2023年陜西省西安市雁塔區(qū)高新一中中考數(shù)學(xué)五模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  化簡的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖是把一個正方體切割掉一部分后得到的幾何體，則它的左視圖是(    )A.
B.
C.
D.
 3.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，若，則點(diǎn)到的距離為(    )A.
B.
C.
D. 5.  在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線分別與軸、直線交于點(diǎn)、，則的面積為(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，在菱形中，點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，連接若，且，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的直徑若，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 8.  拋物線為常數(shù)開口向上，且過點(diǎn)，，下列結(jié)論：；若點(diǎn)，都在拋物線上，則；；若方程沒有實(shí)數(shù)根，則，其中正確結(jié)論的序號為(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）9.  在，，，，中，有理數(shù)有______ 個10.  “動感數(shù)學(xué)”社團(tuán)教室重新裝修，如圖是用邊長相等的正方形和正邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖，則的值為______ ．
 11.  如圖，已知矩形與矩形是位似圖形，是位似中心，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則圖中點(diǎn)的坐標(biāo)為______ ．
12.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、是軸負(fù)半軸上的兩點(diǎn)，且，，若的面積為，則的值為______ ．
 13.  如圖，點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交延長線于點(diǎn)，且，連接、，若，，則的值為______ ．
 三、解答題（本大題共13小題，共81.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）14.  本小題分
計(jì)算：．15.  本小題分
化簡：．16.  本小題分
解不等式組．17.  本小題分
尺規(guī)作圖：已知，在中，，為邊中點(diǎn)，在邊上找一點(diǎn)，使得不寫作法，保留作圖痕跡
18.  本小題分
如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為，格點(diǎn)的頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、．
請?jiān)趫D中正確畫出平面直角坐標(biāo)系；
請作出關(guān)于軸對稱的，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，；
點(diǎn)的坐標(biāo)為______ ．
19.  本小題分
如圖，在?中，，為對角線所在直線上的兩個點(diǎn)，且，連接，求證：．
20.  本小題分
數(shù)學(xué)活動讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加有趣，在一次數(shù)學(xué)課上老師設(shè)計(jì)了一個“配紫色”游戲，如圖所示的是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，盤被分成面積相等的幾個扇形，盤中藍(lán)色扇形區(qū)域所占的圓心角是，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么轉(zhuǎn)出的兩種顏色就可以配成紫色若指針指向扇形的分界線，則需要重新轉(zhuǎn)動
若轉(zhuǎn)動一次盤，則轉(zhuǎn)出紅色的概率是______ ．
若同時轉(zhuǎn)動盤和盤，請通過列表或畫樹狀圖的方法，求出配成紫色的概率．
21.  本小題分
航空航天技術(shù)是一個國家綜合國力的反映我國載人航天空間站工程已進(jìn)入空間站建造階段，將完成問天實(shí)驗(yàn)艙、夢天實(shí)驗(yàn)艙、神舟載人飛船和天舟貨運(yùn)飛船等次重大任務(wù)，為了慶祝我國航天事業(yè)的蓮勃發(fā)展，某校舉辦名為“弘揚(yáng)航天精神擁抱星辰大?！钡臅嬚褂[，并給書畫展上的作品打分滿分分，評分結(jié)果有分，分，分，分，分五種每位同學(xué)只能上交一份作品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取部分作品，對其份數(shù)及成績進(jìn)行整理，制成如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)以上信息，解答下列問題：

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
所抽取作品成績的眾數(shù)為______ ，中位數(shù)為______ ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中分所對應(yīng)的扇形的圓心角為______ ；
已知該校收到書畫作品共份，請估計(jì)得分為分及分以上的書畫作品大約有多少份？22.  本小題分
為了緩解城市“停車難”問題，我市通過打造“智慧停車平臺”，為市民提供便捷的停車服務(wù)某停車場收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：不足小時，按小時計(jì) 停車時長費(fèi)用元小時不超過分鐘超過分鐘不超過小時超過小時的部分若張先生某次在該停車場停車小時分鐘，共交費(fèi)元，則 ______ ；
若停車時長為小時取整數(shù)且，求該停車場停車費(fèi)元關(guān)于停車計(jì)時小時的函數(shù)解析式；若李先生也在該停車場停車，并支付了元停車費(fèi)，則該停車場是按幾個小時計(jì)時收費(fèi)的？23.  本小題分
月日，第屆陜西省青少年科技創(chuàng)新大賽在我校隆重開幕，舉辦青少年科技創(chuàng)新大賽有利于激發(fā)青少年的好奇心和探求欲，有利于培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力開幕式會場觀眾席呈階梯狀，每一級臺階的水平寬度都為，垂直高度都為在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角，請你根據(jù)以上信息求出前方屏幕的高度參考數(shù)據(jù)：，，，，，
24.  本小題分
如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點(diǎn)，連接，，且．
求證：是切線；
若直徑，，求的長．
25.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：過點(diǎn)和與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)在左側(cè)，與軸交于點(diǎn)．
求拋物線的解析式及，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
將拋物線平移后得到拋物線，已知拋物線的對稱軸為直線，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，在軸下方是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，請求出拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由．
26.  本小題分
問題探究：
如圖，在中，，，以為直徑的半圓交于，是上的一個動點(diǎn)，連接，則的最小值是______ ；

如圖，菱形中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若平分菱形的面積，且線段的長度最短，請你畫出符合要求的線段，并求出此時的長度．
問題解決：
合理開發(fā)利用土地資源能為人類持續(xù)創(chuàng)造更多財(cái)富，如圖，現(xiàn)有一塊四邊形空地計(jì)劃改造利用，經(jīng)測量，，，，，是邊上的一個移動觀測點(diǎn)，過邊上一點(diǎn)修一條垂直于的筆直小路小路寬度不計(jì)，交邊于點(diǎn)，在垂足處建一涼亭，在涼亭和頂點(diǎn)之間修一條綠化帶寬度不計(jì)，請問是否存在平分四邊形土地的面積？若存在，求出在平分四邊形土地的面積時綠化帶長度的最小值；若不存在，請說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
化簡的結(jié)果是，
故選：．
根據(jù)平方運(yùn)算，可得算術(shù)平方根．
本題考查了算術(shù)平方根，平方運(yùn)算是求算術(shù)平方根的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：從左面看，是一個長方形，且中間有一條虛線，
故選：．
找到從正面看所得到的圖形即可，注意看得見的部分為實(shí)線，看不見的部分為虛線．
本題考查簡單幾何體的三視圖，理解從不同方向看立體圖形是解題的關(guān)鍵，另外要注意虛線和實(shí)線的使用區(qū)別．
 3.【答案】 【解析】解：，
選項(xiàng)A不符合題意；

，
選項(xiàng)B不符合題意；

，
選項(xiàng)C符合題意；

，
選項(xiàng)D不符合題意．
故選：．
根據(jù)積的乘方的運(yùn)算方法，整式加減乘除的運(yùn)算方法，逐項(xiàng)判斷即可，計(jì)算時，可以應(yīng)用完全平方公式．
此題主要考查了積的乘方的運(yùn)算方法，整式加減乘除的運(yùn)算方法，注意運(yùn)算順序，注意“整體”思想在整式運(yùn)算中的應(yīng)用．
 4.【答案】 【解析】解：作于，于，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
點(diǎn)到的距離為．
故選：．
作于，于，由角平分線的性質(zhì)得到，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長，即可解決問題．
本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是作于，于，由角平分線的性質(zhì)得到．
 5.【答案】 【解析】解：在中，令，得，
解得，
，，
的面積，
故選：．
根據(jù)方程或方程組得到，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
本題考查了兩直線相交問題，其中涉及了一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：連接交于，
，
，
，，
，
四邊形是菱形，
，，
的面積，
，
，
，
．
故選：．
連接交于，由勾股定理求出的長，由三角形面積公式求出的長，由勾股定理求出的長，由菱形的性質(zhì)即可求出的長．
本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，關(guān)鍵是連接，由菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，求出的長．
 7.【答案】 【解析】解：連接，

，
，
，
是等邊三角形，
，
，
是的直徑，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
故選：．
連接，先根據(jù)圓周角定理可得，從而可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，再根據(jù)已知可得，從而可得，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了三角形的外接圓與外心，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：拋物線開口向上，
，
過點(diǎn)，，
，，
，
，故正確；
拋物線過點(diǎn)，，
，，
，故錯誤；
根據(jù)題意得，
，
當(dāng)時，有，
，
，故錯誤；
若方程沒有實(shí)數(shù)根，即拋物線與直線沒有交點(diǎn)，
頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
，
，
，故正確，
故選：．
根據(jù)題意得出時函數(shù)值的符號和時函數(shù)的值，以及頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可得出答案．
本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵在理解系數(shù)對圖象的影響，決定拋物線的開口方向和大小，聯(lián)同決定對稱軸的位置，決定圖象與軸的交點(diǎn)位置，還有軸上方的點(diǎn)對應(yīng)的，下方的點(diǎn)對應(yīng)的．
 9.【答案】 【解析】解：是有理數(shù)，是有理數(shù)，是無理數(shù)，是無理數(shù)，是有理數(shù)，
有理數(shù)有，，，共個．
故答案為：．
根據(jù)有理數(shù)的定義整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)解決此題．
本題主要考查有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：正邊形的一個內(nèi)角，
則，
解得．
故答案為：．
根據(jù)平面鑲嵌的條件，先求出正邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和公式求出的值．
本題考查了平面鑲嵌，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的思想，同時考查了多邊形的內(nèi)角和公式．
 11.【答案】 【解析】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
矩形與矩形的相似比為：：，
矩形與矩形的位似比為：，
：：，
即：：，
解得，
點(diǎn)．
故答案為：．
利用點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)得到，，則可得到矩形與矩形的相似比為：，所以矩形與矩形的位似比為：，即：：，然后求出的長，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查了位似變換：兩個位似圖形必須是相似形，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，位似比等于相似比．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
 12.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
，的面積為，
．
，
，
，
，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
．
故答案為：．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)可知，再由可知，故可得出，進(jìn)而可得出的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)論．
本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．
 13.【答案】 【解析】解：如圖，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，

，，
是等腰直角三角形，
，，
在正方形中，，，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案為：．
過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，根據(jù)題意可得是等腰直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明≌，可以證明，然后利用勾股定理得，再證明是等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)即可解決問題．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造等腰直角三角形．
 14.【答案】解：


． 【解析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】解：原式

． 【解析】先通分，再根據(jù)分式加法法則計(jì)算，再分解因式，最后約分．
本題主要考查分式的混合運(yùn)算，把分式化到最簡是解答的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
故原不等式組的解集為． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：如圖，線段即為所求．
 【解析】作于點(diǎn)即可．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
 18.【答案】 【解析】解：如圖，直角坐標(biāo)系即為所求作：
如圖，即為所求作；

點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
根據(jù)點(diǎn)、的坐標(biāo)作出直角坐標(biāo)系；
分別作出點(diǎn)、、關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，然后順次連接；
根據(jù)寫出的坐標(biāo)即可．
本題考查了作圖軸對稱變換，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，．
．
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，由證明≌，得出對應(yīng)邊相等即可．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等和平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．
 20.【答案】 【解析】解：轉(zhuǎn)動一次盤，則轉(zhuǎn)出紅色的概率是，
故答案為：；
根據(jù)題意列表如下：  紅紅藍(lán)紅紅，紅紅，紅紅，藍(lán)黃黃，紅黃，紅黃，藍(lán)藍(lán)藍(lán)，紅藍(lán)，紅藍(lán)，藍(lán)由表可知，共有種等可能的結(jié)果，其中配成紫色的的情況有種，
配成紫色的概率是 ．
直接由概率公式求解即可；
根據(jù)題意列表，共有種等可能的結(jié)果，其中配成紫色的的情況有種，再由概率公式求解即可．
本題考查的是用列表法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 21.【答案】     【解析】解：隨機(jī)抽取的總作品數(shù)是：份，
分的作品數(shù)是：份，
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

所抽取作品成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是分，
所抽取作品成績的眾數(shù)是；
把這些數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第、個數(shù)的平均數(shù)，
則中位數(shù)是，
扇形統(tǒng)計(jì)圖中分所對應(yīng)的扇形的圓心角為：，
故答案為：，，；
份，
估計(jì)得分為分及分以上的書畫作品大約有份．
根據(jù)分的份數(shù)和所占的百分比，求出抽取的總作品數(shù)，再用總數(shù)減去其它份數(shù)，求出分的作品數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
根據(jù)眾數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算公式分別進(jìn)行計(jì)算，扇形統(tǒng)計(jì)圖中分所對應(yīng)的扇形的圓心角為乘以分所占總份數(shù)的比值；
用該校的總作品數(shù)乘以得分為分及分以上的書畫作品所占的百分比即可．
本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
 22.【答案】 【解析】解：張先生某次在該停車場停車小時分鐘，共交費(fèi)元，
，
，
故答案為：．
停車費(fèi)元關(guān)于停車計(jì)時小時的函數(shù)解析式為：，
即，
令，有，
，
答：該停車場是按個小時計(jì)時收費(fèi)的．
根據(jù)張先生某次在該停車場停車小時分鐘，共交費(fèi)元，列出方程即可求解．
根據(jù)題意得出：停車費(fèi)元關(guān)于停車計(jì)時小時的函數(shù)解析式，令，求出的值即可．
本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解停車場收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分為規(guī)定時間的費(fèi)用超過規(guī)定時間的費(fèi)用．
 23.【答案】解：如圖：延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

由題意得：，，，，，
設(shè)，則，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
前方屏幕的高度約為． 【解析】延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，，，，然后設(shè)，則，，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：連接，
是的直徑，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切線；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
設(shè)，則，，
又，
即，
解得取正值，
． 【解析】根據(jù)切線的判定，連接，證明出即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；
由，根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得：：：：，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出答案．
本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．
 25.【答案】解：把和代入得：
，
解得，
，
在中，令得：
，
解得或，
，；
拋物線的解析式為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為；
在軸下方存在點(diǎn)，使得與相似，理由如下：
在中，令得，
，
將拋物線：平移后得到拋物線，拋物線的對稱軸為直線，直線交軸于點(diǎn)，
，
，
設(shè)拋物線的解析式為，則，
當(dāng)∽時，如圖：

，即，
，
拋物線的解析式為；
當(dāng)∽時，如圖：

，即，
，
拋物線的解析式為；
綜上所述，拋物線的解析式為或． 【解析】用待定系數(shù)法可得，令即可得，；
由得，根據(jù)將拋物線：平移后得到拋物線，拋物線的對稱軸為直線，直線交軸于點(diǎn)，可得，，設(shè)拋物線的解析式為，則，分兩種情況：當(dāng)∽時，可得，解方程可求得拋物線的解析式為；當(dāng)∽時，同理可得拋物線的解析式為．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
 26.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)以為直徑的半圓的圓心為，連接交于點(diǎn)，此時有最小值，

則，
，
，
，
，
，
故答案為：；
連接，交于，過作于，交于，過點(diǎn)作于，

四邊形是菱形，點(diǎn)在線段上，
線段平分菱形的的面積，
，
線段有最小值，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
；
取的中點(diǎn)，過作于，交的延長線于，連接，取的中點(diǎn)，連接并延長交于，過作于，交于，取的中點(diǎn)，過作于，作以為直徑的，
，，
，
四邊形是矩形，
．
，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，平分矩形的面積，
過的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，，
，
，
，，
，，，
≌，
平分平行四邊形的面積，
，
，，
，
，
，

，
，
，
，
為等邊三角形，，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，有最小值，
，
，
，
，
，
，
的最小值．
設(shè)一為直徑的半圓的圓心為，連接交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的值即可；
連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，交于，過點(diǎn)作于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到直線平分菱形的面積，當(dāng)時，有最小值，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到是等邊三角形，求出，于是得到結(jié)論；
取的中點(diǎn)，過作于，交的延長線于，連接，取的中點(diǎn)，連接并延長交于，過作于，交于，取的中點(diǎn)，過作于，作以為直徑的，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到直線平分矩形的面積，證得≌，可知平分平行四邊形的面積，再證點(diǎn)在以為直徑的圓上，解直角三角形分別取出，，，，和的長，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，有最小值，求出即可．
本題是圓是綜合題，考查了圓的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 

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