A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
2．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，則tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
3．（3分）下列說法：①三點確定一個圓，②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，③相等的圓心角所對的弦相等，④三角形的外心到三個頂點的距離相等，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
4．（3分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為12cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝64cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（ ）
A．76cmB．（64+12）cm
C．（64+12）cmD．64cm
5．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4，若⊙C與AB相離，則半徑為r滿足（ ）
A．r＞2B．r＜2C．0＜r＜2D．0＜r＜2
6．（3分）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE，則△ADE的周長為（ ）
A．19B．17C．22D．20
7．（3分）扇子最早稱“翣”，在我國已有兩千多年歷史．“打開半個月亮，收起兜里可裝，來時荷花初放，去時菊花正黃．”這則謎語說的就是扇子．如圖，一竹扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為135°，AB的長為30cm，貼紙部分的寬BD為20cm，則扇面面積為（ ）
A．B．300πcm2C．600πcm2D．30πcm2
8．（3分）若二次函數(shù)y＝x2+2x+3m﹣1的圖象只經(jīng)過第一、二、三象限，則m滿足的條件一定是（ ）
A．m＞B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣D．≤m＜2
二.填空題（共6小題，每小題3分，計18分）
9．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，則∠C的度數(shù)是 ．
10．（3分）在Rt△ABC中，若兩直角邊長為6cm、8cm，則它的外接圓的面積為 ．
11．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的一部分經(jīng)過點A（﹣1，0），且其對稱軸是直線x＝2，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
12．（3分）如圖，某品牌掃地機器人的形狀是“萊洛三角形”，它的三“邊”分別是以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑的三段圓?。粼摰冗吶切蔚倪呴L為3，則這個“萊洛三角形”的周長是 ．
13．（3分）已知拋物線C1：y＝2x2﹣4x﹣1，拋物線C2是由拋物線C1向右平移3個單位得到的，那我們可以得到拋物線C1和拋物線C2一定關(guān)于某條直線對稱，則這條直線為 ．
14．（3分）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標為（6，8），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點．若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則當AB取最大值時，點A的坐標為 ．
三．解答題（共11小題，計78分．解答題應(yīng)寫出過程）
15．（8分）計算：
（1）2cs60°+|1﹣2sin45°|+（）0．
（2）﹣tan60°．
16．（5分）如圖，點P是⊙O外一點．請利用尺規(guī)過點P作⊙O的一條切線PE．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）
17．（6分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．
（1）若P是上的動點，連接BP，F(xiàn)P，求∠BPF的度數(shù)；
（2）已知△ADF的面積為，求⊙O的面積．
18．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分別是AB邊上的中線和高，BC＝6，cs∠ACD＝，求AB，CH的長．
19．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直徑．
20．（6分）如圖，小華和同伴秋游時，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡的點E處有一棵小樹，他們想利用皮尺、傾角器和平面鏡測量小樹到山腳下的距離（即DE的長度），小華站在點B處，讓同伴移動平面鏡至點C處，此時小華在平面鏡內(nèi)可以看到點E．且測得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小華的眼睛到地面的距離AB＝1.5米，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求DE的長度．（參考數(shù)據(jù)：，）
21．（7分）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面寬AB＝20m，當水位上升3m時，水面寬CD＝10m．按如圖所示建立平面直角坐標系．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）有一條船以6km/h的速度向此橋徑直駛來，當船距離此橋36km時，橋下水位正好在AB處，之后水位每小時上漲0.3m，為保證安全，當水位達到距拱橋最高點2m時，將禁止船只通行．如果該船的速度不變，那么它能否安全通過此橋？
22．（8分）如圖所示，要在底邊，BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC鐵皮余料上，截取一個矩形EFGH，使點H在AB上，點G在AC上，點E、F在BC上，AD交HG于點M．
（1）設(shè)矩形EFGH的長HG＝y(tǒng)，寬HE＝x，確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)矩形EFGH的面積為S，當x為何值時，矩形EFGH的面積S最大？并求出最大值．
23．（8分）如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C．
（1）求證：直線PB與⊙O相切；
（2）PO的延長線與⊙O交于點E．若⊙O的半徑為3，PC＝4．求弦CE的長．
24．（8分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸的交點為C．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點P是該拋物線上一點，且位于其對稱軸l的左側(cè)，過點P分別作l，x軸的垂線，垂足分別為M，N，連接MN．若△PMN和△OBC相似，求點P的坐標．
25．（10分）問題發(fā)現(xiàn)
（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，則△ABC面積的最大值為 ；
（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．
問題解決
（3）有一個直徑為60cm的圓形配件⊙O，如圖2所示．現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四邊形孔洞OABC的面積盡可能?。噯枺欠翊嬖诜弦蟮拿娣e最小的四邊形OABC？若存在，請求出四邊形OABC面積的最小值及此時OA的長；若不存在，請說明理由．
2024年陜西省西安市雁塔區(qū)高新一中中考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是正確的）
1．【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出頂點坐標．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴拋物線的頂點坐標為（0，﹣2），
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
2．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，
∴tanB＝＝＝．
故選：A．
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正切函數(shù)的定義．
3．【分析】①根據(jù)確定一個圓的條件即可判斷．②根據(jù)垂徑定理即可判斷．③根據(jù)圓周角定理即可判斷．④根據(jù)三角形外心的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：①三點確定一個圓，錯誤，應(yīng)該是不在同一直線上的三點確定一個圓；
②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，正確．
③相等的圓心角所對的弦相等，錯誤，條件是在同圓或等圓中；
④三角形的外心到三個頂點的距離相等，正確，
∴正確的有②④，共2個．
故選：B．
【點評】本題考查三角形的外心，垂徑定理，圓周角定理，確定圓的條件等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
4．【分析】過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則可得AE和BF的長，依據(jù)端點A與B之間的距離為10cm，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．
【解答】解：如圖所示，過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，
則Rt△ACE中，AE＝AC＝×64＝32（cm），
同理可得，BF＝32cm，
又∵點A與B之間的距離為12cm，
∴通過閘機的物體的最大寬度為32+12+32＝76（cm），
故選：A．
【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
5．【分析】根據(jù)三角形的面積公式得到CD＝2，于是得到結(jié)論．
【解答】解：過C作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴CD＝＝2，
∵⊙C與AB相離，
∴半徑r滿足0＜r＜2，
故選：C．
【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，常根據(jù)圓的半徑R與圓心到直線的距離d的大小判斷：當R＞d時，直線與圓相交；當R＝d時，直線與圓相切；當R＜d時，直線與圓相離．
6．【分析】設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點F，H，G，連接OF，OH，OG，得四邊形OHCG是正方形，由切線長定理可知：AF＝AG，根據(jù)DE是⊙O的切線，可得MD＝MF，EM＝EG，根據(jù)勾股定理可得AB＝5，再求出內(nèi)切圓的半徑＝（AC+BC﹣AB）＝2，進而可得△ADE的周長．
【解答】解：如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點F，H，G，連接OF，OH，OG，
∴四邊形OHCG是正方形，
由切線長定理可知：AF＝AG，
∵DE是⊙O的切線，
∴MD＝DF，EM＝EG，
∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝13，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴內(nèi)切圓的半徑＝（AC+BC﹣AB）＝2，
∴CG＝2，
∴AG＝AC﹣CG＝12﹣2＝10，
∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝20．
故選：D．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．
7．【分析】根據(jù)扇形的面積公式，利用扇面的面積＝S扇形BAC﹣S扇形DAE進行計算．
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝135°，
∴扇面的面積＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝300π（cm2）．
故選：B．
【點評】此題主要考查了扇環(huán)的面積求法．一般情況下是讓大扇形的面積減去小扇形的面積求陰影部分，即扇環(huán)面積．
8．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸有2個交點，與y軸的交點不在負半軸上，即Δ＞0，且3m﹣1≥0，然后解不等式組即可．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+2x+3m﹣1經(jīng)過第一、二、三象限，
∴Δ＝（2）2﹣4（3m﹣1）＞0且3m﹣1≥0，
解得≤m＜2．
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
二.填空題（共6小題，每小題3分，計18分）
9．【分析】先利用非負數(shù)的性質(zhì)得到sinA﹣＝0，﹣csB＝0，即sinA＝，csB＝，則根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到∠A、∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠C的度數(shù)．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
即sinA＝，csB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案為：105°．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．也考查了非負數(shù)的性質(zhì)．
10．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半可得出外接圓的半徑，進而得出其面積．
【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
∴外接圓的半徑＝5cm，
∴S外接圓＝25π（cm2）．
故答案為：25πcm2．
【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與外心，勾股定理，經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
11．【分析】直接利用拋物線的對稱性以及結(jié)合對稱軸以及拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個交點是A（﹣1，0），得出另一個與x軸的交點，進而得出答案．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個交點是A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一個交點是（5，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣1，x2＝5．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝5．
【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確得出拋物線與x軸的交點坐標是解題關(guān)鍵．
12．【分析】弧長的計算公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），由此即可求解．
【解答】解：如圖，△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴的長＝的長＝的長＝＝π，
∴這個“萊洛三角形”的周長是3π．
故答案為：3π．
【點評】本題考查弧長的計算，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握弧長的計算公式．
13．【分析】根據(jù)拋物線C1：y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣3，得出拋物線對稱軸，再利用C2是由拋物線C1向右平移3個單位得到，得出拋物線C2的對稱軸即可．
【解答】解：∵拋物線C1：y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴拋物線C1對稱軸為：直線x＝1，
∵拋物線C2是由拋物線C1向右平移3個單位得到，
∴拋物線C2的對稱軸為直線x＝4，
∴拋物線C1和拋物線C2一定關(guān)于直線x＝＝．
故答案為：x＝．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)已知得出拋物線C1的對稱軸是解題關(guān)鍵．
14．【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，連接OM，并延長交⊙M于點P'，當點P位于P'位置時，OP'取得最大值，據(jù)此求解可得．
【解答】解：連接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵點A、點B關(guān)于原點O對稱，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，
連接OM，并延長交⊙M于點P'，當點P位于P'位置時，OP'取得最大值，
過點M作MQ⊥x軸于點Q，
則OQ＝6、MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP'＝r＝4，
∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，
∴AB＝2OP'＝2×14＝28；
∴A點坐標為（﹣14，0），
故答案為：（﹣14，0）．
【點評】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，得出AB取得最大值時點P的位置是解答本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共11小題，計78分．解答題應(yīng)寫出過程）
15．【分析】（1）利用特殊銳角三角函數(shù)值，絕對值的形式，零指數(shù)冪計算即可；
（2）利用二次根式的性質(zhì)，特殊銳角三角函數(shù)值進行計算即可．
【解答】解：（1）原式＝2×+|1﹣2×|+1
＝1+|1﹣|+1
＝1+﹣1+1
＝+1；
（2）原式＝﹣tan60°
＝﹣
＝﹣1﹣
＝﹣1．
【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
16．【分析】連接PO，作線段PO的垂直平分線垂足為R，以R為圓心，OR為半徑作⊙R交⊙O一點T，作直線PT即可．
【解答】解：如圖，直線PT即為所求．
【點評】此題考查了作圖﹣復雜作圖，以及切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
17．【分析】（1）在弧CD取一點P，連接BP、AP、FP、FO，利用弦和圓周角的關(guān)系即可求出∠BPF的值；
（2）①證明△AOF是等邊三角形即可求出；②利用三角函數(shù)求出，AD＝2AF，再根據(jù)△ADF的面積為，求出半徑即可求出．
【解答】解：（1）如圖所示，在弧CD取一點P，連接BP、AP、FP、FO，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AF＝AB，，
∴，
∵AF＝AB，
∴∠APB＝∠APF＝30°，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°；
（2）∵∠A0F＝60°，AO＝FO，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠DAF＝60°；
∴，AD＝2AF，
∴，
∴AF＝2，即⊙O的半徑為2，
∴⊙O的面積＝π×22＝4π．
【點評】此題考查了圓內(nèi)解正六邊形問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)解正六邊形的性質(zhì)及弦和圓周角之間的關(guān)系．
18．【分析】根據(jù)三角形中線的定義，等腰三角形性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)可得，設(shè)AC＝4x，則AB＝5x，勾股定理可求出BC＝3x＝6，進而求出AB，再根據(jù)三角形面積公式求出CH即可．
【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜邊中線，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴，
∵∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，
由于，
可設(shè)AC＝4x，則AB＝5x，
由勾股定理得：，
∴3x＝6，
即x＝2，
∴AB＝5x＝10，AC＝4x＝8，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CH，
∴×8×6＝×10×CH，
解得CH＝．
答：AB＝10，CH＝．
【點評】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．
19．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得∠P＝∠C，而∠1＝∠C，則∠1＝∠P，于是根據(jù)平行線的判定即可得到CB∥PB；
（2）解：連接OC，如圖，有（1）得∠1＝∠P＝30°，再根據(jù)垂徑定理得到＝，則利用圓周角定理得∠BOC＝2∠P＝60°，于是可判斷△BOC為等邊三角形，所以O(shè)B＝BC＝3，
易得⊙O的直徑為6．
【解答】（1）證明：∵∠P＝∠C，
而∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD；
（2）解：連接OC，如圖，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直徑為6．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理．
20．【分析】過點E作EF⊥BD交BD的延長線于F，設(shè)EF＝x米，根據(jù)正切的定義用x表示DF，證明△ABC∽△EFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：過點E作EF⊥BD交BD的延長線于F，
設(shè)EF＝x米，
∵∠CDE＝127°，
∴∠DEF＝127°﹣90°＝37°，
在Rt△EDF中，tan∠DEF＝，
則DF＝EF?tan∠DEF≈x，
由題意得：∠ACB＝∠ECF，
∵∠ABC＝∠EFC＝90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，即＝，
解得：x＝22.4，
∴DF＝x＝16.8，
∴DE＝≈＝28（米），
答：DE的長度約為28米．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
21．【分析】（1）根據(jù)題意可得B（20，0），C（5，3），然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出船到達橋下水面的高度，再求出拋物線頂點坐標，進而得到船到達橋下時水面距離最高點的高度，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）由題意得，B（20，0），C（5，3），
設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣20），
∴5a（5﹣20）＝3，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）船行駛到橋下的時間為：36÷6＝6小時，
水位上升的高度為：0.3×6＝1.8m．
∵拋物線解析式為，
∴拋物線頂點坐標為（10，4），
∴當船到達橋下時，此時水面距離拱橋最高點的距離為4﹣1.8＝2.2m＞2m，
∴如果該船的速度不變，那么它能安全通過此橋．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
22．【分析】（1）由S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH，可得×160×120＝y(tǒng)（120﹣x）+x（y+160），繼而求得答案；
（2）把y＝﹣x+160代入S＝xy，即可求得S與x的函數(shù)關(guān)系式；由S＝﹣x2+160x，可得：S＝﹣（x﹣60）2+4800；則可求得矩形EFGH的面積S最大值．
【解答】解：（1）∵S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH，
∴×160×120＝y(tǒng)（120﹣x）+x（y+160），
化簡得：y＝﹣x+160；
（2）把y＝﹣x+160代入S＝xy，
得：S＝﹣x2+160x；
將S＝﹣x2+160x，
右邊配方得：S＝﹣（x﹣60）2+4800；
∵﹣（x﹣60）2≤0，
∴當﹣（x﹣60）2＝0時，即x＝60時，S＝﹣（x﹣60）2+4800有最大值4800．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
23．【分析】（1）連接OC，作OD⊥PB于D點．證明OD＝OC即可．根據(jù)角的平分線性質(zhì)易證；
（2）設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．根據(jù)勾股定理得PO＝5，則PE＝8．證明△PCF∽△PEC，得CF：CE＝PC：PE＝1：2．根據(jù)勾股定理求解CE．
【解答】（1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點．
∵⊙O與PA相切于點C，
∴OC⊥PA．
∵點O在∠APB的平分線上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC．
∴直線PB與⊙O相切；
（2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．
∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PE＝8．
∵⊙O與PA相切于點C，
∴∠PCF＝∠E．
又∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE＝PC：PE＝4：8＝1：2．
∵EF是直徑，
∴∠ECF＝90°．
設(shè)CF＝x，則EC＝2x．
則x2+（2x）2＝62，
解得x＝．
則EC＝2x＝．
【點評】此題考查了切線的判定、相似三角形的性質(zhì)．注意：當不知道直線與圓是否有公共點而要證明直線是圓的切線時，可通過證明圓心到直線的距離等于圓的半徑，來解決問題．
24．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣x﹣4；
（2）拋物線y＝x2﹣x﹣4的對稱軸是直線x＝1，C（0，﹣4），可得△BOC是等腰直角三角形，根據(jù)△PMN和△OBC相似，可得PM＝PN，設(shè)P（m， m2﹣m﹣4），即有|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，解出m的值，再由點P是該拋物線上一點，且位于其對稱軸直線x＝1的右側(cè)，即得P的坐標為（+2， +1）或（，1﹣）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣x﹣4；
（2）如圖：
∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，
∴拋物線y＝x2﹣x﹣4的對稱軸是直線x＝1，
在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直線x＝1，PN⊥x軸，
∴∠MPN＝90°，PM＝PN，
設(shè)P（m， m2﹣m﹣4），
∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，
∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，
解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，
∵點P是該拋物線上一點，且位于其對稱軸直線x＝1的左側(cè)，
∴P的坐標為（﹣+2，﹣ +1）或（﹣， +1）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰直角三角形，相似三角形等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度．
25．【分析】（1）作△ABC的外接圓，當C處于點C'時，△ABC面積最大；
（2）將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，證明C、D、E在同一條直線上，由△ACE是等腰直角三角形得出結(jié)果；
（3）類比（1）的方法，將△AOB繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°至△COE，連接BE，分析得：S四邊形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO＝S△BOE﹣S△BCE＝225﹣S△BCE，故使△BCE的面積最大，因BE＝30，∠BCE＝120°，故作正△BEF，作它的外接圓⊙I，進而求得其最大值．
【解答】解：（1）作△ABC的外接圓，
∵AB＝2，∠C＝60°，
∴當C處于點C'時，△ABC面積最大，
∵C'A＝C'B，∠C'＝60°，
∴△ABC'為等邊三角形，邊長為2，
過點C'作C'D⊥AB于D，
則AD＝1，
∴C'D＝＝，
∴S△ABC＝AB?C′D＝×2×＝，
故答案為：；
（2）如圖1，
∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴可以將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴C、D、E在同一條直線上，
∴CD+DE＝CE＝＝8；
（3）存在符合要求的面積最小的四邊形OABC；
如圖2，
連接OB，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴將△AOB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°至△COE，連接BE，
∴∠BOE＝60°，OE＝OB，
∴△BOE是等邊三角形，
∴BE＝OB＝30，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，
∴∠CBE+∠CEB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∴∠CBE＝30°，
∴△BOE的高為：30×sin60°＝15，
∵S四邊形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO
＝S△BOE﹣S△BCE
＝×30×15﹣S△BCE
＝225﹣S△BCE，
∴要使四邊形OABC的面積最小，就要使△BCE的面積最大，
作正△BEF，作它的外接圓⊙I，作直徑FC′，
當C與C′重合時，S△BCE最大，
S△BCE最大＝×30×（15×）＝75，
∴S四邊形OABC最?。?25﹣75＝150（cm2），
此時OA＝OC＝＝＝10（cm）．
【點評】本題考查了用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形，利用三角形全等和等腰（等邊）三角形的性質(zhì)和知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線和利用“定弦對定角”等模型．

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