專題10 存在性-等邊三角形-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學壓軸題之二次函數(shù)篇（全國通用）

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中考數(shù)學壓軸題--二次函數(shù)--存在性問題第10節(jié)  等邊三角形的存在性         方法點撥一、兩定一動A、確定點的位置B、求解過程二、兩動一定三、方法總結       例題演練題組1：兩定一動1．如圖，已知拋物線C1與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C（0，2）．將拋物線C1向右平移m（m＞0）個單位得到拋物線C2，C2與x軸交于D，E兩點（點D在點E的左側），與拋物線C1在第一象限交于點M．（1）求拋物線C1的解析式，并求出其對稱軸；（2）①當m＝1時，直接寫出拋物線C2的解析式；②直接寫出用含m的代數(shù)式表示點M的坐標．（3）連接DM，AM．在拋物線C1平移的過程中，是否存在△ADM是等邊三角形的情況？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點在原點，且點（2，1）在二次函數(shù)的圖象上，過點F（0，1）作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）P為平面內一點，當△PMN是等邊三角形時，求點P的坐標；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點E，使得以點E為圓心的圓過點F和點N，且與直線y＝﹣1相切．若存在，求出點E的坐標，并求⊙E的半徑；若不存在，說明理由．  3．如圖，拋物線C1：y＝x2+bx+c經過原點，與x軸的另一個交點為（2，0），將拋物線C1向右平移m（m＞0）個單位得到拋物線C2，C2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C．（1）求拋物線C1的解析式及頂點坐標；（2）以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD，當點D落在拋物線C2的對稱軸上時，求拋物線C2的解析式；（3）若拋物線C2的對稱軸存在點P，使△PAC為等邊三角形，求m的值．  4．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經過點A（﹣1，0）和點C（0，3）與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上一動點，過點M作MP∥y軸，交拋物線于點P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當⊙M與坐標軸相切時，求出⊙M的半徑． 題組2：兩動一定5．如圖，拋物線y＝x2﹣2x+c經過點A（﹣2，5），與x軸相交于B，C兩點，點B在點C的左邊．（1）求拋物線的函數(shù)表達式與B，C兩點坐標；（2）點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D，若點C′恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C′和點D的坐標；（3）設P是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數(shù)表達式．            6．如圖，拋物線的解析式為y＝﹣x+5，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于點C，拋物線對稱軸與直線BC交于點D．（1）E點是線段BC上方拋物線上一點，過點E作直線EF平行于y軸，交BC于點F，若線段CD長度保持不變，沿直線BC移動得到C'D'，當線段EF最大時，求EC'+C'D'+D'B的最小值；（2）Q是拋物線上一動點，請問拋物線對稱軸上是否存在一點P是△APQ為等邊三角形，若存在，請直接寫出三角形邊長，若不存在請說明理由．7．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線l經過B、C兩點，點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接CM，將線段MC繞點M順時針旋轉90°得到線段MD，連接CD、BD．設點M運動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：（1）求點A的坐標與直線l的表達式；（2）①請直接寫出點D的坐標（用含t的式子表示），并求點D落在直線l上時t的值；②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值．題組3：三動點8．如圖1，拋物線C1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC＝3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點，試探究在直線y＝﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．