平行四邊形有哪些性質(zhì)？
1.邊:平行四邊形兩組對邊分別平行. 平行四邊形兩組對邊分別相等.
2.角:平行四邊形兩組對角分別相等.
3. 對角線：平行四邊形對角線互相平分.
木工師傅做了一個平行四邊形，通過測量角或邊，你能判斷這個四邊形就是平行四邊形嗎？
聰明的同學(xué)們，你能想出檢驗(yàn)的方法來嗎？
只測邊長可以得出平行四邊形嗎？
已知：在四邊形ABCD中，AB＝CD， AD＝BC ，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。
四邊形ABCD是平行四邊形
AD ∥ BC，AB ∥ CD
證明：連結(jié)AC?！?　AB＝CD（已知）　　　AD＝BC（已知）　　AC＝CA（公共邊）∴△ABC≌△CDA（SSS）∴∠1＝∠2　∠3＝∠4（全等三角形的對應(yīng)角相等）∴ AB ∥ CD 　AD ∥ BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的定義）
定理2　兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
已知：在四邊形ABCD中，AB＝CD，AB ∥ CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。
AD ∥ BC且AB ∥ CD
只測一組對邊平行且相等可以得出平行四邊形嗎？
證明：連結(jié)AC。∵ AB ∥ CD （已知）∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵ AB＝CD（已知）　　AC＝CA（公共邊）∴∠3＝∠4（全等三角形的對應(yīng)角相等）∴ AD ∥ BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的定義）∴AD＝BC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
定理1一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
只告訴木工師傅一組對邊平行，另一組對邊相等，是否一定做出平行四邊形？
1、∵AB ∥ CD　?。撸?∥ ＿＿　　∴四邊形ABCD是平行四邊形　　（　　　　　　　　?。?、 ∵AB＝CD　?。撸摺危撸摺　　嗨倪呅蜛BCD是平行四邊形。　?。? ） 3、∵AB＝CD　?。撸撸剑撸摺　　嗨倪呅蜛BCD是平行四邊形　　（　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?br/>AD BC
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
例1 已知，如圖，在 ?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn). 求證：EF//AD.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD且AB=CD∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)∴AE∥DF 且AE=DF∴ 四邊形AEFD是平行四邊形∴ AD∥EF ∴EF//AD//BC
1.滿足下列條件的四邊形ABCD是不是平行四邊形，若是，在括號內(nèi)打“√”，若不是，則打“×”。
1.AB=CD，AB∥CD （ ）2.AB=CD，AD=BC （ ）3.AB=BC，AD=DC （ ）4.AB ∥ CD，AD ∥ BC （ ）5.AB ∥ CD，AD=BC （ ）6.∠A+∠B=180°,AD=BC ( )
（1）√ （2） √（3）× （4）√ （5） × （6）√
2.已知：如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，DC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF.求證：DE綊BF.
【解析】 證明兩線段平行且相等，只要證明這兩條線段是平行四邊形的一組對邊即可．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC＝AB，DC∥AB. 又∵AE＝CF， ∴DC－CF＝AB－AE，即DF＝BE， ∴DE綊BF.
3.點(diǎn)E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對角線AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF.求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
證明：如答圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD綊BC，CD綊AB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.在△ADE和△CBF中，AD=CB,∠1＝∠2,AE＝CF，(∠1＝∠2，)∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.同理可證△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形．
【點(diǎn)悟】(1)證明四邊形是平行四邊形只需找到兩組對邊分別相等即可；(2)證明對邊相等常需要證明三角形全等．
4.四邊形ABCD中，已知：①AB＝CD；②∠BAC＝∠DCA；③AD∥BC；④∠CAD＝∠ACB.請結(jié)合圖形解答下列兩個問題：(1)用①②作為條件證明四邊形ABCD是平行四邊形；(2)用①③作為條件，四邊形ABCD為平行四邊形是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請舉反例．
解：(1)證明：在△ABC和△CDA中，AB=CD ∠BAC＝∠ACD AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴CB＝AD.又∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；(2)用①，③作為條件，四邊形ABCD為平行四邊形不成立．反例：如答圖所示．
小結(jié)：平行四邊形的三個判定方法：
的四邊形是平行四邊形

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4.4 平行四邊形的判定

版本： 浙教版

年級： 八年級下冊

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