中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)--存在性問(wèn)題第8節(jié)  等腰三角形的存在性 方法點(diǎn)撥“兩圓一線”得坐標(biāo)：（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．幾何法：（1）兩圓一線作出點(diǎn)；（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)，由線 段長(zhǎng)得點(diǎn)坐標(biāo)．代數(shù)法：（1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）分類(lèi)討論①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．        例題演練例1．如圖，拋物線y＝ax2﹣x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，連接AC，已知B（﹣1，0），且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E是拋物線上位于x軸下方的一點(diǎn)，且S△ACE＝S△ABC，求E的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是y例1．軸上一點(diǎn)，以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．例2．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求出四邊形ABPC的面積最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖2，將拋物線向右平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位．記平移后的拋物線為y'，若拋物線y'與原拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q．點(diǎn)E是新拋物線y'對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)△PQE是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．例3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+x+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值；（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移，點(diǎn)C平移至C′處，且OC′＝OC，動(dòng)點(diǎn)M在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△C′BM為以C′B為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．    例4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣．連接AC，BC，點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PH，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)Q．過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G．（1）求拋物線的解析式．（2）求△PQG周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），直線BC的解析式為y＝x+3．（1）求拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，將拋物線向左平移1個(gè)單位，記平移后C、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′、E′，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以C′、E′、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練2.如圖①，拋物線y＝ax2+bx+與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與直線交于點(diǎn)A，C，其中A（﹣7，0），C（﹣1，6）．（1）求拋物線與直線的解析式；（2）如圖②，P為直線AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥AC于Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)度最大時(shí)，在x軸上取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，使MN＝2，連接PM、CN，求PM+MN+NC的最小值；（3）如圖③，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，將直線AC向下平移一個(gè)單位得到直線A'C'，直線A'C'與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，將△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的△ADG記為△AD'G'，設(shè)直線D'G'交直線AC于點(diǎn)T，當(dāng)△AG'T為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出T的坐標(biāo)．練3.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣2），若該函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C滿足OC＝3OA，拋物線頂點(diǎn)為D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連接BC，若點(diǎn)Q是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，作QF⊥x軸交BC于點(diǎn)F，求線段EF長(zhǎng)度的最大值；（3）如圖2，將拋物線沿直線DO平移，點(diǎn)D平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，直線x＝與x軸相交于點(diǎn)M，與平移中的拋物線相交于點(diǎn)N，當(dāng)△D′MN是以MN為底邊的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出D′的坐標(biāo)．練4.拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBQ的面積最大？求出四邊形CDBQ的最大面積及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，將拋物線沿射線CB方向以每秒個(gè)單位的速度平移t秒，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M′，當(dāng)△CBM′是等腰三角形時(shí)，求t的值． 
 

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