由FG＝EQ+QG＝＜BF，則⊙F與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)P′符合題設(shè)中點(diǎn)P的條件，即可求解．
【解答】解：（1）問(wèn)題背景：
如圖1，設(shè)直線BP交⊙O于點(diǎn)A′，連接CA′，
則∠CA′B＞∠P，
而∠CA′B＝∠CAB，
∴∠BPC＜∠BAC；
（2）問(wèn)題解決：
如圖2，過(guò)點(diǎn)B、A作⊙C與x軸相切于點(diǎn)P，連接AC、PC、BC，
∵x軸的坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除了點(diǎn)P外都在圓外，
∴∠APB最大，即cs∠APB最小，
由點(diǎn)B、A的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)公式得，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（2+4）＝3，
設(shè)點(diǎn)P（x，0），則點(diǎn)C（x，3），
∵點(diǎn)P、B都是圓上的點(diǎn)，
∴CB＝CP，
∴x2+（4﹣1）2＝32，解得：x＝±2（舍去負(fù)值），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，0）；
（3）拓展應(yīng)用：
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AM到點(diǎn)N使MN＝AM，
過(guò)點(diǎn)N作DE的平行線l，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥l于點(diǎn)G，F(xiàn)G交DE于點(diǎn)Q，以AB為直徑作⊙F交直線l于點(diǎn)P′，
在梯形ABCD中，AB＝8，CD＝11，則CH＝11﹣8＝3，
∵tanC＝＝＝2，解得：BH＝6＝AD＝AE，
在等腰直角三角形ADE中，S△ADE＝×AD×AE＝18，
∵M(jìn)N＝AM，
∴S△DEN＝S△ADE＝9，
∵直線l∥DE，
∴S△P′ED＝S△DEN＝9＝S△DEP，
∴從面積看，點(diǎn)P′符合點(diǎn)P的條件，即點(diǎn)P可以和點(diǎn)P′重合，
∵FG⊥l，而直線l∥DE，
∴GF⊥DE，
而∠AEB＝45°，
故△EFQ為等腰直角三角形，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，
∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2﹣2，則FQ＝EF＝，
∴FG＝EQ+QG＝MN+QG＝AM+＝3+＝＜BF，
∴⊙F與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)P′符合題設(shè)中點(diǎn)P的條件，
∵AB是直徑，
∴∠APB＝90°，
故sin∠APB的最大值為1．
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題，涉及了梯形和等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布
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